norma logarítmica

En matemáticas, la norma logarítmica es un funcional de valor real sobre operadores , construido a partir de una norma vectorial o un producto interno , o directamente a partir de la norma del operador inducido . Cuantifica conceptos clave como la definición positiva/negativa en la teoría de matrices, los campos vectoriales uniformemente coercitivos o monótonos en el análisis no lineal, y la elipticidad fuerte en operadores diferenciales sobre espacios de funciones, sujetos a condiciones de contorno específicas.

La norma logarítmica tiene una amplia gama de aplicaciones en la teoría de matrices, la teoría de la estabilidad para problemas de valores iniciales y de contorno en ecuaciones diferenciales , en el análisis no lineal, las matemáticas aplicadas y el análisis numérico .

^{En monografías recientes [ 1 ] [ 2 ]} en las que se basa este artículo se pueden encontrar tratamientos exhaustivos de la teoría y sus aplicaciones .

La norma logarítmica fue introducida en 1958, independientemente por Germund Dahlquist ^{[ 3 ]} y Sergei Lozinskiĭ ^{[ 4 ]} para matrices cuadradas y operadores lineales acotados. El propósito original era estimar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales.${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+r}$para construir condiciones suficientes para la estabilidad y obtener cotas de norma de las perturbaciones debidas a la función de forzamiento.${\displaystyle r}$.

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​una matriz cuadrada y${\displaystyle \|\cdot \|}$Sea la norma del operador inducida por una norma vectorial dada. La norma logarítmica asociada${\displaystyle \mu [A]}$se define por

${\displaystyle \mu [A]=\lim \limits _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {\|I+hA\|-1}{h}}\,,}$

dónde${\displaystyle h}$es real y${\displaystyle I}$es la matriz identidad de la misma dimensión que${\displaystyle A}$. El límite existe debido a la convexidad de la norma de la matriz .

El término norma logarítmica se debe a Lozinskiĭ y se refiere al hecho de que si${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$entonces

${\displaystyle {\mathrm {D} }_{t}^{+}\log \|x\|\,\leq \,\mu [A]\,,}$

dónde${\displaystyle {\mathrm {D} }_{t}^{+}}$denota la derivada de Dini superior derecha con respecto al tiempo. En otras palabras,${\displaystyle \mu [A]}$es un límite superior para la tasa de crecimiento (a corto plazo) de la "norma logarítmica" de${\displaystyle x(t)}$Utilizando la diferenciación logarítmica , esta cota también se puede escribir como la desigualdad diferencial.

${\displaystyle {\mathrm {D} }_{t}^{+}\|x\|\,\leq \,\mu [A]\cdot \|x\|\,,}$

de lo cual se deduce que, para${\displaystyle t\geq 0}$,

${\displaystyle \|{\mathrm {e} }^{tA}\|\,\leq \,{\mathrm {e} }^{t\mu [A]}\,.}$

Esta encuadernación siempre es preferible a la encuadernación de Lipschitz.${\displaystyle {\mathrm {e} }^{t\|A\|}}$, desde${\displaystyle \mu [A]\leq \|A\|}$. Además, mientras${\displaystyle \|A\|\geq 0}$, la norma logarítmica puede tomar valores negativos , por ejemplo cuando${\displaystyle A}$es definida negativa y se utiliza la norma euclidiana. Por lo tanto${\displaystyle \mu [A]\leq 0}$implica que${\displaystyle {\mathrm {e} }^{tA}}$es una contracción y, por lo tanto, las soluciones${\displaystyle x(t)}$son estables en el tiempo futuro.

La capacidad de la norma logarítmica para distinguir la evolución temporal directa e inversa en sistemas dinámicos es una propiedad clave. También puede determinar si un problema está bien planteado. Esta asimetría es importante en numerosas aplicaciones. Por ejemplo, en la teoría de control, es fundamental diferenciar entre retroalimentación positiva y negativa; esto también puede caracterizarse mediante la norma logarítmica.

Dependiendo del contexto, la norma logarítmica está relacionada con la teoría de estabilidad de Lyapunov . ^{[ 5 ]} Otros límites son similares a los obtenidos utilizando el lema de Grönwall . Por lo tanto, la matriz de transición de estado${\displaystyle \Phi (t,t_{0})}$asociada a una ecuación diferencial lineal no autónoma${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$satisface los límites superior e inferior ^{[ 6 ] [ 7 ]} para${\displaystyle t\geq t_{0}}$,

${\displaystyle \exp \left(-\int _{t_{0}}^{t}\mu [-A(s)]\,{\mathrm {d} }s\right)\,\leq \,\|\Phi (t,t_{0})\|\,\leq \,\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\mu [A(s)]\,{\mathrm {d} }s\right).}$

Más recientemente, la norma logarítmica se ha extendido y generalizado a aplicaciones no lineales ^{[ 8 ]} así como a operadores no acotados , ^{[ 9 ]} cubriendo problemas de valores en la frontera y aplicaciones elementales en ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas . ^{[ 1 ]}

La norma logarítmica puede aparecer en algunos textos con nombres menos informativos, como la "medida matricial" (para matrices) ^{[ 10 ]} y la "constante de Lipschitz unilateral" (para aplicaciones no lineales) ^{[ 11 ]} , aunque el concepto no se relaciona con la teoría de la medida ni implica la continuidad de Lipschitz .

