Campo magnético

También conocido como densidad de flujo magnético , el campo magnético B genera fuerzas magnéticas, pares magnéticos e inducción electromagnética. Por lo tanto, puede definirse mediante cualquier ecuación que describa estos fenómenos.

Por ejemplo, el vector de campo magnético B en cualquier punto se puede definir como el campo vectorial que, cuando se utiliza en la ley de fuerza de Lorentz , predice correctamente la fuerza sobre una partícula cargada en movimiento en ese punto: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Aquí F es la fuerza sobre la partícula, q es la carga eléctrica de la partícula , E es el campo eléctrico externo, v es la velocidad de la partícula y × denota el producto vectorial .

En otras palabras, ^{[ 8 ]}

La instrucción «Mide la dirección y magnitud del vector B en tal y cual lugar» requiere las siguientes operaciones: Toma una partícula de carga conocida q . Mide la fuerza sobre q en reposo para determinar E. Luego, mide la fuerza sobre la partícula cuando su velocidad es v ; repite el proceso con v en alguna otra dirección. Ahora, encuentra un valor de B que haga que la ley de Lorentz se ajuste a todos estos resultados; es decir, el campo magnético en el lugar en cuestión.

Para obtener más detalles, consulte la Fuerza de Lorentz o la sección §  Fuerza magnética sobre una partícula cargada que aparece a continuación.

La unidad SI de B es el tesla (símbolo: T). ^{[ nota 3 ]} La unidad Gaussiana-cgs de B es el gauss (símbolo: G). ^{[ 9 ]} (La conversión es 1  T ≘ 10000  G. ^{[ 10 ] [ 11 ]} ) Un nanotesla corresponde a 1 gamma (símbolo: γ). ^{[ 11 ]}

Si bien B crea fuerzas y pares magnéticos sobre los objetos e induce corrientes en los cables conductores, no siempre es fácil de calcular. Por esta razón, es útil definir un campo magnético H ^{[ nota 4 ]} , también conocido como intensidad del campo magnético , ^{[ 13 ]} de tal manera que ^{[ 14 ]} :

dónde${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del vacío , y M es el vector de magnetización que representa cuán magnetizada está una región dada del material y se define más adelante . En el vacío, B = μ ₀ H, lo que los hace equivalentes entre sí. Dentro de un material son diferentes.

Definida de esta manera, H puede, en muchas circunstancias ^{[ nota 5 ],} tratarse como si se debiera únicamente a corrientes eléctricas, con correcciones que tengan en cuenta H debido al material magnético cercano. ^{[ nota 6 ]} En cualquier caso, B aún debe calcularse a partir de H si se necesitan calcular fuerzas, pares, corrientes inducidas o cambios de energía.

La unidad SI de H es el amperio por metro (A/m) ^{[ 15 ]} y la unidad gaussiana es el oersted (Oe). ^{[ 10 ]}

Los instrumentos utilizados para medir el campo magnético local B se conocen como magnetómetros . Las clases importantes de magnetómetros incluyen magnetómetros de inducción (o magnetómetros de bobina de búsqueda) que miden solo campos magnéticos variables, magnetómetros de bobina giratoria , magnetómetros de efecto Hall , magnetómetros de RMN , magnetómetros SQUID y magnetómetros de puerta de flujo . Los campos magnéticos de objetos astronómicos distantes se miden a través de sus efectos sobre partículas cargadas locales. Por ejemplo, los electrones que giran en espiral alrededor de una línea de campo producen radiación sincrotrón que es detectable en ondas de radio . La mayor precisión para una medición de campo magnético fue alcanzada por la sonda Gravity Probe B en5  aT (5 × 10 ⁻¹⁸  T ). ^{[ 16 ]}

El campo H no se puede medir directamente, pero se puede inferir a partir de las corrientes que lo crean.

Visualización de campos magnéticos

Izquierda: la dirección de las líneas del campo magnético representada por limaduras de hierro esparcidas sobre un papel colocado sobre un imán de barra. Derecha: las agujas de una brújula apuntan en la dirección del campo magnético local, hacia el polo sur del imán y alejándose de su polo norte.

El campo magnético se puede visualizar mediante un conjunto de líneas de campo magnético que siguen la dirección del campo en cada punto. La dirección del campo magnético en cualquier punto es paralela a la dirección de las líneas de campo cercanas, y la densidad local de líneas de campo es proporcional a su intensidad. Las líneas de campo magnético son como las líneas de corriente en un flujo de fluidos , ya que representan una distribución continua, y una resolución diferente mostraría más o menos líneas.

Las líneas de campo magnético tienen las siguientes propiedades: ^{[ 17 ]}

• La dirección del campo magnético es tangente a la línea de campo en cualquier punto. Una brújula pequeña apunta en la dirección de la línea de campo.
• La intensidad del campo es proporcional a la proximidad de las líneas.
• Las líneas del campo magnético nunca se cruzan.
• Las líneas de campo magnético forman bucles cerrados que encierran corrientes eléctricas.
• Las líneas del campo magnético están dirigidas desde el polo norte hacia el polo sur.

Una ventaja de utilizar líneas de campo magnético como representación es que muchas leyes del magnetismo (y del electromagnetismo) pueden enunciarse de forma completa y concisa mediante conceptos sencillos como el "número" de líneas de campo que atraviesan una superficie. Estos conceptos pueden luego "traducirse" a su forma matemática. Por ejemplo, el número de líneas de campo que atraviesan una superficie dada es la integral de superficie del campo magnético. ^{[ 18 ]}

Este artículo utiliza casi exclusivamente el Sistema Internacional de Unidades (SI). Sin embargo, otros sistemas de unidades, sobre todo el sistema gaussiano (el sistema de unidades cgs más utilizado en electromagnetismo), todavía se emplean en algunas disciplinas, países y libros de texto. Las ecuaciones para cada sistema de unidades pueden ser, y a menudo lo son, diferentes.

Una partícula cargada que se mueve en un campo B experimenta una fuerza lateral proporcional a la intensidad del campo magnético, a la componente de la velocidad perpendicular al campo magnético y a la carga de la partícula. Esta fuerza se conoce como fuerza de Lorentz y viene dada por: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

donde F es la fuerza , q es la carga eléctrica de la partícula, v es la velocidad instantánea de la partícula y B es el campo magnético (en teslas ). La dirección de la fuerza sobre la carga se puede determinar mediante la regla de la mano derecha (véase la figura).

