Mapa lineal

En matemáticas , y más específicamente en álgebra lineal , una aplicación lineal (o mapeo lineal ) es un tipo particular de función entre espacios vectoriales que respeta las operaciones básicas de suma de vectores y multiplicación escalar . Un ejemplo estándar de una aplicación lineal es un${\displaystyle m\times n}$matriz, que toma vectores en${\displaystyle n}$-dimensiones en vectores en${\displaystyle m}$-dimensiones de una manera que sea compatible con la suma de vectores y la multiplicación de vectores por escalares .

Una aplicación lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales. ^{[ nota 1 ]} Por lo tanto, una aplicación lineal${\displaystyle T:V\to W}$satisface​${\displaystyle T(ax+by)=aTx+bTy}$, donde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son escalares y${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son vectores (elementos del espacio vectorial )${\displaystyle V}$⁠ ). Una aplicación lineal siempre mapea el origen de${\displaystyle V}$al origen de${\displaystyle W}$⁠ , y subespacios lineales de${\displaystyle V}$sobre subespacios lineales en${\displaystyle W}$(posiblemente de una dimensión inferior ); ^{[ 1 ]} por ejemplo, mapea un plano que pasa por el origen en${\displaystyle V}$a cualquiera de los dos planos que pasan por el origen en${\displaystyle W}$⁠ , una línea que pasa por el origen en ⁠${\displaystyle W}$⁠ , o simplemente el origen en ⁠${\displaystyle W}$⁠ . Los mapas lineales a menudo se pueden representar como matrices , y ejemplos sencillos incluyen las transformaciones lineales de rotación y reflexión .

Dejar${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$sean espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo${\displaystyle K}$⁠ , como los números reales o complejos . Una función${\displaystyle f:V\to W}$Se dice que es una aplicación lineal si para cualesquiera dos vectores${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \en V}$y cualquier escalar${\displaystyle c\in K}$Se cumplen las dos condiciones siguientes:

• Aditividad / operación de suma ^{[ nota 2 ]}$${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• Homogeneidad de grado 1 / operación de multiplicación escalar$${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

Por lo tanto, se dice que una transformación lineal preserva las operaciones . En otras palabras, no importa si la transformación lineal se aplica antes (los lados derechos de los ejemplos anteriores) o después (los lados izquierdos de los ejemplos) de las operaciones de suma y multiplicación escalar.

Por la asociatividad de la operación de suma denotada como +, para cualesquiera vectores${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$y escalares${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K}$⁠ , se cumple la siguiente igualdad: ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$ Por lo tanto, una aplicación lineal es aquella que conserva las combinaciones lineales .

Denotando los elementos cero de los espacios vectoriales${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$por${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$y${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$respectivamente, se deduce que${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}}$⁠ . Deja${\displaystyle c=0}$y${\textstyle \mathbf {v} \en V}$en la ecuación para homogeneidad de grado 1: $${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

Un mapa lineal${\displaystyle V\to K}$con${\displaystyle K}$visto como un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo se denomina funcional lineal . ^{[ 4 ]}

Estas afirmaciones se generalizan a cualquier módulo izquierdo.${\textstyle {}_{R}M}$sobre un anillo${\displaystyle R}$sin modificación, y a cualquier módulo derecho al invertir la multiplicación escalar.

• El mapa único de la forma${\displaystyle T:\{{\vec {0}}\}\a \{{\vec {0}}\}}$es lineal.
• Un ejemplo prototípico que da nombre a los mapas lineales es una función .${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$⁠ , cuya gráfica es una línea que pasa por el origen. ^{[ 5 ]}

  