Para mayor claridad y generalidad, la notación moderna define una cota inferior máxima (o simplemente inferior ) de la norma logarítmica.${\displaystyle m[A]}$así como la norma logarítmica clásica de mínimo límite superior ( superior ) por los dos límites izquierdo y derecho

${\displaystyle m[A]\,=\,\lim _{h\rightarrow 0^{-}}{\frac {\|I+hA\|-1}{h}}\,;\qquad M[A]\,=\,\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {\|I+hA\|-1}{h}}\,.}$

Aquí${\displaystyle m[A]\leq M[A]\equiv \mu [A]}$a pesar de${\displaystyle A}$y las normas logarítmicas inferior y superior están relacionadas por${\displaystyle m[A]\equiv -M[-A]}$.

Alternativamente, si se utiliza una norma de producto interno , las normas logarítmicas inferior y superior se definen como los mejores límites posibles tales que para todo${\displaystyle x}$,

${\displaystyle m_{2}[A]\cdot \|x\|_{2}^{2}\,\leq \,{\mathrm {Re} }\,\langle x,Ax\rangle \,\leq \,M_{2}[A]\cdot \|x\|_{2}^{2}\,,}$

dónde${\displaystyle \|x\|_{2}^{2}=\langle x,x\rangle }$denota la norma vectorial correspondiente. En el caso de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert , la definición del producto interno es equivalente a la definición original. Sin embargo, dado que la definición del producto interno también admite ciertas clases de operadores no acotados, es más general. En este último caso, una de las normas logarítmicas puede ser infinita.

Otras variantes de uso en la teoría de semigrupos se basan en el límite

${\displaystyle M[A]\,=\,\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {\|{\mathrm {e} }^{hA}\|-1}{h}}\,,}$

lo cual sigue siendo equivalente a la definición clásica si${\displaystyle A}$es un operador lineal acotado. En caso${\displaystyle {\mathrm {e} }^{tA}}$es un semigrupo fuertemente continuo para${\displaystyle t\geq 0}$, son necesarias varias modificaciones de esta alternativa, ya que el " campo vectorial "${\displaystyle A:x\mapsto y=Ax}$se define por el generador infinitesimal del semigrupo, es decir,

${\displaystyle Ax\,=\,\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {{\big (}{\mathrm {e} }^{hA}-I{\big )}x}{h}}\,.}$

La estructura del límite que utiliza la exponencial matricial es compartida por muchos otros pares de funcionales, que vinculan el campo vectorial y el flujo de una ecuación diferencial lineal de manera natural. Por ejemplo, se cumple que

${\displaystyle \alpha [A]=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {\rho [{\mathrm {e} }^{hA}]-1}{h}}\,;\qquad {\mathrm {trace} }[A]=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\det[{\mathrm {e} }^{hA}]-1}{h}}\,,}$

dónde${\displaystyle \rho [A]=\max _{k}|\lambda _{k}|}$y${\displaystyle \alpha [A]=\max _{k}{\mathrm {Re} }\,\lambda _{k}}$son el radio espectral (superior) y la abscisa espectral (superior) , respectivamente. Ambos límites existen, aunque ni el radio espectral ni el determinante son funcionales convexos. Además, para la traza, los límites izquierdo y derecho coinciden. Además,

${\displaystyle {\mathrm {D} }_{t}\det \!{\big [}{\mathrm {e} }^{tA}{\big ]}\,=\,{\mathrm {trace} }[A]\cdot \det \!{\big [}{\mathrm {e} }^{tA}{\big ]}.}$

A pesar de las similitudes, existen diferencias importantes. Por lo tanto, ${\displaystyle {\mathrm {D} }_{t}^{+}\|{\mathrm {e} }^{tA}\|\,\leq \,M[A]\cdot \|{\mathrm {e} }^{tA}\|\,,}$ donde las propiedades importantes que permiten establecer límites de norma son que la norma del operador sea submultiplicativa y la norma logarítmica sea subaditiva . Estas propiedades no se cumplen para el radio espectral ni para la abscisa, que son herramientas menos potentes en el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos.

