Distribución lognormal

Dejar${\displaystyle Z}$Sea una variable normal estándar y sea${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma }$sean dos números reales, con${\displaystyle \sigma >0}$. Luego, la distribución de la variable aleatoria

$${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$$

se denomina distribución lognormal con parámetros${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma }$. Estos son el valor esperado (o media ) y la desviación estándar del logaritmo natural de la variable ,${\displaystyle \ln X}$, no la expectativa y la desviación estándar de${\displaystyle X}$sí mismo.

Esta relación es válida independientemente de la base de la función logarítmica o exponencial: Si${\displaystyle \log _{a}X}$si se distribuye normalmente, entonces también lo es.${\displaystyle \log _{b}X}$para cualesquiera dos números positivos${\displaystyle a,b\neq 1}$. Asimismo, si${\displaystyle e^{Y}}$si se distribuye lognormalmente, entonces también lo es${\displaystyle a^{Y}}$, dónde${\displaystyle 0<a\neq 1}$.

Para producir una distribución con la media deseada${\displaystyle \mu _{X}}$y varianza${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$, uno usa${\displaystyle \mu =\ln {\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}}$y${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right)}$.

Alternativamente, los parámetros "multiplicativos" o "geométricos"${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$y${\displaystyle \sigma ^{*}=e^{\sigma }}$Se pueden utilizar. Tienen una interpretación más directa:${\displaystyle \mu ^{*}}$es la mediana de la distribución, y${\displaystyle \sigma ^{*}}$es útil para determinar intervalos de "dispersión", véase más abajo.

Una variable aleatoria positiva${\displaystyle X}$tiene una distribución log-normal (es decir,${\textstyle X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$), si el logaritmo natural de${\displaystyle X}$se distribuye normalmente con media${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$:

$${\displaystyle \ln X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$$

Dejar${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle \varphi }$sean respectivamente la función de distribución de probabilidad acumulada y la función de densidad de probabilidad de la${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$distribución normal estándar, entonces tenemos que ^{[ 1 ] [ 3 ]} la función de densidad de probabilidad de la distribución log-normal está dada por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[X\leq x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[\ln X\leq \ln x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

La función de distribución acumulativa es

$${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}}$$

dónde${\displaystyle \Phi }$es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar (es decir,${\displaystyle \operatorname {\mathcal {N}} (0,1)}$).

Esto también puede expresarse de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$$

donde erfc es la función de error complementaria .

Si${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$es una distribución normal multivariada , entonces${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$tiene una distribución log-normal multivariada. ^{[ 5 ] [ 6 ]} La exponencial se aplica elemento a elemento al vector aleatorio${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$. La media de${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$es

$${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$$

y su matriz de covarianza es

$${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right).}$$

Dado que la distribución log-normal multivariada no se utiliza ampliamente, el resto de esta entrada solo trata sobre la distribución univariada .

Todos los momentos de la distribución log-normal existen y

$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}\,.}$$

Sin embargo, la distribución log-normal no está determinada por sus momentos. ^{[ 7 ]} Esto implica que no puede tener una función generadora de momentos definida en un entorno de cero. ^{[ 8 ]} De hecho, el valor esperado${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$no está definido para ningún valor positivo del argumento${\displaystyle t}$, puesto que la integral definitoria diverge.

La función característica${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$está definida para valores reales de t , pero no está definida para ningún valor complejo de t que tenga una parte imaginaria negativa, y por lo tanto la función característica no es analítica en el origen. En consecuencia, la función característica de la distribución log-normal no puede representarse como una serie convergente infinita. ^{[ 9 ]} En particular, su serie formal de Taylor diverge:

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(it\right)}^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}\,.}$$

Sin embargo, se han obtenido varias representaciones alternativas de series divergentes . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

Una fórmula en forma cerrada para la función característica${\displaystyle \varphi (t)}$con${\displaystyle t}$en el dominio de convergencia no se conoce. Se dispone de una fórmula de aproximación relativamente simple en forma cerrada, y está dada por ^{[ 13 ].}

$${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W{\left(-it\sigma ^{2}e^{\mu }\right)}}}}}$$

dónde${\displaystyle W}$es la función W de Lambert . Esta aproximación se deriva mediante un método asintótico, pero se mantiene precisa en todo el dominio de convergencia de${\displaystyle \varphi }$.