• De manera más general, cualquier homotecia${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$Una aplicación lineal (donde c es un escalar) centrada en el origen de un espacio vectorial.
• El mapa cero${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$La relación entre dos espacios vectoriales (sobre el mismo campo ) es lineal.
• La función identidad en cualquier módulo es un operador lineal.
• Para números reales, el mapa${\textstyle x\mapsto x^{2}}$no es lineal.
• Para números reales, el mapa${\textstyle x\mapsto x+1}$no es lineal (pero es una transformación afín ).
• Si${\displaystyle A}$es un${\displaystyle m\times n}$matriz real , entonces${\displaystyle A}$define un mapa lineal desde${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$enviando un vector columna${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$al vector columna ⁠${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$⁠ . Por el contrario, cualquier aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita puede representarse de esta manera; véase §  Matrices , más adelante.
• Si${\textstyle f:V\to W}$es una isometría entre espacios normados reales tal que${\textstyle f(0)=0}$entonces${\displaystyle f}$es una aplicación lineal. Este resultado no es necesariamente cierto para espacios normados complejos. ^{[ 6 ]}
• La diferenciación define una aplicación lineal del espacio de todas las funciones diferenciables al espacio de todas las funciones. También define un operador lineal en el espacio de todas las funciones suaves (un operador lineal es un endomorfismo lineal , es decir, una aplicación lineal con el mismo dominio y codominio ). De hecho,$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• Una integral definida sobre algún intervalo I es una aplicación lineal del espacio de todas las funciones integrables de valor real en I a ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ . En efecto,$${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• Una integral indefinida (o antiderivada ) con un punto de inicio de integración fijo define una aplicación lineal desde el espacio de todas las funciones integrables de valor real en${\displaystyle \mathbb {R} }$al espacio de todas las funciones diferenciables de valor real en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$Sin un punto de partida fijo, la antiderivada se mapea al espacio cociente de las funciones diferenciables por el espacio lineal de las funciones constantes.
• Si${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo F , de dimensiones respectivas m y n , entonces la función que mapea mapeos lineales${\textstyle f:V\to W}$a matrices n × m de la forma descrita en §  Matrices (a continuación) es una aplicación lineal, e incluso un isomorfismo lineal .
• El valor esperado de una variable aleatoria es una función lineal de la variable aleatoria: para variables aleatorias${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$tenemos${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$y​${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$⁠ . La esperanza condicional también lo es. Pero la varianza de una variable aleatoria no es lineal, porque, por ejemplo , ⁠${\displaystyle {\text{Var}}(aX)=a^{2}{\text{Var}}(X)}$.​

• 
  La función${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$con${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$es un mapa lineal. Esta función escala el${\textstyle x}$componente de un vector por el factor${\displaystyle 2}$.​
• 
  La función${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$es aditivo: no importa si los vectores se suman primero y luego se mapean o si se mapean y finalmente se suman:${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  La función${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$es homogéneo: No importa si un vector se escala primero y luego se mapea o primero se mapea y luego se escala:${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Si${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$son espacios vectoriales de dimensión finita y se define una base para cada espacio vectorial, entonces cada aplicación lineal de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$puede representarse mediante una matriz . ^{[ 10 ]} Esto es útil porque permite realizar cálculos concretos. Las matrices proporcionan ejemplos de aplicaciones lineales: si${\displaystyle A}$es un real${\displaystyle m\times n}$matriz, entonces${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$describe un mapa lineal${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$(véase espacio euclidiano ).

Dejar${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ser una base para${\displaystyle V}$⁠ . Entonces cada vector${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$está determinado de forma única por los coeficientes${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$en el campo${\displaystyle \mathbb {R} }$:​ $${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

Si${\textstyle f:V\to W}$es un mapa lineal, $${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

lo que implica que la función f está completamente determinada por los vectores ⁠${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$⁠ . Ahora dejemos${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ser una base para${\displaystyle W}$⁠ . Entonces podemos representar cada vector${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$como $${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

Por lo tanto, la función${\displaystyle f}$está totalmente determinado por los valores de ⁠${\displaystyle a_{ij}}$⁠ . Si ponemos estos valores en un${\displaystyle m\times n}$matriz​${\displaystyle M}$⁠ , entonces podemos usarlo convenientemente para calcular la salida vectorial de${\displaystyle f}$para cualquier vector en${\displaystyle V}$⁠ . Para obtener ⁠${\displaystyle M}$, cada columna${\displaystyle j}$de${\displaystyle M}$es un vector $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$ correspondiente a${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$como se definió anteriormente. Para definirlo más claramente, para alguna columna${\displaystyle j}$que corresponde al mapeo${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$⁠ , $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$ dónde${\displaystyle M}$es la matriz de${\displaystyle f}$⁠ . En otras palabras, cada columna${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$tiene un vector correspondiente${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$cuyas coordenadas${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$son los elementos de la columna${\displaystyle j}$Una única transformación lineal puede representarse mediante muchas matrices. Esto se debe a que los valores de los elementos de una matriz dependen de las bases elegidas.

Las matrices de una transformación lineal pueden representarse visualmente:

1. Matriz para${\textstyle T}$relativo a${\displaystyle B}$:​${\textstyle A}$
2. Matriz para${\textstyle T}$relativo a${\displaystyle B'}$:​${\textstyle A'}$
3. Matriz de transición desde${\textstyle B'}$a​${\displaystyle B}$:​${\textstyle P}$
4. Matriz de transición desde${\textstyle B}$a​${\displaystyle B'}$:​${\textstyle P^{-1}}$

De tal manera que comenzando en la esquina inferior izquierda${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$y buscando la esquina inferior derecha${\displaystyle \textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$⁠ , se multiplicaría por la izquierda, es decir, ⁠${\displaystyle \textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$⁠ . El método equivalente sería el método "más largo" que va en sentido horario desde el mismo punto, de manera que${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$se multiplica por la izquierda con ⁠${\displaystyle P^{-1}AP}$, o​${\displaystyle \textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$.​

La composición de mapas lineales es lineal: si${\displaystyle f:V\to W}$y${\textstyle g:W\to Z}$Si son lineales, entonces también lo es su composición .${\displaystyle g\circ f:V\to Z}$⁠ . De esto se deduce que la clase de todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo K dado , junto con las aplicaciones lineales como morfismos , forma una categoría .

