Teorema de Lexell

La idea principal de la demostración geométrica de Lexell , de alrededor de 1777 —también adoptada por Eugène Catalan (1843), Robert Allardice (1883), Jacques Hadamard (1901), Antoine Gob (1922) y Hiroshi Maehara (1999)— es dividir el triángulo.${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$en tres triángulos isósceles con vértice común en el circuncentro.${\displaystyle P}$y luego perseguir ángulos para encontrar el exceso esférico${\displaystyle \varepsilon }$del triángulo${\displaystyle \triangle ABC.}$En la figura, puntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$están en el lado opuesto de la esfera para que podamos ver claramente sus puntos antipodales y todo el círculo de Lexell.${\displaystyle l.}$^{[ 7 ]}

Sean los ángulos de la base de los triángulos isósceles${\displaystyle \triangle B^{*~\!\!}CP}$(sombreado en rojo en la figura),${\displaystyle \triangle CA^{*~\!\!}P}$(azul) y${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}P}$(púrpura) ser respectivamente${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \beta ,}$y${\displaystyle \delta .}$(En algunos casos${\displaystyle P}$está afuera${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$; entonces una de las cantidades${\displaystyle \alpha,\beta,\delta}$será negativo.) Podemos calcular los ángulos internos de${\displaystyle \triangle ABC}$(naranja) en términos de estos ángulos:${\displaystyle \angle A=\pi -\beta -\delta }$(el suplemento de${\displaystyle \angle A^{*~\!\!}}$) y asimismo${\displaystyle \angle B=\pi -\alpha -\delta ,}$y finalmente${\displaystyle \angle C=\alpha +\beta .}$

Según el teorema de Girard, el exceso esférico de${\displaystyle \triangle ABC}$es

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\angle A+\angle B+\angle C-\pi \\[3mu]&=(\pi -\beta -\delta )+(\pi -\alpha -\delta )+(\alpha +\beta )-\pi \\[3mu]&=\pi -2\delta .\end{aligned}}}$

Si base${\displaystyle AB}$está fijo, para cualquier tercer vértice${\displaystyle C}$cayendo en el mismo arco del círculo de Lexell, el punto${\displaystyle P}$y por lo tanto la cantidad${\displaystyle \delta }$no cambiará, por lo que el exceso${\displaystyle \varepsilon }$de${\displaystyle \triangle ABC,}$que depende únicamente de${\displaystyle \delta ,}$será igualmente constante. Y viceversa: si${\displaystyle \varepsilon }$permanece constante cuando el punto${\displaystyle C}$Si cambia, entonces también debe cambiar.${\displaystyle \delta }$ser, y por lo tanto${\displaystyle P}$debe arreglarse, así que${\displaystyle C}$debe permanecer en el círculo de Lexell.

Jakob Steiner (1827) escribió una demostración de estilo similar a la de Lexell, utilizando también el teorema de Girard, pero demostrando los invariantes angulares en el triángulo.${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$mediante la construcción de un cuadrilátero cíclico dentro del círculo de Lexell, utilizando la propiedad de que los pares de ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico esférico tienen la misma suma. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Comenzando con un triángulo${\displaystyle \triangle ABC}$, dejar${\displaystyle l}$ser el círculo circunscrito de Lexell${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C,}$y dejar${\displaystyle D}$ser otro punto en${\displaystyle l}$separado de${\displaystyle C}$por el círculo máximo${\displaystyle B^{*~\!\!}A^{*}\!.}$Dejar${\displaystyle \alpha _{1}=\angle CA^{*~\!\!}B^{*}\!,}$${\displaystyle \beta _{1}=\angle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C,}$${\displaystyle \alpha _{2}=\angle B^{*~\!\!}A^{*~\!\!}D,}$${\displaystyle \beta _{2}=\angle DA^{*~\!\!}B^{*}\!.}$

