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Diagonal

Las diagonales de un cubo con longitud de lado 1. AC' (mostrada en azul) es una diagonal espacial con longitud 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , mientras que AC (mostrado en rojo)...

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Las diagonales de un cubo con longitud de lado 1. AC' (mostrada en azul) es una diagonal espacial con longitud3{\displaystyle {\sqrt {3}}}, mientras que AC (mostrado en rojo) es una diagonal de la cara y tiene longitud2{\displaystyle {\sqrt {2}}}.
Flechas dobles horizontales (izquierda), verticales (centro) y diagonales (derecha).

En geometría , una diagonal es un segmento de línea que une dos vértices de un polígono o poliedro , cuando esos vértices no están en la misma arista . De manera informal, cualquier línea inclinada se llama diagonal. La palabra diagonal deriva del griego antiguo διαγώνιος diagonios , [ 1 ] "de esquina a esquina" (de διά- dia- , "a través", "a lo largo" y γωνία gonia , "esquina", relacionado con gony "rodilla"); fue utilizada tanto por Estrabón [ 2 ] como por Euclides [ 3 ] para referirse a una línea que conecta dos vértices de un rombo o cuboide , [ 4 ] y posteriormente adoptada en latín como diagonus ("línea oblicua").

Polígonos

Aplicada a un polígono , una diagonal es un segmento de línea que une dos vértices no consecutivos. Por lo tanto, un cuadrilátero tiene dos diagonales que unen pares de vértices opuestos. En cualquier polígono convexo , todas las diagonales están dentro del polígono, pero en los polígonos reentrantes , algunas diagonales están fuera del polígono.

Cualquier polígono de n lados ( n ≥ 3), convexo o cóncavo , tienenorte(norte−3)2{\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}diagonales totales , ya que cada vértice tiene diagonales a todos los demás vértices excepto a sí mismo y a los dos vértices adyacentes, o n − 3 diagonales, y cada diagonal es compartida por dos vértices.

En general, un polígono regular de n lados tiene⌊norte−22⌋{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n-2}{2}}\right\rfloor }diagonales distintas en longitud, que siguen el patrón 1,1,2,2,3,3... comenzando desde un cuadrado.

Regiones formadas por diagonales

En un polígono convexo , si no hay tres diagonales concurrentes en un solo punto del interior, el número de regiones en las que las diagonales dividen el interior viene dado por [ 5 ].

(norte4)+(norte−12)=(norte−1)(norte−2)(norte2−3norte+12)24.{\displaystyle {\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.}

Para n -gonos con n = 3, 4, ... el número de regiones es

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

Esta es la secuencia OEIS A006522. [ 6 ]

Intersecciones de diagonales

Si no hay tres diagonales de un polígono convexo concurrentes en un punto del interior, el número de intersecciones interiores de diagonales viene dado por(norte4){\displaystyle \textstyle {\binom {n}{4}}}. [ 7 ] [ 8 ] Esto se cumple, por ejemplo, para cualquier polígono regular con un número impar de lados. La fórmula se deriva del hecho de que cada intersección está determinada de forma única por los cuatro extremos de las dos diagonales que se intersecan: el número de intersecciones es, por lo tanto, el número de combinaciones de los n vértices de cuatro en cuatro.

Polígonos regulares

Aunque el número de diagonales distintas en un polígono aumenta a medida que aumenta su número de lados, la longitud de cualquier diagonal se puede calcular.

En un n-gono regular con longitud de lado a , la longitud de la x-ésima diagonal distinta más corta es:

pecado⁡(π(incógnita+1)norte)csc⁡(πnorte)⋅a{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi (x+1)}{n}}\right)\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a}

Esta fórmula muestra que a medida que el número de lados tiende a infinito, la x-ésima diagonal más corta tiende a infinito .(incógnita+1)a{\displaystyle (x+1)a}Además , la fórmula para la diagonal más corta se simplifica en el caso de x = 1:

pecado⁡(2πnorte)csc⁡(πnorte)⋅a=2porque⁡(πnorte)⋅a{\displaystyle \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a=2\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a}

Si el número de lados es par, la diagonal más larga será equivalente al diámetro de la circunferencia circunscrita al polígono , ya que todas las diagonales largas se intersecan en el centro del polígono.