Para cada elección de norma, las propiedades básicas (incluida cierta redundancia) de la norma logarítmica de una matriz son las siguientes: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle M[0]=0,\quad M[I]=1}$
2. ${\displaystyle M[-A]=-m[A]}$
3. Limitación${\displaystyle \,-\|A\|\,\leq \,m[A]\,\leq \,M[A]\,\leq \,\|A\|}$
4. Límites inferior y superior${\displaystyle \,-{\mathrm {glb} }[A]\,\leq \,M[A]\,\leq \,\|A\|}$
5. Límites inferior y superior${\displaystyle \,-\|A\|\,\leq \,m[A]\,\leq \,{\mathrm {glb} }[A]}$
6. Continuidad${\displaystyle \,{\big |}M[A]-M[B]{\big |}\,\leq \,\|A-B\|}$
7. Traducción real${\displaystyle \,M[A-\lambda I]=M[A]-{\mathrm {Re} }\,\lambda ,\qquad \lambda \in \mathbb {C} }$
8. Homogeneidad débil${\displaystyle \,M[\gamma \,A]=\gamma \cdot M[A],\qquad \gamma \in \mathbb {R} ^{+}}$
9. Sublinealidad${\displaystyle \,M[A+B]\,\leq \,M[A]+M[B]}$
10. Superlinealidad${\displaystyle \,m[A]+m[B]\,\leq \,m[A+B]}$
11. Convexidad${\displaystyle \,M[\theta A+(1-\theta )B]\,\leq \,\theta \,M[A]+(1-\theta )\,M[B],\qquad \theta \in [0,1]}$
12. Concavidad${\displaystyle \,\theta \,m[A]+(1-\theta )\,m[B]\,\leq \,m[\theta A+(1-\theta )B],\qquad \theta \in [0,1]}$
13. Límites exponenciales inferior y superior${\displaystyle \,{\mathrm {e} }^{tm[A]}\,\leq \,\|{\mathrm {e} }^{tA}\|\,\leq \,{\mathrm {e} }^{tM[A]},\qquad t\geq 0}$
14. cota inversa definida positiva${\displaystyle \,m[A]>0\quad \Rightarrow \quad \|A^{-1}\|\leq 1/m[A]}$
15. Límite inverso definido negativo${\displaystyle \,M[A]<0\quad \Rightarrow \quad \|A^{-1}\|\leq -1/M[A]}$
16. Límite espectral${\displaystyle \,\alpha [A]\leq M[A].}$

Como se ilustra en las propiedades 14 y 15, la condición${\displaystyle m[A]>0}$(${\displaystyle M[A]<0}$) generaliza la definición positiva (negativa) a normas arbitrarias y matrices no simétricas, al tiempo que cuantifica estas nociones. Una matriz indefinida con respecto a una norma dada satisface${\displaystyle m[A]\leq 0\leq M[A]}$.

Para los más comunes${\displaystyle l^{p}}$normas, la norma logarítmica de una matriz (compleja)${\displaystyle A}$se puede calcular de la siguiente manera, donde${\displaystyle a_{ij}}$representa el elemento de la matriz en la${\displaystyle i^{\mathrm {th} }}$fila y${\displaystyle j^{\mathrm {th} }}$columna, y dónde${\displaystyle A^{*}}$denota el conjugado complejo de${\displaystyle A}$ :

• ${\displaystyle M_{1}[A]\,=\,\max _{j}\left({\mathrm {Re} }\,a_{jj}+\sum _{i\neq j}|a_{ij}|\right)}$

• ${\displaystyle M_{2}[A]\,=\,\alpha \left[{\frac {A+A^{*}}{2}}\right]}$

• ${\displaystyle M_{\infty }[A]\,=\,\max _{i}\left({\mathrm {Re} }\,a_{ii}+\sum _{j\neq i}|a_{ij}|\right)}$

Dejar${\displaystyle A}$ser un (posiblemente complejo)${\displaystyle n\times n}$matriz. La raíz cuadrada simétrica definida positiva de${\displaystyle A^{*}A}$y la parte hermitiana de${\displaystyle A}$se denotan por

${\displaystyle |A|\,=\,{\sqrt {A^{*}A}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\mathrm {He} }(A)\,=\,{\frac {A+A^{*}}{2}}\,,}$

respectivamente. Sus problemas de valores propios son${\displaystyle |A|u=\sigma u}$y${\displaystyle {\mathrm {He} }(A)v=\mu v}$, dónde${\displaystyle \sigma _{k}}$son los${\displaystyle n}$valores singulares de${\displaystyle A}$, y${\displaystyle \mu _{k}}$son los${\displaystyle n}$valores logarítmicos de${\displaystyle A}$. Los valores singulares y logarítmicos son los${\displaystyle n}$puntos estacionarios de las dos formas cuadráticas

${\displaystyle {\frac {u^{*}|A|u}{u^{*}u}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {{\mathrm {Re} }\,v^{*}Av}{v^{*}v}}\,\equiv \,{\frac {v^{*}{\mathrm {He} }(A)v}{v^{*}v}}\,,}$

respectivamente. En cuanto a las relaciones con la${\displaystyle n}$valores propios${\displaystyle \lambda _{k}}$de${\displaystyle A}$, sostiene que

${\displaystyle {\mathrm {glb} }_{2}[A]\,=\,\min \sigma _{k}\,\leq \,\min |\lambda _{k}|\,\leq \,\max |\lambda _{k}|\,\leq \,\max \sigma _{k}\,=\,\|A\|_{2}}$

y

${\displaystyle m_{2}[A]\,=\,\min \mu _{k}\,\leq \,\min {\mathrm {Re} }\,\lambda _{k}\,\leq \,\max {\mathrm {Re} }\,\lambda _{k}\,\leq \,\max \mu _{k}\,=\,M_{2}[A]}$

junto con

${\displaystyle |\det A|\,=\,\prod _{k}|\lambda _{k}|\,=\,\prod _{k}\sigma _{k}\,=\,\det |A|}$

y

${\displaystyle {\mathrm {Re\,trace} }[A]\,=\,\sum _{k}{\mathrm {Re} }\,\lambda _{k}\,=\,\sum _{k}\mu _{k}\,=\,{\mathrm {trace} }\left[{\mathrm {He} }(A)\right].}$