Porque el cuadrilátero${\displaystyle \square A^{*~\!\!}DB^{*~\!\!}C}$es cíclico, la suma de cada par de sus ángulos opuestos es igual,${\displaystyle \angle C+\angle D={}\!}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\beta _{1}+\beta _{2},}$o reorganizado${\displaystyle \alpha _{1}+\beta _{1}-\angle C={}\!}$${\displaystyle \angle D-\alpha _{2}-\beta _{2}.}$

Según el teorema de Girard, el exceso esférico${\displaystyle \varepsilon }$de${\displaystyle \triangle ABC}$es

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\angle A+\angle B+\angle C-\pi \\[3mu]&=(\pi -\alpha _{1})+(\pi -\beta _{1})+\angle C-\pi \\[3mu]&=\pi -(\alpha _{1}+\beta _{1}-\angle C)\\[3mu]&=\pi -(\angle D-\alpha _{2}-\beta _{2}).\end{aligned}}}$

La cantidad${\displaystyle \angle D-\alpha _{2}-\beta _{2}}$no depende de la elección de${\displaystyle C,}$por lo tanto es invariante cuando${\displaystyle C}$se mueve a otro punto en el mismo arco de${\displaystyle l.}$Por lo tanto${\displaystyle \varepsilon }$también es invariante.

Por el contrario, si${\displaystyle C}$ha cambiado pero${\displaystyle \varepsilon }$es invariante, entonces los ángulos opuestos del cuadrilátero${\displaystyle \square A^{*~\!\!}DB^{*~\!\!}C}$tendrán la misma suma, lo que implica${\displaystyle C}$yace en el círculo pequeño${\displaystyle A^{*~\!\!}DB^{*}\!.}$

En 1778, Euler demostró el teorema de Lexell de forma análoga a la demostración de Euclides de los Elementos I.35 e I.37 , al igual que Victor-Amédée Lebesgue de forma independiente en 1855, utilizando paralelogramos esféricos : cuadriláteros esféricos con lados opuestos congruentes, que tienen pequeños círculos paralelos que pasan por pares opuestos de vértices adyacentes y que son, en muchos sentidos, análogos a los paralelogramos euclidianos . Sin embargo, existe una complicación en comparación con la demostración de Euclides: los cuatro lados de un paralelogramo esférico son los arcos de círculo máximo que pasan por los vértices, en lugar de los pequeños círculos paralelos. La demostración de Euclides no necesita tener en cuenta las pequeñas regiones lenticulares intercaladas entre los círculos máximo y mínimo, que desaparecen en el caso plano. ^{[ 10 ]}

Un lema análogo al de Elementos I.35: dos paralelogramos esféricos sobre la misma base y entre las mismas paralelas tienen la misma área.

Prueba : Sea${\displaystyle \square ABC_{1}D_{1}}$y${\displaystyle \square ABC_{2}D_{2}}$sean paralelogramos esféricos con el círculo máximo${\displaystyle m}$(el "círculo del punto medio") que pasa por los puntos medios de los lados${\displaystyle BC_{1}}$y${\displaystyle AD_{1}}$coincidiendo con el círculo del punto medio correspondiente en${\displaystyle \square ABC_{2}D_{2}.}$Dejar${\displaystyle F}$sea ​​el punto de intersección entre los lados${\displaystyle AD_{2}}$y${\displaystyle BC_{1}.}$Porque el círculo del punto medio${\displaystyle m}$es compartido, los dos lados superiores${\displaystyle C_{1}D_{1}}$y${\displaystyle C_{2}D_{2}}$yacen en el mismo círculo pequeño${\displaystyle l}$paralelo a${\displaystyle m}$y antipodal a un círculo pequeño${\displaystyle l^{*~\!\!}}$pasando por${\displaystyle A}$y${\displaystyle B.}$