La media geométrica o multiplicativa de la distribución log-normal es${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$Es igual a la mediana. La desviación estándar geométrica o multiplicativa es${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Por analogía con la estadística aritmética, se puede definir una varianza geométrica,${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$y un coeficiente de variación geométrico , ^{[ 14 ]}${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$Se ha propuesto este término. Se pretendía que fuera análogo al coeficiente de variación, para describir la variación multiplicativa en datos log-normales, pero esta definición de GCV no tiene base teórica como estimación de${\displaystyle \operatorname {CV} }$él mismo (véase también Coeficiente de variación ).

Nótese que la media geométrica es menor que la media aritmética. Esto se debe a la desigualdad AM-GM y es consecuencia de que el logaritmo sea una función cóncava . De hecho, ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$$

En finanzas, el término${\displaystyle e^{-\sigma ^{2}/2}}$A veces se interpreta como una corrección de convexidad . Desde el punto de vista del cálculo estocástico , este es el mismo término de corrección que en el lema de Itō para el movimiento browniano geométrico .

Para cualquier número real o complejo n , el n -ésimo momento de una variable X con distribución log-normal viene dado por ^{[ 3 ].}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$$

Específicamente, la media aritmética, el cuadrado esperado, la varianza aritmética y la desviación estándar aritmética de una variable X con distribución log-normal vienen dadas respectivamente por: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}={\left(\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)\\[2pt]&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}\\[2pt]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$$

El coeficiente de variación aritmética${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$es la proporción${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$. Para una distribución log-normal es igual a ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$$ Esta estimación a veces se denomina "coeficiente de variación geométrico" (CVG), ^{[ 17 ] [ 18 ]} debido a que utiliza la varianza geométrica. A diferencia de la desviación estándar aritmética, el coeficiente de variación aritmético es independiente de la media aritmética.

Los parámetros μ y σ se pueden obtener si se conocen la media aritmética y la varianza aritmética:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}},\\[1ex]\sigma ^{2}&=\ln {\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Una distribución de probabilidad no está determinada de forma única por los momentos E[ X ⁿ ] = e ^{nμ + ⁠ 1 / 2 ⁠ n 2 σ 2} para n ≥ 1 . Es decir, existen otras distribuciones con el mismo conjunto de momentos. ^{[ 3 ]} De hecho, existe toda una familia de distribuciones con los mismos momentos que la distribución log-normal; véase Distribuciones relacionadas más adelante.

La moda es el punto de máximo global de la función de densidad de probabilidad. En particular, al resolver la ecuación${\displaystyle (\ln f)'=0}$, lo entendemos:

$${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$$

Dado que la variable transformada logarítmicamente${\displaystyle Y=\ln X}$tiene una distribución normal y los cuantiles se conservan bajo transformaciones monótonas, los cuantiles de${\displaystyle X}$son

$${\displaystyle q_{X}(\alpha )=\exp \left[\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )\right]=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$$

dónde${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$es el cuantil de la distribución normal estándar.

Específicamente, la mediana de una distribución log-normal es igual a su media multiplicativa, ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$$

La esperanza parcial de una variable aleatoria${\displaystyle X}$con respecto a un umbral${\displaystyle k}$se define como

$${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }x\,f_{X}(x)\,dx.}$$

Alternativamente, utilizando la definición de expectativa condicional , se puede escribir como${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]\Pr(X>k)}$Para una variable aleatoria log-normal, la esperanza parcial viene dada por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}g(k)&=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\\[1ex]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi {\left({\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right)}\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \Phi }$es la función de distribución acumulativa normal . La derivación de la fórmula se proporciona en la página de discusión . La fórmula de esperanza parcial tiene aplicaciones en seguros y economía , se utiliza para resolver la ecuación diferencial parcial que conduce a la fórmula de Black-Scholes .

La esperanza condicional de una variable aleatoria log-normal${\displaystyle X}$—con respecto a un umbral${\displaystyle k}$—es su esperanza parcial dividida por la probabilidad acumulada de estar en ese rango:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\geq k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right]}}{1-\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}-\Phi {\left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi \left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$$

Además de la caracterización por${\displaystyle \mu ,\sigma }$o${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$Aquí hay varias formas en que se puede parametrizar la distribución log-normal. ProbOnto , la base de conocimiento y ontología de distribuciones de probabilidad ^{[ 20 ] [ 21 ]} enumera siete de dichas formas:

