Círculo esférico

En geometría esférica , un círculo esférico (a menudo abreviado como círculo ) es el lugar geométrico de los puntos en una esfera a una distancia esférica constante (el radio esférico ) de un punto dado en la esfera (el polo o centro esférico ). Es una curva de curvatura geodésica constante con respecto a la esfera, análoga a una línea o un círculo en el plano euclidiano ; las curvas análogas a las líneas rectas se llaman círculos máximos , y las curvas análogas a los círculos planos se llaman círculos menores . Si la esfera está incrustada en el espacio euclidiano tridimensional , sus círculos son las intersecciones de la esfera con planos , y los círculos máximos son las intersecciones con planos que pasan por el centro de la esfera.

Un círculo esférico con curvatura geodésica cero se llama círculo máximo y es una geodésica análoga a una línea recta en el plano. Un círculo máximo divide la esfera en dos hemisferios iguales , cada uno con el círculo máximo como su límite. Si un círculo máximo pasa por un punto de la esfera, también pasa por el punto antipodal (el único punto más alejado de la esfera). Para cualquier par de puntos distintos no antipodales, un único círculo máximo pasa por ambos. Dos puntos cualesquiera de un círculo máximo lo dividen en dos arcos análogos a segmentos de línea en el plano; el más corto se llama arco menor y es el camino más corto entre los puntos, y el más largo se llama arco mayor .

Un círculo con curvatura geodésica distinta de cero se denomina círculo menor y es análogo a un círculo en el plano. Un círculo menor divide la esfera en dos discos esféricos o casquetes esféricos , cada uno con el círculo como límite. Para cualquier terna de puntos distintos no antipodales, existe un único círculo menor que pasa por los tres. Dos puntos cualesquiera de un círculo menor lo dividen en dos arcos , análogos a arcos circulares en el plano.

Cada círculo tiene dos polos (o centros) antipodales intrínsecos a la esfera. Un círculo máximo es equidistante de sus polos, mientras que un círculo menor está más cerca de un polo que del otro. Los círculos concéntricos a veces se denominan paralelos , porque mantienen una distancia constante entre sí, y en particular con su círculo máximo concéntrico, y en ese sentido son análogos a las líneas paralelas en el plano.

Si la esfera está incrustada isométricamente en el espacio euclidiano , la intersección de la esfera con un plano es un círculo, que puede interpretarse extrínsecamente a la esfera como un círculo euclidiano: un lugar geométrico de puntos en el plano a una distancia euclidiana constante (el radio extrínseco ) de un punto en el plano (el centro extrínseco ). Un círculo máximo se encuentra en un plano que pasa por el centro de la esfera, por lo que su radio extrínseco es igual al radio de la esfera misma, y ​​su centro extrínseco es el centro de la esfera. Un círculo pequeño se encuentra en un plano que no pasa por el centro de la esfera, por lo que su radio extrínseco es menor que el de la esfera y su centro extrínseco es un punto arbitrario en el interior de la esfera. Los planos paralelos cortan la esfera en círculos pequeños paralelos (concéntricos); El par de planos paralelos tangentes a la esfera son tangentes en los polos de estos círculos, y el diámetro que pasa por estos polos, por el centro de la esfera y perpendicular a los planos paralelos, se llama eje de los círculos paralelos.

La intersección de una esfera con otra esfera también es un círculo, y la intersección de una esfera con un cilindro circular recto concéntrico o un cono circular recto es un par de círculos antipodales.

En el sistema de coordenadas geográficas de un globo terráqueo, los paralelos de latitud son círculos pequeños, siendo el Ecuador el único círculo máximo. Por el contrario, todos los meridianos de longitud , emparejados con su meridiano opuesto en el otro hemisferio , forman círculos máximos.

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• Papadopoulos, Athanase (2014), "Sobre las obras de Euler y sus seguidores sobre geometría esférica", Gaṇita Bhārati , 36 : 53–108 , arXiv : 1409.4736
• Todhunter, Isaac ; Leathem, John Gaston (1901), Trigonometría esférica (Edición revisada), MacMillan