Dos arcos de${\displaystyle l}$son congruentes,${\displaystyle D_{1}D_{2}\cong C_{1}C_{2},}$así los dos triángulos curvilíneos${\displaystyle \triangle BC_{1}C_{2}}$y${\displaystyle \triangle AD_{1}D_{2},}$cada uno delimitado por${\displaystyle l}$En la parte superior, son congruentes. Cada paralelogramo se forma a partir de uno de estos triángulos curvilíneos añadido al triángulo.${\displaystyle \triangle ABF}$y a una de las regiones congruentes en forma de lente entre cada lado superior y${\displaystyle l,}$con el triángulo curvilíneo${\displaystyle \triangle D_{2}C_{1}F}$Recortamos. Por lo tanto, los paralelogramos tienen la misma área. (Como en Elementos , se omite el caso en que los paralelogramos no se intersecan en los lados, pero se puede demostrar con un argumento similar).

Demostración del teorema de Lexell : Dados dos triángulos esféricos${\displaystyle \triangle ABC_{1}}$y${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$cada uno con su vértice en el mismo círculo pequeño${\displaystyle l}$a través de puntos${\displaystyle A^{*~\!\!}}$y${\displaystyle B^{*}\!,}$construir nuevos segmentos${\displaystyle C_{1}D_{1}}$y${\displaystyle C_{2}D_{2}}$congruente con${\displaystyle AB}$ con vértices${\displaystyle D_{1}}$y${\displaystyle D_{2}}$en${\displaystyle l.}$Los dos cuadriláteros${\displaystyle \square ABC_{1}D_{1}}$y${\displaystyle \square ABC_{2}D_{2}}$Son paralelogramos esféricos, cada uno formado al unir el triángulo original con una copia congruente. Según el lema, los dos paralelogramos tienen la misma área, por lo que los triángulos originales también deben tener la misma área.

Demostración de la recíproca : Si dos triángulos esféricos tienen la misma área y se supone que el vértice del segundo no se encuentra sobre el círculo de Lexell del primero, entonces la línea que pasa por un lado del segundo triángulo puede intersecarse con el círculo de Lexell para formar un nuevo triángulo con un área diferente a la del segundo triángulo, pero igual a la del primero, lo cual es una contradicción. Este argumento es el mismo que se encuentra en Elementos I.39.

Otra prueba que utiliza el círculo del punto medio, y que resulta más evidente visualmente en una sola imagen, se debe a Carl Friedrich Gauss (1841), quien construye el cuadrilátero de Saccheri (un cuadrilátero con dos ángulos rectos adyacentes y otros dos ángulos iguales) formado entre el lado del triángulo y su proyección perpendicular sobre el círculo del punto medio.${\displaystyle m,}$^{[ 11 ]} que tiene la misma área que el triángulo. ^{[ 12 ]}

Dejar${\displaystyle m}$sea ​​el círculo máximo que pasa por los puntos medios${\displaystyle M_{1}}$de${\displaystyle AC}$y${\displaystyle M_{2}}$de${\displaystyle BC,}$y dejar${\displaystyle A',}$${\displaystyle B',}$y${\displaystyle C'}$sean las proyecciones perpendiculares de los vértices del triángulo sobre${\displaystyle m.}$ El par de triángulos rectángulos resultante${\displaystyle \triangle AA'M_{1}}$y${\displaystyle \triangle CC'M_{1}}$(sombreado en rojo) tienen ángulos iguales en${\displaystyle M_{1}}$( ángulos opuestos por el vértice ) e hipotenusas iguales , por lo que son congruentes ; también lo son los triángulos.${\displaystyle \triangle BB'M_{2}}$y${\displaystyle \triangle CC'M_{2}}$(azul). Por lo tanto, el área del triángulo${\displaystyle \triangle ABC}$es igual al área del cuadrilátero de Saccheri${\displaystyle \square ABB'A',}$ya que cada uno consta de un triángulo rojo, un triángulo azul y el cuadrilátero verde.${\displaystyle \square ABM_{2}M_{1}}$pegado. (Si${\displaystyle C'}$cae fuera del arco${\displaystyle A'B',}$Entonces, los triángulos rojos o azules tendrán un área con signo negativo . Porque el círculo máximo${\displaystyle m,}$y por lo tanto el cuadrilátero${\displaystyle \square ABB'A',}$es lo mismo para cualquier elección de${\displaystyle C}$tumbado en el círculo de Lexell${\displaystyle l,}$el área del triángulo correspondiente${\displaystyle \triangle ABC}$es constante.