La fuerza de Lorentz siempre es perpendicular tanto a la velocidad de la partícula como al campo magnético que la creó. Cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético estático, describe una trayectoria helicoidal cuyo eje es paralelo al campo magnético y cuya velocidad permanece constante.

Cuando un conductor por el que circula una corriente eléctrica constante se coloca en un campo magnético externo, cada una de las cargas móviles del conductor experimenta la fuerza de Lorentz. En conjunto, estas fuerzas producen una fuerza macroscópica neta sobre el conductor. Esta fuerza (sobre una corriente macroscópica) se conoce comúnmente como fuerza de Laplace .

Para un alambre recto y estacionario en un campo magnético uniforme, esta fuerza viene dada por: ^{[ 19 ]}

donde I es la corriente y ℓ es un vector cuya magnitud es la longitud del cable y cuya dirección es a lo largo del cable, alineada con la dirección de la corriente.

Si el cable no es recto o el campo magnético no es uniforme, la fuerza total se puede calcular aplicando la fórmula a cada segmento infinitesimal del cable.${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$, luego sumando todas estas fuerzas mediante integración . En este caso, la fuerza neta sobre un cable estacionario que transporta una corriente constante es ^{[ 20 ].}

Esta fuerza crea una atracción/repulsión entre dos cables paralelos, ya que la corriente que circula por cada uno produce un campo magnético que ejerce una fuerza de atracción/repulsión sobre el otro. Asimismo, una espira de corriente en un campo magnético experimentará un par de torsión debido a la diferente dirección de la fuerza en los distintos lados de la espira, como se describe en la siguiente sección.

Un campo magnético que actúa sobre una espira conductora produce tanto un par de torsión como una fuerza neta (si el campo magnético no es uniforme). ^{[ 21 ]} Este efecto es importante para accionar ciertos tipos de motores y para modelar fuerzas y pares de torsión sobre átomos.

Calcular el torque en una espira rectangular es sencillo. El diagrama de la derecha muestra una espira rectangular de corriente en un campo magnético uniforme B (con una dirección indicada por las flechas verdes). Para simplificar, la espira está alineada en la dirección del campo magnético. Las fuerzas magnéticas en lados opuestos de la espira son iguales y opuestas, produciendo una fuerza neta nula sobre la espira. Sin embargo, las fuerzas en los lados cortos (mostradas aquí como flechas violetas) producen un torque neto igual al producto de la fuerza y ​​la distancia perpendicular entre ellas. Denotando la longitud del lado corto como b , la magnitud de esa fuerza es F = IBb usando la ecuación para la fuerza magnética en un alambre recto dada en la sección anterior. La magnitud del torque neto (a lo largo del eje discontinuo) es, por lo tanto, N = IabB . Usando el hecho de que el área A = ab y generalizando para todos los ángulos se obtiene ^{[ 22 ].}

Aquí, la dirección del área A es la normal al área, determinada por la regla de la mano derecha del bucle de corriente. Si bien se derivó para un bucle rectangular, esta ecuación es válida para un bucle plano de cualquier forma y orientación. ^{[ 23 ]} Como se describió anteriormente, no hay fuerza neta sobre un bucle en un campo magnético uniforme. Sin embargo, los campos magnéticos no uniformes sí producen una fuerza neta. Esta fuerza neta tiende a atraer el objeto en la dirección del campo magnético más intenso.

Dado que la fuerza neta sobre una espira es proporcional a la corriente de la espira multiplicada por su área, es natural definir una cantidad m llamada momento dipolar magnético tal que ^{[ 24 ]}

Para una espira de corriente suficientemente pequeña, los detalles de la misma, como su forma, área, orientación y la corriente que la rodea, quedan ocultos en m y, por lo demás, no importan. Estas espiras se denominan dipolos magnéticos . Todos los dipolos magnéticos con el mismo momento dipolar m se ven afectados de la misma manera.

La aplicación de la fuerza de Lorentz a un bucle de corriente (suficientemente pequeño) de forma arbitraria produce un par N sobre el dipolo magnético de: ^{[ 25 ]}

y una fuerza F sobre el dipolo magnético de ^{[ 26 ]}

dónde${\displaystyle \nabla }$representa el gradiente . Esta fuerza tiende a empujar el dipolo magnético en la dirección de B creciente .

En general, las líneas de campo magnético forman círculos concéntricos alrededor de un conductor por el que circula corriente. La dirección de dicho campo magnético se puede determinar utilizando la " regla de la mano derecha " (véase la figura de la derecha). La intensidad del campo magnético disminuye con la distancia al conductor. (Para un conductor de longitud infinita, la intensidad es inversamente proporcional a la distancia). El campo magnético de una corriente constante I que circula por un conductor recto suficientemente largo es: ^{[ 28 ]}

donde r es la distancia perpendicular al cable. La dirección${\displaystyle {\sombrero {\phi }}}$del campo magnético es tangente a un círculo perpendicular al cable según la regla de la mano derecha. ^{[ 29 ]}

Más específicamente, el campo magnético generado por una corriente constante I (un flujo constante de cargas eléctricas, en el que la carga no se acumula ni se agota en ningún punto) ^{[ nota 7 ]} se describe mediante la ley de Biot-Savart : ^{[ 31 ] [ 32 ]}

donde la integral suma sobre la longitud del cable donde el vector d ℓ es el elemento de línea vectorial con dirección en el mismo sentido que la corriente I , μ ₀ es la constante magnética , r es la distancia entre la ubicación de d ℓ y la ubicación donde se calcula el campo magnético, y r̂ es un vector unitario en la dirección de r .

Al doblar un cable conductor de corriente formando un bucle, el campo magnético se concentra en su interior y se debilita en el exterior. Doblar el cable en varios bucles muy próximos entre sí para formar una bobina o solenoide intensifica este efecto. Un dispositivo así formado alrededor de un núcleo de hierro puede funcionar como un electroimán , generando un campo magnético intenso y bien controlado.

Un solenoide infinitamente largo tiene un campo magnético uniforme en su interior y ningún campo magnético en el exterior. El campo magnético solo existe dentro del solenoide y es ^{[ 33 ].}

donde n es el número de espiras por unidad de longitud del solenoide y la dirección de H es paralela a la longitud del solenoide. Un solenoide de longitud finita produce un campo magnético más complejo que puede evaluarse matemáticamente.

