operador de Hilbert-Schmidt

En matemáticas , un operador de Hilbert-Schmidt , llamado así en honor a David Hilbert y Erhard Schmidt , es un operador acotado.${\displaystyle A\colon H\to H}$que actúa sobre un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$y tiene norma de Hilbert-Schmidt finita

$${\displaystyle \|A\|_{\operatorname {HS} }^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|_{H}^{2},}$$

dónde${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$es una base ortonormal . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El conjunto de índices${\displaystyle I}$no es necesario que sea numerable. Sin embargo, la suma de la derecha debe contener como máximo una cantidad numerable de términos distintos de cero para tener sentido. ^{[ 3 ]} Esta definición es independiente de la elección de la base ortonormal. En el espacio euclidiano de dimensión finita , la norma de Hilbert-Schmidt${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$es idéntica a la norma de Frobenius .

La norma de Hilbert-Schmidt no depende de la elección de la base ortonormal. De hecho, si${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$y${\displaystyle \{f_{j}\}_{j\in I}}$son tales bases, entonces $${\displaystyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle Ae_{i},f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle e_{i},A^{*}f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\|A^{*}f_{j}\|^{2}.}$$ Si${\displaystyle e_{i}=f_{i},}$entonces${\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}.}$En cuanto a cualquier operador acotado,${\displaystyle A=A^{**}.}$Reemplazar${\displaystyle A}$con${\displaystyle A^{*}}$En la primera fórmula, obtenga${\textstyle \sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}=\sum _{j}\|Af_{j}\|^{2}.}$La independencia le sigue.

Una clase importante de ejemplos la proporcionan los operadores integrales de Hilbert-Schmidt . Todo operador acotado con un rango de dimensión finita (estos se denominan operadores de rango finito) es un operador de Hilbert-Schmidt. El operador identidad en un espacio de Hilbert es un operador de Hilbert-Schmidt si y solo si el espacio de Hilbert es de dimensión finita. Dado cualquier${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle H}$, definir${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$por${\displaystyle (x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x}$, que es un operador lineal continuo de rango 1 y, por lo tanto, un operador de Hilbert-Schmidt; además, para cualquier operador lineal acotado${\displaystyle A}$en${\displaystyle H}$(y en${\displaystyle H}$),${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle }$. ^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle T:H\to H}$es un operador compacto acotado con valores propios${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\dots }$de${\displaystyle |T|:={\sqrt {T^{*}T}}}$donde cada valor propio se repite tantas veces como su multiplicidad, entonces${\displaystyle T}$es Hilbert-Schmidt si y solo si${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}<\infty }$, en cuyo caso la norma de Hilbert-Schmidt de${\displaystyle T}$es${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$. ^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle k\in L^{2}\left(X\times X\right)}$, dónde${\displaystyle \left(X,\Omega ,\mu \right)}$es un espacio de medida, entonces el operador integral${\displaystyle K:L^{2}\left(X\right)\to L^{2}\left(X\right)}$con kernel${\displaystyle k}$es un operador de Hilbert-Schmidt y${\displaystyle \left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}}$. ^{[ 5 ]} Por el contrario, si un operador acotado en${\displaystyle L^{2}\left(X\right)}$Si es Hilbert-Schmidt, entonces puede escribirse como un operador integral de esta forma. ^{[ 6 ]}

El producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt tiene norma de clase de traza finita ; por lo tanto, si A y B son dos operadores de Hilbert-Schmidt, el producto interno de Hilbert-Schmidt se puede definir como

$${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {tr} (B^{*}A)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$$

Los operadores de Hilbert-Schmidt forman un *-ideal bilateral en el álgebra de Banach de operadores acotados en H. También forman un espacio de Hilbert, denotado por B _HS ( H ) o B ₂ ( H ) , que se puede demostrar que es naturalmente isométrico isomorfo al producto tensorial de espacios de Hilbert.

$${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$$

donde H ^∗ es el espacio dual de H. La norma inducida por este producto interno es la norma de Hilbert-Schmidt, bajo la cual el espacio de operadores de Hilbert-Schmidt es completo (convirtiéndolo así en un espacio de Hilbert). ^{[ 4 ]} El espacio de todos los operadores lineales acotados de rango finito (es decir, que tienen un rango de dimensión finita) es un subconjunto denso del espacio de operadores de Hilbert-Schmidt (con la norma de Hilbert-Schmidt). ^{[ 4 ]}

El conjunto de operadores de Hilbert-Schmidt es cerrado en la topología de la norma si, y solo si, H es de dimensión finita.

• Todo operador de Hilbert-Schmidt T  : H → H es un operador compacto . ^{[ 5 ]}
• Un operador lineal acotado T  : H → H es de Hilbert-Schmidt si y solo si lo mismo es cierto para el operador${\textstyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$, en cuyo caso las normas de Hilbert-Schmidt de${\displaystyle T}$y${\textstyle \left|T\right|}$son iguales. ^{[ 5 ]}
• Los operadores de Hilbert-Schmidt son operadores nucleares de orden 2 y, por lo tanto, son operadores compactos . ^{[ 5 ]}
• Si${\displaystyle S:H_{1}\to H_{2}}$y${\displaystyle T:H_{2}\to H_{3}}$son operadores de Hilbert-Schmidt entre espacios de Hilbert entonces la composición${\displaystyle T\circ S:H_{1}\to H_{3}}$es un operador nuclear . ^{[ 3 ]}
• Si T  : H → H es un operador lineal acotado, entonces tenemos${\displaystyle \left\|T\right\|\leq \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }}$. ^{[ 5 ]}
• T es un operador de Hilbert-Schmidt si y solo si la traza${\displaystyle \operatorname {tr} }$del operador autoadjunto no negativo${\displaystyle T^{*}T}$es finito, en cuyo caso${\displaystyle \|T\|_{\text{HS}}^{2}=\operatorname {tr} (T^{*}T)}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• Si T  : H → H es un operador lineal acotado en H y S  : H → H es un operador de Hilbert-Schmidt en H , entonces${\displaystyle \left\|S^{*}\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$,${\displaystyle \left\|TS\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|T\right\|\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$, y${\displaystyle \left\|ST\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }\left\|T\right\|}$. ^{[ 5 ]} En particular, la composición de dos operadores de Hilbert-Schmidt es nuevamente Hilbert-Schmidt (e incluso un operador de clase traza ). ^{[ 5 ]}
• El espacio de operadores de Hilbert-Schmidt en H es un ideal del espacio de operadores acotados.${\displaystyle B\left(H\right)}$que contiene los operadores de rango finito. ^{[ 5 ]}
• Si A es un operador de Hilbert-Schmidt en H entonces$${\displaystyle \|A\|_{\text{HS}}^{2}=\sum _{i,j}|\langle e_{i},Ae_{j}\rangle |^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$$dónde${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$es una base ortonormal de H y${\displaystyle \|A\|_{2}}$es la norma de Schatten de${\displaystyle A}$para p = 2 . En el espacio euclidiano ,${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$También se la conoce como norma de Frobenius .

• Producto interno de Frobenius : operación binaria que toma dos matrices y devuelve un escalar. 
• Teorema de Sazonov
• Clase de traza : operador compacto para el cual se puede definir una traza finita. 

• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9OCLC 21195908​​ 
• Schaefer, Helmut H. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  3. Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• Reed, Michael ; Simon, Barry (1980). Métodos de física matemática moderna: análisis funcional . Academic Press.