La proyección estereográfica transforma la esfera en un plano. Un círculo máximo designado se proyecta sobre el círculo primitivo en el plano, y sus polos se proyectan sobre el origen (centro del círculo primitivo) y el punto en el infinito , respectivamente. Cada círculo en la esfera se proyecta sobre un círculo o una línea recta en el plano, donde las líneas rectas representan círculos que pasan por el segundo polo. La proyección estereográfica es conforme , lo que significa que conserva los ángulos.

Para demostrar relaciones sobre un triángulo esférico general${\displaystyle \triangle ABC,}$vértice sin pérdida de generalidad${\displaystyle A}$puede tomarse como el punto que se proyecta al origen. Los lados del triángulo esférico se proyectan entonces en dos segmentos rectos y un arco circular. Si las líneas tangentes al lado circular en los otros dos vértices se intersecan en el punto${\displaystyle E,}$un cuadrilátero plano de lados rectos${\displaystyle \square ABEC}$se puede formar cuyo ángulo externo en${\displaystyle E}$es el exceso esférico${\displaystyle \varepsilon =\angle A+\angle B+\angle C-\pi }$del triángulo esférico. A veces se le llama método de trigonometría esférica de Cesàro , en honor al cristalógrafo Giuseppe Cesàro, quien lo popularizó en dos artículos de 1905. ^{[ 13 ]}

Paul Serret (en 1855, medio siglo antes que Cesàro), e independientemente Aleksander Simonič (2019), utilizaron el método de Cesàro para demostrar el teorema de Lexell.${\displaystyle O}$Sea el centro en el plano del arco circular hacia qué lado${\displaystyle BC}$proyectos. Luego cuadrilátero plano${\displaystyle \square OBEC}$es una cometa derecha , por lo que el ángulo central${\displaystyle \angle BOC}$es igual al ángulo externo en${\displaystyle E,}$el exceso esférico del triángulo${\displaystyle \varepsilon .}$Ángulo plano${\displaystyle \angle BB^{*~\!\!}C}$es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por lo que por el teorema del ángulo inscrito tiene medida${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varepsilon .}$Esta relación se conserva para cualquier elección de${\displaystyle C}$; por lo tanto, el exceso esférico del triángulo es constante siempre que${\displaystyle C}$permanece en el círculo de Lexell${\displaystyle l,}$que se proyecta a través de una línea${\displaystyle B^{*~\!\!}}$en el plano. (Si el área del triángulo es mayor que la de un semi-hemisferio, se puede hacer un argumento similar, pero el punto${\displaystyle E}$ya no es interno al ángulo${\displaystyle \angle BOC.}$) ^{[ 14 ]}

Cada triángulo esférico tiene un triángulo dual , su triángulo polar ; si el triángulo${\displaystyle \triangle A'B'C'}$(sombreado en púrpura) es el triángulo polar de${\displaystyle \triangle ABC}$(sombreado naranja) luego los vértices${\displaystyle A'\!,B'\!,C'}$son los polos de los lados respectivos${\displaystyle BC,CA,AB,}$y viceversa, los vértices${\displaystyle A,B,C}$son los polos de los lados ${\displaystyle B'C'\!,C'A'\!,A'B'\!.}$La dualidad polar intercambia los lados ( ángulos centrales ) y los ángulos externos (ángulos diedros) entre los dos triángulos.