Para ver otros ejemplos del uso de la ley de Biot-Savart para calcular los campos magnéticos para otras configuraciones de corriente comunes, consulte la sección #Fórmulas comunes a continuación.

El campo magnético de una espira de corriente circular de radio a y que transporta una corriente I se puede calcular directamente a partir de la ley de Biot-Savart para ubicaciones a una distancia z directamente por encima del centro de la espira: ^{[ 34 ] [ 35 ]}

dónde${\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {A} =I(\pi a^{2}\mathbf {\hat {z}} )}$es el mismo momento dipolar magnético que se utiliza para calcular la fuerza y ​​el par sobre una espira de corriente en #Fuerza neta y par sobre un dipolo magnético más arriba. El cálculo de los campos magnéticos en el eje de una espira cuadrada (y otras geometrías planas) produce ecuaciones similares que tienen la misma ecuación a grandes distancias que el círculo:${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {m} }{2\pi z^{3}}}}$.

El cálculo del campo magnético en una ubicación arbitraria r (no solo en el eje) a partir de una espira de corriente de forma arbitraria implica matemáticas avanzadas. ^{[ 36 ]} Pero, para distancias suficientemente largas, el resultado depende solo del momento magnético m de esa espira y se simplifica a: ^{[ 37 ]}

Esta ecuación demuestra que, a distancias suficientemente grandes, la geometría detallada de un imán puede sustituirse por una única magnitud: el momento dipolar magnético m . Por lo tanto, esta ecuación constituye un buen modelo para el campo magnético de los átomos y puede extenderse para describir materiales magnéticos. Asimismo, resulta útil para calcular la fuerza a larga distancia entre imanes.

Una forma ligeramente más general ^{[ 38 ] [ nota 8 ]} de relacionar la actual${\displaystyle I}$al campo B es a través de la ley de Ampère : ^{[ 39 ] [ 40 ]}

donde la integral de línea se realiza sobre cualquier bucle arbitrario y${\displaystyle I_{\text{enc}}}$es la corriente encerrada por ese bucle.${\displaystyle I_{\text{enc}}}$es ligeramente diferente para las 2 ecuaciones en que B incluye la corriente ligada difícil de calcular en el material magnético mientras que H no. ^{[ nota 9 ]} La ley de Ampère siempre es válida para corrientes constantes y puede usarse para calcular fácilmente los campos magnéticos de ciertas situaciones altamente simétricas, como un cable infinito o un solenoide infinito.

En una forma modificada que tiene en cuenta los campos eléctricos variables en el tiempo, la ley de Ampère es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell que describen la electricidad y el magnetismo.

Los imanes son objetos que generan su propio campo magnético y, a su vez, responden al campo magnético de otros imanes y materiales magnetizados. La interacción entre imanes y su interacción con el campo magnético es extremadamente compleja. La descripción correcta implica considerar cada imán como compuesto por muchos pequeños volúmenes de material magnético, cada uno de los cuales genera su propio campo magnético y responde al campo magnético de los demás volúmenes. Estos modelos suelen ser muy complejos. Afortunadamente, en muchos casos, basta con entender los imanes como objetos con dos polos magnéticos iguales pero opuestos: el polo norte y el polo sur. Los polos opuestos se atraen con una fuerza que aumenta con la distancia, mientras que los polos iguales se repelen de la misma manera. Este modelo se denomina modelo de polos magnéticos y, en algunos casos descritos a continuación, puede utilizarse para realizar predicciones cuantitativas precisas.

Determinar la fuerza entre imanes es bastante complejo, ya que depende de la intensidad y la orientación de ambos imanes, así como de su distancia y dirección relativas. La fuerza es particularmente sensible a las rotaciones de los imanes debido al par magnético. La fuerza sobre cada imán depende de su momento magnético y del campo magnético ^{[ nota 10 ]} del otro. Para distancias cortas ( r pequeño ), las fuerzas pueden ser bastante intensas, pero disminuyen rápidamente ( 1/r⁴ ⁾ para distancias grandes.

Para dos imanes suficientemente pequeños, como dos átomos lo suficientemente alejados entre sí, la fuerza magnética puede representarse como la de dos dipolos infinitesimalmente pequeños. Utilizando notación vectorial, la fuerza, F , de un dipolo magnético m ₁ sobre el dipolo magnético m ₂ es:

donde r es el vector distancia desde el momento dipolar m ₁ al momento dipolar m ₂ , con r = ‖ r ‖ . La fuerza que actúa sobre m ₁ está en la dirección opuesta. La fuerza neta depende de la orientación de ambos momentos dipolares entre sí y con respecto al vector distancia entre ellos, y disminuye rápidamente (proporcional a 1/ r ⁴ ).

Para distancias moderadas, suele ser suficiente modelar la fuerza entre imanes considerando que el campo magnético (H) de un imán ejerce una fuerza de atracción y repulsión sobre ambos polos de un segundo imán. Si este campo magnético es el mismo en ambos polos del segundo imán, no existe una fuerza neta sobre él, ya que la fuerza es opuesta para polos opuestos. Sin embargo, si el campo magnético del primer imán no es uniforme (como ocurre cerca de uno de sus polos), cada polo del segundo imán percibe un campo diferente y está sujeto a una fuerza distinta. Esta diferencia entre las dos fuerzas desplaza al imán en la dirección del campo magnético creciente y también puede generar un par de torsión neto.

Si ambos polos son lo suficientemente pequeños como para ser representados como puntos individuales, entonces pueden considerarse cargas magnéticas puntuales. Clásicamente , la fuerza F entre dos polos magnéticos viene dada por: ^{[ 41 ]}

donde q _m1 y q _m2 son las intensidades de los polos magnéticos de cada imán (unidad del SI: amperio - metro ), μ es la permeabilidad del medio intermedio y r es la distancia de separación entre los dos polos. Cabe destacar que para dos imanes (cada uno con dos polos) se requiere la suma de cuatro fuerzas: cada uno de los dos polos de un imán ejerce una fuerza independiente sobre cada uno de los dos polos del segundo imán.