Como la forma cuadrática${\displaystyle x^{*}Ax}$Generalmente es de valor complejo, solo se pueden encontrar los extremos de alguna función real relacionada. Para las normas logarítmicas se toma la parte real. Otra opción es tomar el valor absoluto para obtener el radio numérico de${\displaystyle A}$, definido por

${\displaystyle \nu [A]\,=\,\sup _{x\neq 0}{\frac {|x^{*}Ax|}{x^{*}x}}\,.}$

Porque${\displaystyle {\mathrm {Re} }\,z\leq |z|}$, se deduce que para todos${\displaystyle A}$,

${\displaystyle M_{2}[A]\leq \nu [A]\leq \|A\|_{2}.}$

El radio numérico es una norma matricial (pero no una norma de operador). Sin embargo, como no está definido por una forma cuadrática, la determinación de${\displaystyle \nu [A]}$es más intrincado. Pero a cada norma matricial le corresponde una norma logarítmica, y

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0^{-}}{\frac {\nu [I+hA]-1}{h}}\,=\,m_{2}[A]\,;\qquad \lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {\nu [I+hA]-1}{h}}\,=\,M_{2}[A]\,,}$

es decir, las normas logarítmicas inferior y superior del radio numérico coinciden con las normas logarítmicas euclidianas. ^{[ 1 ]} Por el teorema de Hausdorff-Toeplitz, el rango numérico de una matriz${\displaystyle A}$es el conjunto

${\displaystyle W(A)=\bigcap _{\varphi \in [0,2\pi ]}C(A;\varphi )}$

en el plano complejo, dado por la intersección de los semiplanos

${\displaystyle C(A;\varphi )\,=\,{\big \lbrace }z\in {\mathbb {C} }\,:\,{\mathrm {Re} }\,{\mathrm {e} }^{-{\mathrm {i} }\varphi }z\leq M_{2}[{\mathrm {e} }^{-{\mathrm {i} }\varphi }A]{\big \rbrace }\,,}$

y el radio numérico es

${\displaystyle \nu [A]=\sup _{z\in W(A)}|z|=\max _{\varphi \in [0,2\pi ]}M_{2}[{\mathrm {e} }^{-{\mathrm {i} }\varphi }A]\,.}$

Para funciones matriciales, el uso de la desigualdad de von Neumann y los conjuntos espectrales proporciona el siguiente resultado clásico, utilizando la norma euclidiana: sea un polinomio${\displaystyle P}$ser tal que${\displaystyle |z|\leq 1\Rightarrow |P(z)|\leq 1}$. Entonces${\displaystyle \|A\|_{2}\leq 1\Rightarrow \|P(A)\|_{2}\leq 1}$.

Utilizando la norma logarítmica, este teorema se puede generalizar de círculos unitarios a semiplanos. Por lo tanto, si${\displaystyle R}$es una función racional tal que ${\displaystyle {\mathrm {Re} }\,z\leq 0\Rightarrow |R(z)|\leq 1\,,}$ entonces ${\displaystyle M_{2}[A]\leq 0\Rightarrow \|R(A)\|_{2}\leq 1\,.}$

Esta propiedad es importante en el análisis numérico, donde los métodos implícitos de Runge-Kutta aproximan una ecuación diferencial.${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$mediante una recursión${\displaystyle x_{k+1}=R(hA)x_{k}}$, dónde${\displaystyle R}$es una función racional, denominada función de estabilidad del método . El sistema continuo es estable con un flujo contractivo si${\displaystyle M_{2}[A]\leq 0}$, mientras que el sistema discreto es estable (una contracción discreta) si${\displaystyle \|R(hA)\|_{2}\leq 1}$Por lo tanto, si la función de estabilidad${\displaystyle R}$Satisface${\displaystyle {\mathrm {Re} }\,z\leq 0\Rightarrow |R(z)|\leq 1}$, una condición conocida como estabilidad A , entonces el método de Runge-Kutta produce soluciones estables para todos los campos vectoriales semidefinidos negativos.${\displaystyle A}$.

De manera similar, la teoría de las normas logarítmicas también puede extenderse a normas unitariamente invariantes , por ejemplo, la norma de Hilbert-Schmidt para operadores de clase traza, la norma de Frobenius y, más generalmente, las normas de Schatten . Dado que los valores logarítmicos solo son invariantes bajo transformaciones de similitud unitarias, las normas logarítmicas se definen subordinadas a las normas matriciales.