Debido a que cada lado del triángulo dual es el suplemento de un ángulo interno del triángulo original, el exceso esférico${\displaystyle \varepsilon }$de${\displaystyle \triangle ABC}$es una función del perímetro${\displaystyle p'}$del triángulo dual${\displaystyle \triangle A'B'C'}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\angle A+\angle B+\angle C-\pi \\[3mu]&={\bigl (}\pi -|B'C'|{\bigr )}+{\bigl (}\pi -|C'A'|{\bigr )}+{\bigl (}\pi -|A'B'|{\bigr )}-\pi \\[3mu]&=2\pi -p',\end{aligned}}}$

donde la notación${\displaystyle |PQ|}$significa la longitud angular del arco del círculo máximo${\displaystyle PQ.}$

En 1854, Joseph-Émile Barbier —e independientemente László Fejes Tóth (1953)— utilizó el triángulo polar en su demostración del teorema de Lexell, que es esencialmente dual a la demostración mediante triángulos isósceles anterior , observando que bajo la dualidad polar el círculo de Lexell${\displaystyle l}$circunscribir${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$se convierte en un círculo externo${\displaystyle l'}$de${\displaystyle \triangle A'B'C'}$( circunferencia inscrita en un triángulo columnar ) tangente externamente al lado${\displaystyle A'B'.}$^{[ 15 ]}

Si vértice${\displaystyle C}$se mueve a lo largo${\displaystyle l,}$el lado${\displaystyle A'B'}$cambia pero siempre permanece tangente al mismo círculo.${\displaystyle l'.}$Debido a que los arcos desde cada vértice hasta cualquiera de los puntos de contacto adyacentes de un círculo inscrito o exscrito son congruentes,${\displaystyle A'T_{B}\cong A'T_{C}}$(segmentos azules) y${\displaystyle B'T_{A}\cong B'T_{C}}$(segmentos rojos), el perímetro${\displaystyle p'}$es

${\displaystyle {\begin{aligned}p'&=|A'B'|+|B'C'|+|C'A'|\\[3mu]&={\bigl (}|A'T_{C}|+|B'T_{C}|{\bigr )}+|C'B'|+|C'A'|\\[3mu]&={\bigl (}|C'A'|+|A'T_{B}|{\bigr )}+{\bigl (}|C'B'|+|B'T_{A}|{\bigr )}\\[3mu]&=|C'T_{B}|+|C'T_{A}|,\end{aligned}}}$

que permanece constante, dependiendo únicamente del círculo${\displaystyle l'}$pero no en el lado cambiante${\displaystyle A'B'.}$Por el contrario, si el punto${\displaystyle C}$se mueve de${\displaystyle l,}$el círculo externo asociado${\displaystyle l'}$cambiará de tamaño, moviendo los puntos${\displaystyle T_{A}}$y${\displaystyle T_{B}}$ambos hacia o ambos alejándose de${\displaystyle C'^{*~\!\!}}$y cambiando el perímetro${\displaystyle p'}$de${\displaystyle \triangle A'B'C'\!}$y por lo tanto cambiando${\displaystyle \varepsilon .}$

El lugar geométrico de los puntos${\displaystyle C}$para qué${\displaystyle \varepsilon }$es constante es por lo tanto${\displaystyle l.}$

Tanto Lexell ( c. 1777 ) como Euler (1778) incluyeron demostraciones trigonométricas en sus trabajos, y varios matemáticos posteriores también las presentaron, entre ellos Adrien-Marie Legendre (1800), Louis Puissant (1842), Ignace-Louis-Alfred Le Cointe (1858) y Joseph-Alfred Serret (1862). Estas demostraciones parten de relaciones triangulares conocidas, como la ley esférica de los cosenos o una fórmula para el exceso esférico, y luego proceden mediante la manipulación algebraica de identidades trigonométricas . ^{[ 16 ]}