La descripción de los polos es útil para los magnetólogos que diseñan imanes reales, pero la distribución de polos en estos imanes es más compleja que la de un simple polo norte y sur. Por lo tanto, la implementación de la idea de los polos no es sencilla. En algunos casos, una de las fórmulas más complejas que se presentan a continuación resultará más útil.

La fuerza mecánica entre dos superficies magnetizadas cercanas se puede calcular con la siguiente ecuación. La ecuación es válida solo para casos en los que el efecto de borde es despreciable y el volumen del entrehierro es mucho menor que el del material magnetizado; la fuerza para cada superficie magnetizada es: ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}

donde A es el área superficial del polo magnético y μ₀ es la permeabilidad del vacío . Esta ecuación también es válida para la fuerza que ejerce un polo _magnético sobre hierro que está casi tocando o tocando el polo magnético.

Si se acercan dos polos iguales de dos imanes separados y se deja girar uno de ellos, este rotará inmediatamente hasta alinearse con el otro. En este ejemplo, el campo magnético del imán fijo crea un par magnético sobre el imán, que puede girar libremente. Este par magnético N tiende a alinear los polos del imán con las líneas del campo magnético. Por lo tanto, una brújula gira para alinearse con el campo magnético terrestre.

Par de torsión en un dipolo

En el modelo de polos de un dipolo, un campo H (hacia la derecha) provoca fuerzas iguales pero opuestas en un polo N ( + q ) y un polo S ( −q ) , creando un par de torsión.

De forma equivalente, un campo B induce el mismo par de torsión en una espira de corriente con el mismo momento dipolar magnético.

Matemáticamente, el torque N sobre un imán pequeño es proporcional tanto al campo magnético aplicado como al momento magnético m del imán: ^{[ 45 ]}

donde × representa el producto vectorial . Esta ecuación incluye toda la información cualitativa mencionada anteriormente. No hay torque sobre un imán si m apunta en la misma dirección que el campo magnético, ya que el producto vectorial es cero para dos vectores que apuntan en la misma dirección. Además, todas las demás orientaciones experimentan un torque que las gira hacia la dirección del campo magnético.

El término imán se suele reservar para objetos que generan su propio campo magnético persistente incluso en ausencia de un campo magnético aplicado. Solo ciertos tipos de materiales poseen esta capacidad. Sin embargo, la mayoría de los materiales generan un campo magnético en respuesta a un campo magnético aplicado, un fenómeno conocido como magnetismo . Existen varios tipos de magnetismo, y todos los materiales presentan al menos uno de ellos.

El comportamiento magnético general de un material puede variar ampliamente, dependiendo de su estructura, en particular de su configuración electrónica . También puede variar con la temperatura, la presión y la intensidad del campo magnético, de modo que un material dado puede tener más de una fase magnética . Se han observado diversas formas de comportamiento magnético en diferentes materiales, entre las que se incluyen:

• El diamagnetismo ^{[ 46 ]} produce una magnetización que se opone al campo magnético.
• El paramagnetismo ^{[ 46 ]} produce una magnetización en la misma dirección que el campo magnético aplicado.
• El ferromagnetismo y los fenómenos estrechamente relacionados, ferrimagnetismo y antiferromagnetismo ^{[ 47 ] [ 48 ],} pueden generar una magnetización independiente del campo magnético aplicado, con una relación compleja y a menudo histéresis . Los materiales en estos estados pueden utilizarse para fabricar imanes permanentes.
• La superconductividad (y los superconductores ferromagnéticos ) ^{[ 49 ] [ 50 ]} se caracterizan por una conductividad perfecta por debajo de una temperatura y un campo magnético críticos. También son altamente magnéticos y pueden ser diamagnéticos perfectos por debajo de un campo magnético crítico inferior . Los superconductores suelen tener un amplio rango de temperaturas y campos magnéticos (el llamado estado mixto ) bajo el cual exhiben una relación compleja y a menudo histéresis entre la magnetización del material y el campo magnético aplicado.

En el caso del paramagnetismo y el diamagnetismo, la relación entre el campo magnético aplicado y la magnetización suele ser lineal . Sin embargo, los superconductores y los ferromagnetos presentan una relación más compleja entre el campo magnético aplicado y la magnetización producida (véase histéresis magnética ). Los imanes permanentes son objetos que generan sus propios campos magnéticos persistentes. Están hechos de materiales ferromagnéticos ^{[ nota 11 ]} , como el hierro y el níquel , que han sido magnetizados.

El modelo del bucle amperiano

Un bucle de corriente (anillo) que entra en la página por la x y sale por el punto genera un campo magnético (líneas). A medida que el radio del bucle disminuye, los campos generados se asemejan a un "dipolo magnético" abstracto (representado por una flecha que apunta hacia la derecha).

El campo magnético de un material magnetizado se crea a nivel atómico. La descripción precisa de este efecto implica la mecánica cuántica . Afortunadamente, el efecto neto de la suma de estas interacciones magnéticas a menudo se puede calcular utilizando modelos mucho más simples para el campo magnético creado por los átomos constituyentes del material magnético. Esto ocurre porque a una distancia suficientemente grande (o, equivalentemente, para imanes suficientemente pequeños) todas las propiedades magnéticas de cualquier objeto magnético se pueden describir mediante una única magnitud (vectorial), el momento dipolar magnético , m . (Véase §  Campo magnético de una espira plana de corriente (dipolo magnético) y §  Fuerza neta y torque sobre un dipolo magnético más arriba). Los objetos que se pueden modelar de esta manera, por ejemplo los átomos, se denominan dipolos magnéticos .

Por lo tanto, los dipolos magnéticos son los componentes básicos de la magnetización. El campo magnético producido por un material magnetizado es, entonces, el campo magnético resultante de la suma de estos dipolos. Asimismo, la fuerza (y el par) netos sobre un material magnetizado son el resultado de la suma de las fuerzas y los pares que actúan sobre los dipolos individuales que lo componen.

El campo vectorial de magnetización M representa la intensidad de la magnetización de una región de material. Se define como el momento dipolar magnético neto por unidad de volumen de dicha región. ^{[ 51 ]} Por lo tanto, la magnetización de un imán uniformemente magnetizado es una constante, igual al momento magnético m del imán dividido por su volumen. Dado que la unidad del SI para el momento magnético es A⋅m² ^, la unidad del SI para la magnetización M es el amperio por metro, idéntica a la del campo H.