Para aplicaciones no lineales de valor real, existen diversas posibilidades para definir normas de operador. La constante de Lipschitz de límite superior más pequeña es una seminorma de operador , que es todo lo que se requiere. Se puede incluir una constante de Lipschitz inferior correspondiente para definir

${\displaystyle l[f]\cdot \|u-v\|\,\leq \,\|f(u)-f(v)\|\,\leq \,L[f]\cdot \|u-v\|}$

en un dominio simplemente conexo${\displaystyle D}$. Las constantes de Lipschitz logarítmicas inferior y superior correspondientes se definen por

${\displaystyle m[f]=\lim _{h\rightarrow 0^{-}}{\frac {L[I+hf]-1}{h}}\,;\quad M[f]=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {L[I+hf]-1}{h}}\,,}$

donde ambos límites existen si${\displaystyle f}$es Lipschitz continuo. Para normas de producto interno, se pueden utilizar en su lugar las definiciones especiales.

${\displaystyle m_{2}[f]\cdot \|u-v\|_{2}^{2}\,\leq \,\langle u-v,f(u)-f(v)\rangle \,\leq \,M_{2}[f]\cdot \|u-v\|_{2}^{2}\,,}$

donde una o ambas constantes de Lipschitz logarítmicas pueden existir incluso cuando${\displaystyle f}$no es Lipschitz continua. Aunque en la práctica es difícil calcular los valores reales de las constantes de Lipschitz y Lipschitz logarítmicas, conservan su importancia teórica como herramientas útiles en el análisis no lineal. ^{[ 12 ]}

Se conservan todas las propiedades enumeradas anteriormente para los operadores lineales, siempre que se realicen operaciones como${\displaystyle f+g}$etc. están permitidas en un dominio de definición conjunto. En el caso especial cuando${\displaystyle f}$¿Es Fréchet diferenciable en un dominio convexo?${\displaystyle D}$, sostiene además que

${\displaystyle L[f]=\sup _{x\in D}\|f'(x)\|\qquad {\mbox{and}}\qquad M[f]=\sup _{x\in D}M[f'(x)]\,,}$

dónde${\displaystyle f'(x)}$es la matriz jacobiana de${\displaystyle f}$.

Un operador que tenga${\displaystyle m[f]>0}$o${\displaystyle M[f]<0}$se denomina uniformemente monótono , y el teorema de monotonicidad uniforme establece que

${\displaystyle m[f]>0\quad \Rightarrow \quad L[f^{-1}]\leq {\frac {1}{m[f]}}\,,}$

generalizando las Propiedades 14 - 15 anteriores y cuantificando el teorema de monotonicidad uniforme debido a Browder y Minty (1963). Aquí, la constante de Lipschitz de la inversa se define en la imagen de${\displaystyle f}$, mientras que su constante de Lipschitz logarítmica inferior se define en el dominio de${\displaystyle f}$.

Debido a que la composición no es distributiva sobre la suma para aplicaciones no lineales, las cotas de tipo von Neumann para las "funciones racionales de operadores" no tienen contrapartes directas en el caso no lineal. Sin embargo, algunos resultados se mantienen. Por ejemplo, en una iteración de punto fijo ${\displaystyle x_{k+1}=g(x_{k})}$ convergiendo a un punto fijo${\displaystyle x_{\infty }}$, se puede demostrar que el error está acotado por

${\displaystyle \|x_{k+1}-x_{\infty }\|\,\leq \,L{\big [}g\circ (I-g)^{-1}{\big ]}\cdot \|x_{k+1}-x_{k}\|\,,}$

donde la diferencia entre las dos iteraciones más recientes es directamente computable, y donde cualquiera de los tres límites

${\displaystyle L{\big [}g\circ (I-g)^{-1}{\big ]}\,\leq \,{\frac {L[g]}{1-M[g]}}\,\leq \,{\frac {L[g]}{1-L[g]}}\,,}$

puede utilizarse para obtener una estimación del error. Para garantizar la estimación simple${\displaystyle \|x_{k+1}-x_{\infty }\|\,\leq \,\|x_{k+1}-x_{k}\|}$utilizando la tercera expresión, se necesita${\displaystyle L[g]\leq 1/2}$para asegurar que se cumpla la estimación. Si en cambio se utiliza la opción central, es suficiente que${\displaystyle L[g]<1}$y${\displaystyle M[g]\leq 0}$. Usando la primera (mejor) expresión directamente, se obtiene un resultado más preciso, pero solo para normas de producto interno, a saber:

${\displaystyle M_{2}[g]\leq {\frac {1}{2}}\quad \Rightarrow \quad L_{2}{\big [}g\circ (I-g)^{-1}{\big ]}\leq 1\,,}$

sin restricciones adicionales${\displaystyle L_{2}[g]}$. En otras palabras, incluso las iteraciones de convergencia lenta admiten una estimación de error simple, siempre que la constante de Lipschitz logarítmica de${\displaystyle g}$es menor que${\displaystyle 1/2}$. El límite se basa en el uso de la identidad de polarización , tanto en el caso lineal como en el no lineal, y por lo tanto solo es válido para la norma euclidiana.

Para funciones racionales más complejas de${\displaystyle f}$Los resultados son limitados. Consideremos un sistema no lineal.${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$con${\displaystyle M_{2}[f]\leq 0}$, discretizado mediante la regla trapezoidal y el método del punto medio implícito, utilizando el mismo paso de tiempo${\displaystyle h}$Ambos son métodos de Runge-Kutta A-estables , asociados a la misma función de estabilidad racional.${\displaystyle R(z)=(1+z/2)/(1-z/2)}$, entonces si${\displaystyle f\equiv A}$es una aplicación lineal, ambos métodos son contractivos (ver arriba). Sin embargo, en el caso no lineal, la regla trapezoidal produce la recursión.