• LogNormal1 ( μ , σ ) con media , μ y desviación estándar , σ , ambas en la escala logarítmica ^{[ 22 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$
• LogNormal2( μ , υ ) con media, μ y varianza, υ , ambas en la escala logarítmica$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$$
• LogNormal3( m , σ ) con mediana , m , en la escala natural y desviación estándar, σ , en la escala logarítmica ^{[ 22 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$
• LogNormal4( m , cv) con mediana, m , y coeficiente de variación , cv , ambos en la escala natural.$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$$
• LogNormal5 ( μ , τ ) con media, μ y precisión , τ , ambas en la escala logarítmica ^{[ 23 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$$
• LogNormal6( m , σ _g ) con mediana, m , y desviación estándar geométrica , σ _g , ambas en la escala natural ^{[ 24 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi }}\,\ln \sigma _{g}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$$
• LogNormal7 ( μ _N , σ _N ) con media, μ _N y desviación estándar, σ _N , ambas en la escala natural ^{[ 25 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}\right)^{2}}{2\ln \left(1+{\frac {\sigma _{N}^{2}}{\mu _{N}^{2}}}\right)}}\right]}$$

• Multiplicación por una constante: Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$entonces${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\sigma ^{2})}$para${\displaystyle a>0.}$
• Recíproco: Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$entonces${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\sigma ^{2}).}$
• Potencia: Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$entonces${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,a^{2}\sigma ^{2})}$para${\displaystyle a\neq 0.}$

Si dos variables independientes , lognormales${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$se multiplican [dividen], el producto [cociente] es nuevamente log-normal, con parámetros${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$[${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$] y${\displaystyle \sigma }$, dónde${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$.

En términos más generales, si${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$son${\displaystyle n}$variables independientes con distribución lognormal, entonces${\textstyle Y=\prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

La media geométrica o multiplicativa de${\displaystyle n}$variables aleatorias positivas, independientes e idénticamente distribuidas${\displaystyle X_{i}}$espectáculos, para${\displaystyle n\to \infty }$, aproximadamente una distribución lognormal con parámetros${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\ln X_{i}]}$y${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {var} [\ln X_{i}]/n}$, suponiendo${\displaystyle \sigma ^{2}}$es finito.

De hecho, las variables aleatorias no tienen por qué estar distribuidas de forma idéntica. Basta con que las distribuciones de${\displaystyle \ln X_{i}}$todas tengan varianza finita y satisfagan las demás condiciones de cualquiera de las muchas variantes del teorema del límite central .

Esto se conoce comúnmente como la ley de Gibrat .

Un conjunto de datos que surge de la distribución log-normal tiene una curva de Lorenz simétrica (véase también coeficiente de asimetría de Lorenz ). ^{[ 29 ]}

El armónico${\displaystyle H}$, geométrico${\displaystyle G}$y aritmética${\displaystyle A}$Las medias de esta distribución están relacionadas; ^{[ 30 ]} dicha relación viene dada por

$${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$$

Las distribuciones log-normales son infinitamente divisibles , ^{[ 31 ]} pero no son distribuciones estables , de las cuales se puede extraer fácilmente. ^{[ 32 ]}

La forma más eficiente de obtener estimaciones de intervalo al analizar datos con distribución log-normal consiste en aplicar los métodos bien conocidos basados ​​en la distribución normal a los datos transformados logarítmicamente y, posteriormente, transformar de nuevo los resultados si procede.

En las aplicaciones,${\displaystyle \sigma }$es un parámetro que debe determinarse. Para procesos de crecimiento equilibrados por producción y disipación, el uso de un principio extremal de entropía de Shannon muestra que ^{[ 54 ]}$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {6}}}}$$

Este valor se puede utilizar para dar alguna relación de escala entre el punto de inflexión y el punto máximo de la distribución log-normal. ^{[ 54 ]} Esta relación está determinada por la base del logaritmo natural,${\displaystyle e=2.718\ldots }$y exhibe cierta similitud geométrica con el principio de energía superficial mínima. Estas relaciones de escala son útiles para predecir una serie de procesos de crecimiento (propagación de epidemias, salpicaduras de gotas, crecimiento de la población, tasa de remolino del vórtice de la bañera, distribución de caracteres lingüísticos, perfil de velocidad de las turbulencias, etc.). Por ejemplo, la función log-normal con tales${\displaystyle \sigma }$encaja bien con el tamaño de las gotitas producidas secundariamente durante el impacto de gotitas ^{[ 55 ]} y la propagación de una enfermedad epidémica. ^{[ 56 ]}