El campo magnético M de una región apunta en la dirección del momento dipolar magnético promedio en esa región. Por lo tanto, las líneas de campo magnético comienzan (dentro del material magnetizado) cerca del polo sur magnético y terminan (dentro del material magnetizado) cerca del polo norte magnético. (La magnetización no existe fuera del material magnetizado).

En el modelo de bucle amperiano, la magnetización se debe a la combinación de muchos bucles dipolares magnéticos diminutos que forman una corriente resultante llamada corriente ligada . Esta corriente ligada es, por lo tanto, la fuente del campo magnético B debido al imán. Dada la definición del dipolo magnético, el campo de magnetización sigue una ley similar a la de la ley de Ampère: ^{[ 52 ]}

donde la integral es una integral de línea sobre cualquier lazo cerrado e I _b es la corriente ligada encerrada por ese lazo cerrado.

A diferencia de las líneas de campo magnético B , que no pueden comenzar ni terminar, las líneas de campo de magnetización sí pueden. De hecho, deben comenzar y terminar donde intersecan el límite del material magnetizado (en los polos magnéticos) porque el campo de magnetización solo existe dentro de un material. Esto es análogo a las líneas de campo eléctrico , que comienzan y terminan en cargas eléctricas. Por lo tanto, es posible definir una "carga magnética" q _m tal que para una región dada la "carga magnética" neta sea: ^{[ 53 ]}

donde la integral es una integral de superficie cerrada sobre la superficie cerrada S y q _M es la "carga magnética" (en unidades de flujo magnético ) encerrada por S. (Una superficie cerrada rodea completamente una región sin agujeros por donde puedan escapar las líneas de campo). El signo negativo aparece porque el campo de magnetización se mueve de sur a norte. No existe tal carga magnética; más bien es una analogía conveniente que permite utilizar gran parte de la maquinaria desarrollada para la electrostática con carga eléctrica para aplicarla a la magnetización con su carga magnética ficticia. Por ejemplo, la carga magnética neta de un polo se define como una fuerza de polo magnético q _m .

Utilizando la definición anterior de M, ahora es posible definir el campo magnético H ^{[ 54 ].}

De esta ecuación, es evidente que fuera de un material magnético (donde${\displaystyle \mathbf {M} =0}$) eso${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} }$Por lo tanto, fuera de un material magnético, B y H son funcionalmente idénticos, solo que con unidades diferentes, ya que${\displaystyle \mu _{0}}$es una constante.

En términos del campo H, la ley de Ampère es: ^{[ 55 ]}

donde I _f representa la 'corriente libre' encerrada por el bucle de modo que la integral de línea de H no depende en absoluto de las corrientes ligadas. ^{[ 56 ]}

De manera similar, una integral de superficie de H sobre cualquier superficie cerrada es independiente de las corrientes libres y detecta las "cargas magnéticas" dentro de esa superficie cerrada:

lo cual no depende de las corrientes libres.

Por lo tanto, el campo H se puede separar en dos ^{[ nota 12 ]} partes independientes:${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{0}+\mathbf {H} _{\mathrm {d} }}$donde H₀ es el campo magnético _aplicado debido únicamente a las corrientes libres y Hᵈ es el campo desmagnetizante debido únicamente a las corrientes ligadas, que puede expresarse de forma equivalente en términos de la carga magnética ficticia _qᵐ . _Por lo tanto, el campo magnético H refactoriza la corriente ligada en términos de "cargas magnéticas". Las líneas de campo H solo rodean la "corriente libre" y, a diferencia del campo magnético B , comienzan y terminan cerca de los polos magnéticos.

Para muchos materiales (en particular los materiales diamagnéticos y paramagnéticos), la relación entre B y H es lineal: ^{[ 57 ]}

donde μ es un parámetro dependiente del material llamado permeabilidad . En algunos casos, la permeabilidad puede ser un tensor de segundo orden , por lo que H puede no apuntar en la misma dirección que B. Estas relaciones entre B y H son ejemplos de ecuaciones constitutivas .

En muchas aplicaciones del mundo real, como un pequeño objeto magnético dentro de un campo magnético aplicado extenso, la relación constitutiva no es suficiente incluso si el material es lineal. Esto se debe a que el campo H que experimenta el material no es el mismo que el H aplicado. En tales casos, el campo magnético aún se puede calcular, pero se debe tener cuidado de distinguir el cambio del campo magnético a través del límite del objeto magnético. Estas relaciones en su forma más simplificada (en términos de H solo en un material lineal y sin corriente libre) son: ^{[ 58 ] [ 59 ]}

donde el subíndice t representa la componente tangencial de H y n representa su componente normal.

Un campo magnético variable en el tiempo que atraviesa una espira de alambre induce una corriente (más propiamente una fuerza electromotriz ) a través de dicha espira. Esto se conoce como inducción electromagnética y es importante para muchos dispositivos electrónicos, como inductores , transformadores y generadores eléctricos . La ecuación que rige este fenómeno se conoce como la regla del flujo o ley de inducción de Faraday : ^{[ 60 ]}

dónde${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es la fuerza electromotriz (o FEM , el voltaje generado alrededor de un circuito cerrado) y Φ es el flujo magnético , el producto del área por el campo magnético normal a esa área. (Esta definición de flujo magnético es la razón por la que B se suele denominar densidad de flujo magnético ). ^{[ 61 ]} El signo negativo representa el hecho de que cualquier corriente generada por un campo magnético variable en una bobina produce un campo magnético que se opone al cambio en el campo magnético que la indujo. Este fenómeno se conoce como la ley de Lenz .

Se necesita energía para generar un campo magnético, tanto para contrarrestar el campo eléctrico que crea un campo magnético variable como para cambiar la magnetización de cualquier material dentro del campo magnético. La densidad de energía de crear el campo en una región determinada es: ^{[ 62 ]}

Para materiales no dispersivos, la energía utilizada para magnetizar el material se libera cuando se destruye el campo magnético, de modo que la energía puede modelarse como almacenada en el campo magnético. Si el material no dispersivo también es lineal (de modo que B = μ H donde μ es independiente de la frecuencia), entonces la densidad de energía total almacenada en el campo magnético y en la magnetización del material en una ubicación es: ^{[ 63 ]}

Sin embargo , la ecuación anterior no se puede utilizar para materiales no lineales. En general, la cantidad incremental de trabajo por unidad de volumen δW necesaria para causar un pequeño cambio de campo magnético δB es: ^{[ 64 ]}

Una vez conocida la relación entre H y B, esta ecuación se utiliza para determinar el trabajo necesario para alcanzar un estado magnético determinado. En el caso de materiales histeréticos, como los ferromagnetos y los superconductores, el trabajo necesario también depende de cómo se genera el campo magnético. Sin embargo, para materiales lineales no dispersivos, la ecuación general conduce directamente a la ecuación de densidad de energía más sencilla que se muestra arriba.