${\displaystyle u_{n+1}\,=\,\left(I-{\frac {hf}{2}}\right)^{-1}\circ \left(I+{\frac {hf}{2}}\right)(u_{n})}$

mientras que el método del punto medio implícito es

${\displaystyle v_{n+1}\,=\,\left(I+{\frac {hf}{2}}\right)\circ \left(I-{\frac {hf}{2}}\right)^{-1}(v_{n})\,.}$

Debido a que los dos operadores no lineales no conmutan, solo la segunda recursión es contractiva bajo la suposición${\displaystyle M_{2}[hf]\leq 0}$, es decir,

${\displaystyle M_{2}[f]\,\leq \,0\quad \Rightarrow \quad L_{2}\left[\left(I+{\frac {hf}{2}}\right)\circ \left(I-{\frac {hf}{2}}\right)^{-1}\right]\,\leq \,1.}$

Por lo tanto, la estabilidad A no es suficiente. En cambio, se requiere una condición cualificada, conocida como estabilidad B , para la contractividad en la norma euclidiana ^{[ 13 ]} ; los resultados se basan nuevamente en la identidad de polarización. De los dos métodos anteriores, solo el método del punto medio implícito es estable en B, pero existen otros métodos avanzados de Runge-Kutta estables en B con un alto orden de convergencia. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Para mapas no lineales, la acotación y la continuidad no son equivalentes. Si bien el enfoque lipschitziano de las normas logarítmicas anterior enfatiza la continuidad y la estabilidad, también existe un enfoque alternativo más débil, vinculado principalmente a la coercividad. Por lo tanto, para mapas${\displaystyle F}$satisfactorio${\displaystyle F(0)=0}$, definido en un dominio en forma de estrella${\displaystyle D}$Al contener el origen, se puede definir una norma de operador.${\displaystyle \|F\|=\sup _{x\in D}\|F(x)\|/\|x\|}$, junto con una norma logarítmica superior

${\displaystyle {\hat {\mu }}[F]=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {\|I+hF\|-1}{h}}\,.}$

Asimismo, en espacios con producto interno se pueden definir normas logarítmicas inferiores y superiores mediante ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\check {\mu }}_{2}[F]\cdot \|x\|_{2}^{2}\,\leq \,\langle x,F(x)\rangle \,\leq \,{\hat {\mu }}_{2}[F]\cdot \|x\|_{2}^{2}\,.}$

En los sistemas dinámicos, es de interés estimar cuánto se separan dos soluciones, dadas diversas perturbaciones. Esto implica acotar la diferencia.${\displaystyle u-v}$, dónde

${\displaystyle {\dot {u}}=f(u)+r}$

${\displaystyle {\dot {v}}=f(v)\,.}$

De la desigualdad diferencial

${\displaystyle {\mathrm {D} }_{t}^{+}\|u-v\|\,\leq \,M[f]\cdot \|u-v\|+\|r\|\,,\qquad t\geq 0}$

La siguiente cota general se obtiene utilizando constantes de Lipschitz logarítmicas,

${\displaystyle \|u(t)-v(t)\|\,\leq \,{\mathrm {e} }^{tM[f]}\|u_{0}-v_{0}\|+\int _{0}^{t}{\mathrm {e} }^{(t-\tau )M[f]}\,\|r(\tau )\|\,{\mathrm {d} }\tau \,.}$

Esta cota se aplica a sistemas lineales, sistemas no autónomos, sistemas no lineales, así como a algunos problemas con donde${\displaystyle f}$representa un operador no acotado, y para cualquier elección preferida de norma. Tomando${\displaystyle r\equiv 0}$cubre valores iniciales perturbados, mientras toma${\displaystyle u_{0}=v_{0}}$cubre el efecto de las funciones de forzamiento. En este último caso se puede estimar

${\displaystyle \|u(t)-v(t)\|\,\leq \,{\frac {{\mathrm {e} }^{tM[f]}-1}{M[f]}}\cdot \|r\|_{\infty }\,,}$

dónde${\displaystyle \|r\|_{\infty }=\max _{t\geq 0}\|r(t)\|}$. La cota generalmente se cumple en intervalos compactos, pero si${\displaystyle M[f]<0}$También se cumple en intervalos infinitos, lo que demuestra que el problema está bien planteado y que el error${\displaystyle u-v}$está uniformemente acotado en términos de${\displaystyle r}$a pesar de${\displaystyle t\geq 0}$, es decir,

${\displaystyle \|u(t)-v(t)\|\,\leq \,-\,{\frac {\|r\|_{\infty }}{M[f]}}\,.}$

En el caso de una ecuación diferencial rígida${\displaystyle {\dot {u}}=f(u)}$en${\displaystyle [0,T]}$sostiene que