Como el ápice${\displaystyle C}$se aproxima a cualquiera de los puntos antipodales a los vértices de la base, por ejemplo${\displaystyle B^{*~\!\!}}$– a lo largo del círculo de Lexell${\displaystyle l,}$en el límite el triángulo degenera en una luna tangente a${\displaystyle l}$en${\displaystyle B^{*~\!\!}}$y tangente al círculo pequeño antipodal ${\displaystyle l^{*~\!\!}}$en${\displaystyle B,}$y tener el mismo exceso${\displaystyle \varepsilon }$como cualquiera de los triángulos con vértice en el mismo arco de${\displaystyle l.}$Como triángulo degenerado, tiene un ángulo recto en${\displaystyle A}$(es decir${\displaystyle \angle A=\pi ,}$media vuelta) y ángulos iguales${\displaystyle B=B^{*~\!\!}={\tfrac {1}{2}}\varepsilon .}$^{[ 18 ]}

Como${\displaystyle C}$aproches${\displaystyle B^{*~\!\!}}$desde la dirección opuesta (a lo largo del otro arco del círculo de Lexell), en el límite el triángulo degenera en la lúnula cohemisférica tangente al círculo de Lexell en${\displaystyle B^{*~\!\!}}$con la orientación y los ángulos opuestos${\displaystyle \angle B=\angle B^{\star }=\pi -{\tfrac {1}{2}}\varepsilon .}$

El área de un triángulo esférico es igual a la mitad de un hemisferio (exceso${\displaystyle \varepsilon =\pi }$) si y solo si el círculo de Lexell${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$es ortogonal al círculo máximo${\displaystyle AB,}$eso es si arco${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}}$es un diámetro de círculo${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$y arco${\displaystyle AB}$es un diámetro de${\displaystyle ABC^{*}\!.}$

En este caso, dejar${\displaystyle D}$ser el punto diametralmente opuesto a${\displaystyle C}$en el círculo de Lexell${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$luego los cuatro triángulos${\displaystyle \triangle ABC,}$${\displaystyle \triangle BAD,}$${\displaystyle \triangle CDA,}$y${\displaystyle \triangle DCB}$son congruentes y juntas forman un disfenoides esférico.${\displaystyle ABCD}$(la proyección central de un disfenoides sobre una esfera concéntrica). Los ocho puntos${\displaystyle AA^{*~\!\!}BB^{*~\!\!}CC^{*~\!\!}DD^{*~\!\!}}$son los vértices de un cuboide rectangular . ^{[ 19 ]}

Un paralelogramo esférico es un cuadrilátero esférico.${\displaystyle \square ABCD}$cuyos lados opuestos y ángulos opuestos son congruentes (${\displaystyle AB\cong CD,}$${\displaystyle BC\cong DA,}$${\displaystyle \angle A=\angle C,}$${\displaystyle \angle B=\angle D}$). Es en muchos sentidos análogo a un paralelogramo plano . Las dos diagonales${\displaystyle AC}$y${\displaystyle BD}$se bisecan entre sí y la figura tiene simetría rotacional doble alrededor del punto de intersección (por lo que cada una de las diagonales divide el paralelogramo en dos triángulos esféricos congruentes,${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle CDA}$y${\displaystyle \triangle ABD\cong \triangle CDB}$); si los puntos medios de cualquiera de los pares de lados opuestos están conectados por un círculo máximo${\displaystyle m}$, los cuatro vértices caen sobre dos pequeños círculos paralelos equidistantes de él. Más específicamente, cualquier vértice (por ejemplo,${\displaystyle D}$) del paralelogramo esférico se encuentra en la intersección de los dos círculos de Lexell (${\displaystyle l_{cd}}$y${\displaystyle l_{da}}$) pasando por uno de los vértices adyacentes y los puntos antipodales a los otros dos vértices.