Entre los casos especiales se incluyen:

Un cuadrado tiene dos diagonales de igual longitud que se intersecan en el centro del cuadrado. La razón entre una diagonal y un lado es2≈1.414.{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414.}

Un pentágono regular tiene cinco diagonales de la misma longitud. La razón entre una diagonal y un lado es la proporción áurea .1+52≈1.618.{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}

Diagonales cortas y largas

Un hexágono regular tiene nueve diagonales: las seis más cortas tienen la misma longitud; las tres más largas tienen la misma longitud y se intersecan en el centro del hexágono. La razón entre una diagonal larga y un lado es 2, y la razón entre una diagonal corta y un lado es 1/2. 3{\displaystyle {\sqrt {3}}}.

Un heptágono regular tiene 14 diagonales. Las siete diagonales más cortas son iguales entre sí, y las siete más largas también. El recíproco del lado es igual a la suma de los recíprocos de una diagonal corta y una larga.

Poliedros

Un poliedro (un objeto sólido en el espacio tridimensional , delimitado por caras bidimensionales ) puede tener dos tipos diferentes de diagonales: diagonales de cara en las distintas caras, que conectan vértices no adyacentes en la misma cara; y diagonales espaciales, que se encuentran completamente en el interior del poliedro (excepto en los extremos de los vértices).

Dimensiones superiores

N-Cubo

Las longitudes de las diagonales de un hipercubo n-dimensional se pueden calcular por inducción matemática . La diagonal más larga de un n-cubo esnorte{\displaystyle {\sqrt {n}}}Además, hay2norte−1(norteincógnita+1){\displaystyle 2^{n-1}{\binom {n}{x+1}}}de la x-ésima diagonal más corta. Por ejemplo, un cubo de 5 lados tendría las siguientes diagonales:

Su número total de diagonales es 416. En general, un n-cubo tiene un total de2norte−1(2norte−norte−1){\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-n-1)}diagonales. Esto se deduce de la forma más general dev(v−1)2−mi{\displaystyle {\frac {v(v-1)}{2}}-e}que describe el número total de diagonales de caras y espacios en politopos convexos . [ 9 ] Aquí, v representa el número de vértices y e representa el número de aristas.

Geometría

Por analogía, el subconjunto del producto cartesiano X × X de cualquier conjunto X consigo mismo, que consta de todos los pares ⁠(incógnita,incógnita){\displaystyle (x,x)}La diagonal, oequivalentemente la gráfica de la relación de igualdad en X , es la gráfica de la función identidad de X a X. Esto juega un papel importante en geometría; por ejemplo, los puntos fijos de una función F de X a sí misma se pueden obtener intersectando la gráfica de F con la diagonal.

En estudios geométricos, es común la idea de intersecar la diagonal consigo misma , no directamente, sino perturbándola dentro de una clase de equivalencia . Esto está profundamente relacionado con la característica de Euler y los ceros de los campos vectoriales . Por ejemplo, el círculo S 1 tiene números de Betti 1, 1, 0, 0, 0 y, por lo tanto, característica de Euler 0. Una forma geométrica de expresar esto es observar la diagonal en el bitoro S 1 × S 1 y notar que puede moverse de sí misma mediante el pequeño movimiento ( θ , θ ) a ( θ , θ + ε ). En general, el número de intersección de la gráfica de una función con la diagonal se puede calcular usando homología a través del teorema del punto fijo de Lefschetz ; la autointersección de la diagonal es el caso especial de la función identidad.

Notas

  1. ↑ Harper, Douglas R. (2018). "diagonal (adj.)" . Diccionario etimológico en línea .
  2. ↑ Estrabón, Geografía 2.1.36–37
  3. ↑ Euclides, Elementos, libro 11, proposición 28
  4. ↑ Euclides, Elementos, libro 11, proposición 38
  5. ↑ Honsberger (1973). «Un problema de combinatoria» . Joyas matemáticas . Asociación Matemática de América. Cap. 9 , págs. 99-107. ISBN  0-88385-301-9.
    Freeman, JW (1976). "El número de regiones determinado por un polígono convexo". Mathematics Magazine . 49 (1): 23– 25. doi : 10.2307/2689875 . JSTOR 2689875 . 
  6. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A006522" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.  
  7. ↑ Poonen, Bjorn; Rubinstein, Michael. «El número de puntos de intersección formados por las diagonales de un polígono regular». SIAM J. Discrete Math . 11 (1998), n.º 1, 135–156; enlace a una versión en el sitio web de Poonen.
  8. ↑ 3Blue1Brown (23/05/2015). Solución de la división del círculo (versión antigua) . Recuperado el 01/09/2024 a través de YouTube.{{cite AV media}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
  9. ↑ "Contando las diagonales de un poliedro – Los doctores de las matemáticas" .
  • Diagonales de un polígono con animación interactiva
  • Diagonal de polígono de MathWorld .