${\displaystyle {\mathrm {e} }^{-Tm[f]}\gg {\mathrm {e} }^{TM[f]}\,,}$

donde la expresión de la izquierda representa el crecimiento máximo en tiempo inverso durante un intervalo de tiempo de longitud${\displaystyle T}$, mientras que la expresión correcta muestra el crecimiento máximo en el tiempo hacia adelante . Por lo tanto, la condición

${\displaystyle s[f]:={\frac {m[f]+M[f]}{2}}\ll -\,{\frac {1}{T}}}$

es característico de la rigidez: el promedio de las constantes de Lipschitz logarítmicas es negativo y típicamente varios órdenes de magnitud mayor que${\displaystyle 1/T}$Aquí está la función${\displaystyle s[f]}$se le conoce como indicador de rigidez . ^{[ 16 ]}

En su lugar, utilizando las normas logarítmicas de la matriz jacobiana.${\displaystyle f'(u)}$El criterio puede interpretarse localmente a lo largo de la trayectoria de la solución. Si se utiliza un método explícito para integrar la ecuación, entonces el paso de tiempo${\displaystyle h}$estará restringido por requisitos de estabilidad numérica para ser de orden${\displaystyle h\sim 1/\left|s[f'(u)]\right|}$.

Tenga en cuenta que

${\displaystyle s[f'(u)]={\frac {\mu _{1}+\mu _{n}}{2}}\,,}$

dónde${\displaystyle \mu _{1}}$y${\displaystyle \mu _{n}}$son los valores logarítmicos mayor y menor (ver arriba) del jacobiano${\displaystyle f'(u)}$Debido a que calcular las normas logarítmicas es relativamente costoso, una alternativa de utilidad similar consiste en calcular el promedio de todos los valores logarítmicos. La traza escalada${\displaystyle \tau [\cdot ]}$se define por

${\displaystyle \tau [f'(u)]\,:=\,{\frac {1}{n}}\sum _{k}\mu _{k}\,=\,{\frac {1}{n}}\,{\mathrm {trace} }[f'(u)]\,=\,{\frac {1}{n}}\left({\mathrm {div} }\,f\right)(u).}$

En la práctica,${\displaystyle \tau [f'(u)]}$sirve bien como indicador de rigidez y es barato de calcular ya que es simplemente el promedio de los elementos diagonales de${\displaystyle f'(u)}$Además, es igual a la divergencia escalada del campo vectorial en${\displaystyle u}$,

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left({\mathrm {div} }\,f\right)(u)\,.}$

Un sistema dinámico con${\displaystyle \,{\mathrm {div} }f\equiv 0\,}$conserva el volumen de fase (a menudo denominado conservación del área ). Lo que caracteriza a las ecuaciones diferenciales rígidas es que${\displaystyle \,{\mathrm {div} }f\,}$es grande y negativo, lo que implica que el volumen de fase se comprime a lo largo de la solución. La tasa de compresión del volumen de fase${\displaystyle \tau [f'(u)]}$(por unidad de tiempo) es indicativo de rigidez en${\displaystyle u}$y cuantifica las restricciones de tamaño de paso a lo largo de la trayectoria para métodos explícitos. ^{[ 17 ]}

Un operador diferencial${\displaystyle {\mathcal {L}}}$satisfactorio${\displaystyle \langle u,{\mathcal {L}}u\rangle >0}$Se denomina elíptica . En particular, la norma logarítmica cuantifica el concepto de elipticidad fuerte . Sus aplicaciones se encuentran en problemas de valores en la frontera y ecuaciones diferenciales parciales. En el caso más simple, se consideran funciones continuamente diferenciables por partes.${\displaystyle u,v}$que satisfacen las condiciones de Dirichlet homogéneas${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$, con el producto interno

${\displaystyle \langle u,v\rangle \,=\,\int _{0}^{1}uv\,{\mathrm {d} }x\,}$

induciendo lo habitual${\displaystyle L^{2}}$norma en el espacio de funciones${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$Alquiler${\displaystyle u'}$denotar${\displaystyle {\mathrm {d} }u/{\mathrm {d} }x}$, la integración por partes produce${\displaystyle \langle u,v'\rangle =-\langle u',v\rangle }$Por lo tanto, para el operador${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathrm {d} }^{2}/{\mathrm {d} }x^{2}}$obtenemos

${\displaystyle \langle u,{\mathcal {L}}u\rangle \,=\,\langle u,-u''\rangle \,=\,\langle u',u'\rangle \,=\,\|u'\|_{2}^{2}\,\geq \,\pi ^{2}\,\|u\|_{2}^{2}\,,}$

donde el último paso es la desigualdad de Poincaré . Se alcanza la igualdad para la función${\displaystyle u=\sin \pi x}$, lo que implica que${\displaystyle \pi ^{2}}$es la mejor constante posible. Por lo tanto

${\displaystyle \langle u,{\mathcal {L}}u\rangle \,\geq \,m_{2}[{\mathcal {L}}]\cdot \|u\|_{2}^{2}\,\equiv \,\pi ^{2}\,\|u\|_{2}^{2}\,,}$

demostrando que${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es fuertemente elíptico, con${\displaystyle m_{2}[-{\mathrm {d} }^{2}/{\mathrm {d} }x^{2}]=\pi ^{2}>0}$cuantificando la elipticidad. (La norma logarítmica superior es${\displaystyle +\infty }$(dado que el operador no está acotado). Una derivación análoga para las condiciones de Neumann.${\displaystyle u(0)=u'(1)=0}$resultados en${\displaystyle m_{2}[{\mathcal {L}}]=\pi ^{2}/4}$, donde la condición de contorno libre en${\displaystyle x=1}$reduce la elipticidad en comparación con el caso de las condiciones de Dirichlet.