La inversa de una aplicación lineal, cuando está definida, es de nuevo una aplicación lineal.

Si${\textstyle f_{1}:V\to W}$y${\textstyle f_{2}:V\to W}$Si son lineales, entonces también lo es su suma puntual .${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$⁠ , que se define por ⁠${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$.​

Si${\textstyle f:V\to W}$es lineal y${\textstyle \alpha }$es un elemento del campo terrestre${\displaystyle K}$⁠ , luego el mapa ⁠${\displaystyle \alpha f}$⁠ , definido por ⁠${\displaystyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$⁠ , también es lineal.

Por lo tanto, el conjunto${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$de mapas lineales de${\textstyle V}$a${\textstyle W}$forma en sí mismo un espacio vectorial sobre ⁠${\displaystyle K}$⁠ , ^{[ 11 ]} a veces denotado ⁠${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$⁠ . ^{[ 12 ]} Además, en el caso de que ⁠${\displaystyle V=W}$⁠ , este espacio vectorial, denotado ⁠${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$⁠ , es un álgebra asociativa bajo la composición de aplicaciones , ya que la composición de dos aplicaciones lineales es también una aplicación lineal, y la composición de aplicaciones es siempre asociativa. Este caso se analiza con más detalle a continuación.

Dado nuevamente el caso de dimensión finita, si se han elegido bases, entonces la composición de mapas lineales corresponde a la multiplicación de matrices , la suma de mapas lineales corresponde a la suma de matrices , y la multiplicación de mapas lineales con escalares corresponde a la multiplicación de matrices con escalares.

Si${\textstyle f:V\to W}$es lineal, definimos el núcleo y la imagen o rango de${\textstyle f}$por $${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$es un subespacio de${\textstyle V}$y${\textstyle \operatorname {im} (f)}$es un subespacio de${\displaystyle W}$⁠ . La siguiente fórmula de dimensión se conoce como el teorema de rango-nulidad : ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

El número${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$También se le llama rango de${\textstyle f}$y escrito como${\displaystyle \operatorname {rank} (f)}$⁠ , o a veces, ⁠${\displaystyle \rho (f)}$; [ ^{14 ] [ 15 ] el} número${\textstyle \dim(\ker(f))}$se llama la nulidad de${\textstyle f}$y escrito como${\textstyle \operatorname {null} (f)}$o​${\displaystyle \nu (f)}$⁠ . ^{[ 14 ] [ 15 ]} Si${\textstyle V}$y${\textstyle W}$son de dimensión finita, se han elegido bases y${\textstyle f}$está representada por la matriz ⁠${\displaystyle A}$⁠ , entonces el rango y la nulidad de${\textstyle f}$son iguales al rango y la nulidad de la matriz .${\displaystyle A}$, respectivamente.

Un invariante más sutil de una transformación lineal${\textstyle f:V\to W}$es el co núcleo , que se define como $${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

Esta es la noción dual del núcleo: así como el núcleo es un subespacio del dominio, el co-núcleo es un espacio cociente del objetivo. Formalmente, se tiene la secuencia exacta$${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

Esto se puede interpretar de la siguiente manera: dada una ecuación lineal f ( v ) = w para resolver,

• el núcleo es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea f ( v ) = 0 , y su dimensión es el número de grados de libertad en el espacio de soluciones, si no está vacío;
• El co-núcleo es el espacio de restricciones que deben satisfacer las soluciones, y su dimensión es el número máximo de restricciones independientes.

La dimensión del co-núcleo y la dimensión de la imagen (el rango) suman la dimensión del espacio objetivo. Para dimensiones finitas, esto significa que la dimensión del espacio cociente W / f ( V ) es la dimensión del espacio objetivo menos la dimensión de la imagen.