Al igual que con los triángulos esféricos, los paralelogramos esféricos con la misma base y los vértices situados en el mismo círculo de Lexell tienen la misma área; véase la sección  Paralelogramos esféricos más arriba. Partiendo de cualquier triángulo esférico, se puede formar un segundo triángulo congruente mediante una reflexión (esférica) de un punto respecto al punto medio de cualquiera de sus lados. Al combinarse, estos dos triángulos forman un paralelogramo esférico con el doble de área que el triángulo original. ^{[ 20 ]}

El dual polar del teorema de Lexell, a veces llamado teorema de Sorlin en honor a A. N. J. Sorlin, quien lo demostró trigonométricamente por primera vez en 1825, sostiene que para un trilátero esférico${\displaystyle \triangle abc}$con lados en círculos máximos fijos${\displaystyle a,b}$(fijando así el ángulo entre ellos) y un perímetro fijo${\displaystyle p=|a|+|b|+|c|}$(dónde${\displaystyle |a|}$significa la longitud del lado del triángulo${\displaystyle a}$), el sobre del tercer lado${\displaystyle c}$es un pequeño círculo internamente tangente a${\displaystyle a,b}$y externamente tangente a${\displaystyle c,}$el círculo exterior a trilateral${\displaystyle \triangle abc.}$Joseph-Émile Barbier escribió posteriormente una demostración geométrica (1864) que utilizó para demostrar el teorema de Lexell, por dualidad; véase §  Perímetro del triángulo polar más arriba. ^{[ 21 ]}

Este resultado también se aplica a la geometría euclidiana e hiperbólica : el argumento geométrico de Barbier se puede trasplantar directamente al plano euclidiano o hiperbólico.

Loci de Lexell para cualquier base${\displaystyle AB}$realizar una foliación de la esfera (descomposición en hojas unidimensionales ), con dos singularidades en los puntos${\displaystyle A^{*~\!\!}}$y${\displaystyle B^{*~\!\!}}$Estos lugares geométricos son arcos de pequeños círculos con puntos finales en${\displaystyle A^{*~\!\!}}$y${\displaystyle B^{*}\!,}$en el que cualquier punto intermedio${\displaystyle C}$es el vértice de un triángulo${\displaystyle ABC}$de un área fija con signo. Esa área es el doble del ángulo con signo entre el círculo de Lexell y el círculo máximo.${\displaystyle ABA^{*~\!\!}B^{*~\!\!}}$en cualquiera de los puntos${\displaystyle A^{*~\!\!}}$o${\displaystyle B^{*~\!\!}}$; véase §  Degeneración lunar más arriba. En la figura, los círculos de Lexell están en verde, excepto aquellos cuyos triángulos tienen un área múltiplo de medio hemisferio, que están en negro, con el área etiquetada; véase §  Área de medio hemisferio más arriba. ^{[ 22 ]}

Estos círculos de Lexell a través de${\displaystyle A^{*~\!\!}}$y${\displaystyle B^{*~\!\!}}$son el análogo esférico de la familia de círculos apolíneos que pasan por dos puntos en el plano.

En 1784, Nicolas Fuss planteó y resolvió el problema de encontrar el triángulo${\displaystyle \triangle ABC}$de área máxima sobre una base determinada${\displaystyle AB}$con su ápice${\displaystyle C}$en un círculo máximo dado${\displaystyle g.}$Fuss utilizó un argumento que involucraba una variación infinitesimal de${\displaystyle C,}$pero la solución es también un corolario directo del teorema de Lexell: el círculo de Lexell.${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$a través del vértice debe ser tangente a${\displaystyle g}$en${\displaystyle C.}$

Si${\displaystyle g}$cruza el gran círculo a través de${\displaystyle AB}$en un punto${\displaystyle P}$, entonces por el análogo esférico del teorema de la tangente-secante , la distancia angular${\displaystyle PC}$hasta el punto de tangencia deseado satisface

${\displaystyle \tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}|PC|=\tan {\tfrac {1}{2}}|PA^{*}|\,\tan {\tfrac {1}{2}}|PB^{*}|,}$

a partir del cual podemos construir explícitamente el punto${\displaystyle C}$en${\displaystyle g}$de tal manera que${\displaystyle \triangle ABC}$tiene área máxima. ^{[ 23 ]}