El campo magnético, junto con el campo eléctrico, transmite energía eléctrica. La cantidad de energía eléctrica (por unidad de área) transmitida de esta manera se llama vector de Poynting , S , que depende del campo magnético como el producto vectorial : ^{[ 65 ] [ 66 ]}

donde E es el campo eléctrico . Nótese que esta potencia incluye tanto la potencia transmitida por los campos eléctrico y magnético como la energía absorbida y emitida al magnetizar y polarizar el material. Además, esta ecuación solo funciona para materiales lineales no dispersivos. Esta ecuación también es válida en el vacío, donde H = B /μ ₀ .

El promedio temporal del vector de Poynting se conoce como irradiancia y es una magnitud importante en óptica que describe la intensidad de la luz en un punto determinado.

En ocasiones, resulta útil calcular el campo magnético para un conjunto dado de cargas y corrientes variables en el tiempo, sin necesidad de utilizar las complejas ecuaciones empleadas para su cálculo directo. Un ejemplo de ello es el cálculo del campo magnético de una onda luminosa al reflejarse y refractarse en una superficie. En estos casos, se utilizan las ecuaciones de Maxwell para calcular tanto el campo magnético como el eléctrico. (En electrodinámica, los campos eléctrico y magnético están acoplados).

Las ecuaciones de Maxwell constituyen un potente conjunto de ecuaciones diferenciales que permite calcular los campos magnéticos y eléctricos para geometrías simples (y complejas mediante el uso de ordenadores y análisis de elementos finitos ). Junto con la ley de la fuerza de Lorentz, las ecuaciones de Maxwell conforman una descripción completa de la electrodinámica clásica, que abarca tanto la electricidad como el magnetismo.

Las ecuaciones de Maxwell aprovechan el hecho de que todos los campos vectoriales (como los campos eléctrico y magnético) pueden expresarse en términos de dos tipos de fuentes y un conjunto apropiado de condiciones de contorno. ^{[ nota 13 ]} El primer tipo de fuente (una fuente de salida) provoca que el campo vectorial fluya hacia afuera (o hacia adentro en el caso de un sumidero) hacia un punto dado. La segunda fuente (o de circulación) provoca que el campo vectorial gire alrededor de un punto dado (formando vórtices ). Ambas fuentes tienen definiciones bien definidas y pueden calcularse a partir del campo vectorial que crean utilizando un operador vectorial bien conocido.

La divergencia de un campo vectorial A , ∇ · A, se define de tal manera que al aplicar el operador de divergencia a un campo vectorial dado se obtienen las fuentes de salida. El rotacional se define de tal manera que ∇ × A produce la fuente de circulación. Un ejemplo del poder de estos operadores vectoriales es: dado que es un hecho experimental que las cargas magnéticas no existen (y por lo tanto no hay fuentes ni sumideros de B ), la divergencia de B debe ser cero, ∇ · B = 0, que es una de las ecuaciones de Maxwell.

La ecuación de Maxwell tiene dos versiones principales: una versión microscópica que requiere conocer todas las cargas y corrientes (incluidas las complejas a nivel atómico) y una versión macroscópica que depende únicamente de la carga y las corrientes «libres» conocidas. Aquí, el término «libre» se refiere a cualquier carga o corriente que se controla directamente mediante el experimento y no incluye las cargas y corrientes «ligadas» a nivel atómico en un material, que se producen como respuesta a los campos eléctricos y magnéticos presentes en dicho material.

Las ecuaciones macroscópicas de Maxwell se escriben de la siguiente manera:

En estas ecuaciones,${\displaystyle \mathbf {D} }$es el campo de desplazamiento eléctrico ,${\displaystyle \mathbf {E} }$el campo eléctrico ,${\displaystyle \rho _{f}}$la densidad de carga eléctrica libre y${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$la densidad de corriente libre .

La primera de las ecuaciones de Maxwell se conoce como la Ley de Gauss , pero no involucra campos magnéticos, por lo que no merece mayor análisis aquí. La segunda ecuación es la Ley de Gauss para el magnetismo, que refleja la inexistencia de carga magnética y permite determinar B como el rotacional de un potencial vectorial A. La tercera ecuación es la Ley de inducción de Faraday . Y la cuarta ecuación es la Ley de Ampère con la corrección de Maxwell.

Al derivar ecuaciones avanzadas y en temas avanzados como la mecánica cuántica y la relatividad , a menudo es más fácil trabajar con una formulación potencial de la electrodinámica que en términos de los campos eléctricos y magnéticos. En esta representación, el potencial vectorial magnético A y el potencial escalar eléctrico φ se definen de tal manera que: ^{[ 68 ]}

El potencial vectorial A , dado por esta forma, puede interpretarse como un momento potencial generalizado por unidad de carga ^{[ 69 ],} al igual que φ se interpreta como una energía potencial generalizada por unidad de carga . Existen múltiples opciones para los campos potenciales que satisfacen la condición anterior. Sin embargo, la elección de potenciales está representada por su condición de calibre correspondiente .

Las ecuaciones de Maxwell, cuando se expresan en términos de potenciales, pueden formularse de una manera ^{[ 70 ]} que concuerda explícitamente con la relatividad especial . ^{[ 71 ]} Juntos, A y φ forman el cuadripotencial . Usar el cuadripotencial en lugar de campos eléctricos y magnéticos es mucho más sencillo, y puede adaptarse fácilmente para trabajar con mecánica cuántica.