Como ejemplo sencillo, consideremos la aplicación f  : R ² → R ² , dada por f ( x , y ) = (0, y ) . Entonces, para que una ecuación f ( x , y ) = ( a , b ) tenga una solución, debemos tener a = 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de soluciones es ( x , b ) o, equivalentemente, (0, b ) + ( x , 0) , (un grado de libertad). El núcleo puede expresarse como el subespacio ( x , 0) < V : el valor de x es la libertad en una solución – mientras que el co-núcleo puede expresarse a través de la aplicación W → R , ⁠${\displaystyle (a,b)\mapsto (a)}$⁠ : dado un vector ( a , b ) , el valor de a es la obstrucción para que exista una solución.

Un ejemplo que ilustra el caso de dimensión infinita lo proporciona la aplicación f  : R ^∞ → R ^∞ ,${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$con b ₁ = 0 y b _{n + 1} = a _n para n > 0 . Su imagen consiste en todas las secuencias con primer elemento 0 , y por lo tanto su co-núcleo consiste en las clases de secuencias con primer elemento idéntico. Así, mientras que su núcleo tiene dimensión 0 (mapea solo la secuencia cero a la secuencia cero), su co-núcleo tiene dimensión 1. Dado que el dominio y el espacio objetivo son los mismos, el rango y la dimensión del núcleo suman la misma suma que el rango y la dimensión del co-núcleo ( ⁠${\displaystyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$⁠ ), pero en el caso de dimensión infinita no se puede inferir que el núcleo y el co-núcleo de un endomorfismo tengan la misma dimensión ( 0 ≠ 1 ). La situación inversa se obtiene para el mapa h  : R ^∞ → R ^∞ ,${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$con c _n = a _{n + 1} . Su imagen es todo el espacio objetivo, y por lo tanto su co-núcleo tiene dimensión 0, pero como asigna todas las secuencias en las que solo el primer elemento no es cero a la secuencia cero, su núcleo tiene dimensión 1.

Ninguna clasificación de mapas lineales puede ser exhaustiva. La siguiente lista incompleta enumera algunas clasificaciones importantes que no requieren ninguna estructura adicional en el espacio vectorial.

Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo F y sea T  : V → W una aplicación lineal.

Dado un mapeo lineal que es un endomorfismo cuya matriz es A , en la base B del espacio transforma las coordenadas vectoriales [ u ] como [ v ] = A [ u ] . Como los vectores cambian con el inverso de B (las coordenadas vectoriales son contravariantes ) su transformación inversa es [ v ] = B [ v ′] .

Sustituyendo esto en la primera expresión $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$ por eso $${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

Por lo tanto, la matriz en la nueva base es A ′ = B ⁻¹ AB , siendo B la matriz de la base dada.

Por lo tanto, se dice que los mapas lineales son objetos variantes 1-co- 1-contra- o tensores de tipo (1, 1) .

Una transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos , por ejemplo espacios normados , puede ser continua . Si su dominio y codominio son iguales, entonces será un operador lineal continuo . Un operador lineal en un espacio lineal normado es continuo si y solo si es acotado , por ejemplo, cuando el dominio es de dimensión finita. ^{[ 17 ]} Un dominio de dimensión infinita puede tener operadores lineales discontinuos .

Un ejemplo de transformación lineal no acotada y, por lo tanto, discontinua, es la diferenciación en el espacio de funciones suaves dotadas de la norma del supremo (una función con valores pequeños puede tener una derivada con valores grandes, mientras que la derivada de 0 es 0 ). Como ejemplo concreto, sin( nx )/ n converge a 0 , pero su derivada cos( nx ) no lo hace, por lo que la diferenciación no es continua en 0 (y, por una variación de este argumento, no es continua en ningún punto).

Una aplicación específica de las transformaciones lineales se encuentra en las transformaciones geométricas , como las que se realizan en gráficos por computadora , donde la traslación, rotación y escalado de objetos 2D o 3D se efectúan mediante una matriz de transformación . Las transformaciones lineales también se utilizan como mecanismo para describir cambios: por ejemplo, en cálculo corresponden a derivadas; o en relatividad, se emplean para registrar las transformaciones locales de los sistemas de referencia.

Otra aplicación de estas transformaciones se encuentra en las optimizaciones de compiladores para código con bucles anidados y en la paralelización de técnicas de compilación.

• Mapa aditivo – homomorfismo de módulo Z 
• Mapa antilineal – Mapa aditivo homogéneo conjugado 
• Función Bent : un tipo especial de función booleana. 
• Operador acotado : un tipo de transformación lineal. 
• Ecuación funcional de Cauchy – Ecuación funcional 
• Operador lineal continuo – Función entre espacios vectoriales topológicos 
• Funcional lineal : aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 
• Isometría lineal : transformación matemática que conserva la distancia. Páginas que muestran breves descripciones de los destinos de redireccionamiento. 
• Categoría de matrices
• Cuasilinealización

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