En 1786, Theodor von Schubert planteó y resolvió el problema de encontrar los triángulos esféricos de área máxima y mínima de una base y "altura" dadas (la longitud esférica de una perpendicular trazada desde el vértice hasta el círculo máximo que contiene la base); los triángulos esféricos con altura constante tienen su vértice en un círculo menor común (el "círculo de altura") paralelo al círculo máximo que contiene la base. Schubert resolvió este problema mediante un enfoque trigonométrico basado en el cálculo para demostrar que el triángulo de área mínima tiene su vértice en la intersección más cercana del círculo de altura y la mediatriz de la base, y el triángulo de área máxima tiene su vértice en la intersección más lejana. Sin embargo, este teorema es también un corolario directo del teorema de Lexell: los círculos de Lexell que pasan por los puntos antipodales a los vértices de la base que representan las áreas triangulares más pequeñas y más grandes son aquellos tangentes al círculo de altura. En 2019, Vincent Alberge y Elena Frenkel resolvieron el problema análogo en el plano hiperbólico . ^{[ 24 ]}

En el plano euclidiano, la mediana de un triángulo es el segmento de recta que conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se intersecan en su baricentro . Cada mediana divide el área del triángulo por la mitad.

En la esfera, la mediana de un triángulo también se define como el arco de círculo máximo que conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se intersecan en un punto: la proyección central sobre la esfera del centroide extrínseco del triángulo, es decir, el centroide del triángulo plano que contiene los tres puntos si la esfera está inmersa en el espacio euclidiano tridimensional. Sin embargo, en la esfera, el arco de círculo máximo que pasa por un vértice y un punto del lado opuesto, y que biseca el área del triángulo, es, en general, distinto de la mediana correspondiente.

Jakob Steiner utilizó el teorema de Lexell para demostrar que estos tres arcos bisecantes de área (a los que llamó "ecualizadores") se intersecan en un punto, un posible análogo alternativo del centroide plano en geometría esférica. (Un análogo esférico diferente del centroide es el vértice de tres triángulos de igual área cuyas bases son los lados del triángulo original, el punto con${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}}$como sus coordenadas de área esféricas .) ^{[ 25 ]}

El sistema de coordenadas baricéntricas para puntos relativos a un triángulo dado en el espacio afín no tiene una analogía perfecta en la geometría esférica; no existe un único sistema de coordenadas esféricas que comparta todas sus propiedades. Una analogía parcial son las coordenadas de área esféricas para un punto.${\displaystyle P}$en relación con un triángulo esférico dado${\displaystyle \triangle ABC,}$

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{PBC}}{\varepsilon _{ABC}}},{\frac {\varepsilon _{APC}}{\varepsilon _{ABC}}},{\frac {\varepsilon _{ABP}}{\varepsilon _{ABC}}}\right),}$

donde cada cantidad${\displaystyle \varepsilon _{QRS}}$es el exceso esférico con signo del triángulo esférico correspondiente${\displaystyle \triangle QRS.}$Estas coordenadas suman${\displaystyle 1,}$y al usar la misma definición en el plano se obtienen coordenadas baricéntricas.

Según el teorema de Lexell, el lugar geométrico de puntos con una constante de coordenadas es el círculo de Lexell correspondiente. Por lo tanto, es posible hallar el punto que corresponde a una terna dada de coordenadas de área esféricas mediante la intersección de dos círculos pequeños.

Utilizando sus respectivas coordenadas de área esférica, cualquier triángulo esférico puede mapearse a cualquier otro, o a cualquier triángulo plano, utilizando las coordenadas baricéntricas correspondientes en el plano. Esto puede utilizarse para proyecciones cartográficas poliédricas ; para la definición de cuadrículas globales discretas ; o para parametrizar triangulaciones de la esfera o mapear texturas de cualquier malla triangular topológicamente equivalente a una esfera. ^{[ 26 ]}