El campo magnético es inherentemente un fenómeno relativista . Más específicamente, tanto el campo eléctrico como el magnético son el mismo fenómeno visto desde diferentes sistemas de referencia : una fuerza eléctrica percibida por un observador puede ser percibida por otro (en un sistema de referencia diferente) como una fuerza magnética, o una combinación de ambas. (Aquí, diferentes sistemas de referencia significa que uno se mueve con respecto al otro). Para los fenómenos relativistas, se debe utilizar una transformación de Lorentz para pasar de un sistema de referencia a otro.

Es una tarea sencilla ^{[ 72 ]} mostrar cómo los campos eléctricos y magnéticos se transforman de un sistema de referencia a otro. Sin embargo, las reglas de transformación son bastante complejas. Un ejemplo sencillo es examinar cómo la Ley de Coulomb (que describe un campo eléctrico puro de una partícula cargada en su propio sistema de referencia en reposo) se transforma en un sistema de referencia en movimiento. Un punto en el sistema de referencia en movimiento experimentará un campo magnético de: ^{[ 73 ] : 29–42}

dónde${\displaystyle q}$es la carga de la fuente puntual,${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del vacío ,${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición desde el punto de origen hasta el punto en el espacio,${\displaystyle \mathbf {v} }$es el vector de velocidad de la partícula cargada,${\displaystyle \beta }$es la relación entre la velocidad de la partícula cargada dividida por la velocidad de la luz y${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Formalmente, la relatividad especial combina los campos eléctrico y magnético en un tensor de rango 2 , llamado tensor electromagnético . Cambiar de marco de referencia mezcla estos componentes. Esto es análogo a la forma en que la relatividad especial mezcla el espacio y el tiempo en el espaciotiempo , y la masa, el momento y la energía en el cuadrimomento . ^{[ 74 ]} De manera similar, la energía almacenada en un campo magnético se mezcla con la energía almacenada en un campo eléctrico en el tensor de energía-impulso electromagnético .

La solución de las ecuaciones de Maxwell para el campo eléctrico y magnético de una carga puntual se expresa en términos del tiempo retardado o el tiempo en el que la partícula en el pasado causa el campo en el punto, dado que la influencia viaja a través del espacio a la velocidad de la luz. El tiempo retardado para una partícula puntual viene dado como solución de: ^{[ 75 ]}

donde el tiempo retrasado${\textstyle t_{r}}$es el momento en que se originó la contribución de la fuente al campo,${\textstyle r_{s}(t)}$es el vector de posición de la partícula en función del tiempo,${\textstyle \mathbf {r} }$es el punto en el espacio,${\textstyle \mathbf {t} }$es el momento en que se miden los campos y${\textstyle c}$es la velocidad de la luz. Cualquier movimiento arbitrario de una carga puntual causa campos eléctricos y magnéticos como sigue: ^{[ 76 ]}

donde q es la carga de la fuente puntual,${\displaystyle n_{s}}$es un vector unitario que apunta desde la partícula cargada hacia el punto en el espacio,${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)}$es la velocidad de la partícula dividida por la velocidad de la luz y${\displaystyle \gamma (t)}$es el factor de Lorentz correspondiente .

El campo electromagnético clásico incorporado a la mecánica cuántica forma lo que se conoce como la teoría semiclasica de la radiación. Sin embargo, no es capaz de hacer predicciones observadas experimentalmente, como el proceso de emisión espontánea o el desplazamiento de Lamb , lo que implica la necesidad de la cuantización de los campos. En la física moderna, el campo electromagnético se entiende no como un campo clásico , sino como un campo cuántico ; se representa no como un vector de tres números en cada punto, sino como un vector de tres operadores cuánticos en cada punto. La descripción moderna más precisa de la interacción electromagnética (y de muchas otras cosas) es la electrodinámica cuántica (QED), ^{[ 77 ]} que se incorpora a una teoría más completa conocida como el Modelo Estándar de la física de partículas .

En electrodinámica cuántica (QED), la magnitud de las interacciones electromagnéticas entre partículas cargadas (y sus antipartículas ) se calcula mediante la teoría de perturbaciones . Estas fórmulas, bastante complejas, generan una representación gráfica notable en forma de diagramas de Feynman, en los que se intercambian fotones virtuales .

Las predicciones de la electrodinámica cuántica (QED) coinciden con los experimentos con una precisión extremadamente alta: actualmente, alrededor de 10⁻¹² ⁽ y limitada por los errores experimentales); para más detalles, consulte las pruebas de precisión de la QED . Esto convierte a la QED en una de las teorías físicas más precisas construidas hasta la fecha.

Todas las ecuaciones de este artículo se basan en la aproximación clásica , que es menos precisa que la descripción cuántica aquí mencionada. Sin embargo, en la mayoría de las circunstancias cotidianas, la diferencia entre ambas teorías es insignificante.

El campo magnético afecta a los materiales de muchas maneras.

El campo magnético de mayor magnitud producido sobre un volumen macroscópico fuera de un entorno de laboratorio es de 2,8  kT ( VNIIEF en Sarov , Rusia , 1998). ^{[ 85 ]} El campo magnético de mayor magnitud producido en un laboratorio sobre un volumen macroscópico fue de 1,2  kT por investigadores de la Universidad de Tokio en 2018. ^{[ 86 ]} Los campos magnéticos microscópicos de mayor magnitud producidos en un laboratorio ocurren en aceleradores de partículas, como RHIC , dentro de las colisiones de iones pesados, donde los campos microscópicos alcanzan 10 ¹⁴  T. ^{[ 87 ] [ 88 ]} Los magnetares tienen los campos magnéticos macroscópicos más fuertes conocidos de cualquier objeto que se encuentre en la naturaleza, que van de 0,1 a 100  GT (10 ⁸ a 10 ¹¹  T). ^{[ 89 ]}

Si bien las sociedades antiguas conocían los imanes y algunas propiedades del magnetismo, la investigación de los campos magnéticos comenzó en 1269, cuando el erudito francés Petrus Peregrinus de Maricourt trazó el campo magnético en la superficie de un imán esférico utilizando agujas de hierro. Al observar que las líneas de campo resultantes se cruzaban en dos puntos, los denominó «polos», en analogía con los polos terrestres. También enunció el principio de que los imanes siempre tienen un polo norte y un polo sur, independientemente de cuán finamente se corten. ^{[ 90 ] [ nota 14 ]}

En 1600 (casi tres siglos después), William Gilbert de Colchester publicó De Magnete . En De Magnete , Gilbert replicó el trabajo de Petrus Peregrinus y fue el primero en afirmar explícitamente que la Tierra es un imán. ^{[ 91 ] : 34} Además, argumentó que la electricidad y el magnetismo eran fenómenos separados.