Considerando la ecuación de Poisson unidimensional${\displaystyle -u''=f}$con${\displaystyle f\in L^{2}(0,1)}$y condiciones de Dirichlet homogéneas, la propiedad 14 anterior ofrece el límite de la solución

${\displaystyle \|u\|_{2}\,\leq \,{\frac {\|f\|_{2}}{m_{2}[{\mathcal {L}}]}}\,=\,{\frac {\|f\|_{2}}{\pi ^{2}}}\,.}$

Por lo tanto, la solución${\displaystyle u}$es único y depende continuamente de los datos, lo que implica estabilidad, donde el inverso de la norma logarítmica inferior es la constante de estabilidad . Una constante de estabilidad menor implica que la solución es más sensible a las perturbaciones en la función de datos.${\displaystyle f}$.

Resultados similares se obtienen para las aproximaciones de elementos finitos , donde el espacio de funciones se reemplaza por (por ejemplo) funciones lineales a trozos definidas en una cuadrícula. Esto afecta la norma logarítmica de${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, que se vuelve algo mayor (ya que el minimizador en la desigualdad de Poincaré no se puede representar). La teoría se puede extender a normas de Sobolev y soluciones débiles , por ejemplo, permitiendo "cargas puntuales" (funciones de Dirac en el lado derecho), como es común en los métodos de Galerkin , utilizando diferentes normas en la solución y datos y espacios según sea necesario.

Si en cambio se utiliza un método de diferencias finitas para resolver${\displaystyle -u''=f}$La ecuación diferencial se aproxima mediante una ecuación algebraica.${\displaystyle L{\tilde {u}}={\tilde {f}}}$La matriz${\displaystyle L}$normalmente heredará la elipticidad, es decir,${\displaystyle m_{2}[L]>0}$, demostrando que${\displaystyle L}$es definida positiva y, por lo tanto, invertible.

La importancia de la elipticidad fuerte en los operadores diferenciales autoadjuntos se puede ilustrar mediante el pandeo de Euler , donde una columna esbelta, fijada por condiciones de contorno articuladas (condiciones de Dirichlet homogéneas como las anteriores), está sometida a una carga axial.${\displaystyle F}$La solución${\displaystyle u}$representa la desviación de la línea central de la columna y satisface el problema de valores propios.

${\displaystyle -u''-{\frac {F}{EI}}\,u\,=\,0\,,}$

dónde${\displaystyle E}$es el módulo de elasticidad del material y${\displaystyle I}$es el momento de inercia de la sección transversal de la columna. La norma logarítmica del operador asociado es

${\displaystyle m_{2}\left[-{\frac {{\mathrm {d} }^{2}}{{\mathrm {d} }x^{2}}}\,-\,{\frac {F}{EI}}\right]\,=\,\pi ^{2}-{\frac {F}{EI}}\,.}$

Mientras${\displaystyle F/(EI)<\pi ^{2}}$, el operador sigue siendo fuertemente elíptico y${\displaystyle u\equiv 0}$es la solución única . Sin embargo, en la carga crítica${\displaystyle F_{\mathrm {c} }/(EI)=\pi ^{2}}$Se pierde la elipticidad: la columna falla (se pandea) cuando${\displaystyle F\geq F_{\mathrm {c} }}$La solución cero deja de ser única, de acuerdo con la alternativa de Fredholm , ya que el problema también admite soluciones no nulas (pandeadas) que satisfacen las condiciones de contorno homogéneas.

La norma logarítmica también se puede utilizar en ecuaciones diferenciales parciales con valores iniciales y de contorno.${\displaystyle u_{t}={\mathcal {A}}u+f(u)}$donde cuantifica las tasas de crecimiento o decaimiento de las soluciones. Esto es principalmente útil en sistemas disipativos. La diferencia entre dos soluciones decae si

${\displaystyle M_{2}[{\mathcal {A}}]\,+\,M_{2}[f]\,<\,0\,,}$

En cuyo caso el problema está bien planteado . Esto normalmente requerirá${\displaystyle -{\mathcal {A}}}$ser fuertemente elíptico y dominar${\displaystyle M_{2}[f]}$para una disipación suficiente, como en una ecuación de reacción-difusión.

Para un operador diferencial más complicado, como en convección-difusión,${\displaystyle M_{2}[{\mathcal {A}}]}$Puede depender de forma no trivial del tipo de condiciones de contorno y del equilibrio entre las tasas de convección y difusión (el número de Péclet ), lo que plantea interrogantes sobre la buena formulación del problema. Para problemas en varias dimensiones espaciales, suele ser difícil calcular la norma logarítmica, ya que depende de la geometría del dominio computacional donde se imponen las condiciones de contorno.