En 1750, John Michell afirmó que los polos magnéticos se atraen y repelen según una ley del inverso del cuadrado ^{[ 91 ] : 56} Charles-Augustin de Coulomb verificó experimentalmente esto en 1785 y afirmó explícitamente que los polos norte y sur no pueden separarse. ^{[ 91 ] : 59} Partiendo de esta fuerza entre polos, Siméon Denis Poisson (1781–1840) creó el primer modelo exitoso del campo magnético, que presentó en 1824. ^{[ 91 ] : 64}

Tres descubrimientos en 1820 desafiaron este fundamento del magnetismo. Hans Christian Ørsted demostró que un cable conductor de corriente está rodeado por un campo magnético circular. ^{[ nota 15 ] [ 92 ]} Luego André-Marie Ampère mostró que los cables paralelos con corrientes se atraen entre sí si las corrientes están en la misma dirección y se repelen si están en direcciones opuestas. ^{[ 91 ] : 87 [ 93 ]} Finalmente, Jean-Baptiste Biot y Félix Savart anunciaron resultados empíricos sobre las fuerzas que un cable largo y recto conductor de corriente ejercía sobre un pequeño imán, determinando que las fuerzas eran inversamente proporcionales a la distancia perpendicular del cable al imán. ^{[ 94 ] [ 91 ] : 86} Laplace dedujo más tarde una ley de fuerza basada en la acción diferencial de una sección diferencial del cable, ^{[ 94 ] [ 95 ]} que se conoció como la ley de Biot-Savart , ya que Laplace no publicó sus hallazgos. ^{[ 96 ]}

Ampliando estos experimentos, Ampère publicó su propio modelo exitoso de magnetismo en 1825. En él, mostró la equivalencia de las corrientes eléctricas con los imanes ^{[ 91 ] : 88} y propuso que el magnetismo se debe a bucles de corriente que fluyen perpetuamente en lugar de los dipolos de carga magnética en el modelo de Poisson. ^{[ nota 16 ]} Además, Ampère derivó tanto la ley de fuerza de Ampère que describe la fuerza entre dos corrientes como la ley de Ampère , que, al igual que la ley de Biot-Savart, describió correctamente el campo magnético generado por una corriente constante.

También en su obra de 1825, Ampère introdujo el término electrodinámica para describir la relación entre la electricidad y el magnetismo. ^{[ 91 ] : 88–92}

En 1831, Michael Faraday descubrió la inducción electromagnética al encontrar que un campo magnético cambiante genera un campo eléctrico envolvente, formulando lo que ahora se conoce como la ley de inducción de Faraday . ^{[ 91 ] : 189–192} Posteriormente, Franz Ernst Neumann demostró que, para un conductor en movimiento en un campo magnético, la inducción es una consecuencia de la ley de fuerza de Ampère. ^{[ 91 ] : 222} En el proceso, introdujo el potencial vectorial magnético, que más tarde se demostró que era equivalente al mecanismo subyacente propuesto por Faraday. ^{[ 91 ] : 225} En 1850, Lord Kelvin , entonces conocido como William Thomson, distinguió entre dos campos magnéticos ahora denominados H y B. El primero se aplicaba al modelo de Poisson y el segundo al modelo de Ampère y a la inducción. ^{[ 91 ] : 224} Además, derivó cómo H y B se relacionan entre sí y acuñó el término permeabilidad . ^{[ 91 ] : 245 [ 97 ]}

Entre 1861 y 1865, James Clerk Maxwell desarrolló y publicó las ecuaciones de Maxwell , que explicaban y unificaban la electricidad y el magnetismo clásicos . El primer conjunto de estas ecuaciones se publicó en un artículo titulado " Sobre las líneas físicas de fuerza" en 1861. Estas ecuaciones eran válidas, pero incompletas. Maxwell completó su conjunto de ecuaciones en su artículo posterior de 1865, " Una teoría dinámica del campo electromagnético" , y demostró que la luz es una onda electromagnética . Heinrich Hertz publicó artículos en 1887 y 1888 que confirmaban experimentalmente este hecho. ^{[ 98 ] [ 99 ]}

En 1887, Tesla desarrolló un motor de inducción que funcionaba con corriente alterna . El motor utilizaba corriente polifásica , que generaba un campo magnético giratorio para hacerlo girar (un principio que Tesla afirmó haber concebido en 1882). ^{[ 100 ] [ 101 ] [ 102 ]} Tesla recibió una patente para su motor eléctrico en mayo de 1888. ^{[ 103 ] [ 104 ]} En 1885, Galileo Ferraris investigó de forma independiente los campos magnéticos giratorios y posteriormente publicó su investigación en un artículo para la Real Academia de Ciencias de Turín , solo dos meses antes de que Tesla recibiera su patente, en marzo de 1888. ^{[ 105 ]}

El siglo XX demostró que la electrodinámica clásica ya era compatible con la relatividad especial y la extendió para trabajar con la mecánica cuántica. Albert Einstein , en su artículo de 1905 que estableció la relatividad, demostró que tanto el campo eléctrico como el magnético forman parte del mismo fenómeno visto desde diferentes sistemas de referencia. Finalmente, el campo emergente de la mecánica cuántica se fusionó con la electrodinámica para formar la electrodinámica cuántica (o QED). La QED describe matemáticamente todos los fenómenos que involucran partículas con carga eléctrica que interactúan mediante el intercambio de fotones y representa la contraparte cuántica del electromagnetismo clásico , proporcionando una explicación completa de la interacción entre la materia y la luz. ^{[ 106 ]}

• Contenido multimedia relacionado con campos magnéticos en Wikimedia Commons .
• Crowell, B., " Electromagnetismo archivado el 30 de abril de 2010 en la Wayback Machine ".
• Nave, R., " Campo magnético ". HyperPhysics.
• " Magnetismo ", El campo magnético (archivado el 9 de julio de 2006). theory.uwinnipeg.ca.
• Hoadley, Rick, " ¿Cómo se ven los campos magnéticos ? " Archivado el 19 de febrero de 2011 en Wayback Machine. 17 de julio de 2005.