Problema de dos cuerpos en la relatividad general

El problema de Kepler debe su nombre a Johannes Kepler , quien trabajó como asistente del astrónomo danés Tycho Brahe . Brahe realizó mediciones extraordinariamente precisas del movimiento de los planetas del Sistema Solar. A partir de estas mediciones, Kepler pudo formular las leyes de Kepler , la primera descripción moderna del movimiento planetario.

1. La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus dos focos .
2. Una línea que une un planeta con el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
3. El cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

Kepler publicó las dos primeras leyes en 1609 y la tercera en 1619. Estas leyes reemplazaron modelos anteriores del Sistema Solar, como los de Ptolomeo y Copérnico . Las leyes de Kepler solo se aplican en el caso limitado del problema de los dos cuerpos. Voltaire y Émilie du Châtelet fueron los primeros en denominarlas «leyes de Kepler».

Casi un siglo después, Isaac Newton formuló sus tres leyes del movimiento . En particular, la segunda ley de Newton establece que una fuerza F aplicada a una masa m produce una aceleración a dada por la ecuación F = ma . Newton planteó entonces la pregunta: ¿cuál debe ser la fuerza que produce las órbitas elípticas observadas por Kepler? Su respuesta llegó en su ley de gravitación universal , que establece que la fuerza entre una masa M y otra masa m viene dada por la fórmula $${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}},}$$ donde r es la distancia entre las masas y G es la constante gravitacional . Dada esta ley de fuerza y ​​sus ecuaciones de movimiento, Newton pudo demostrar que dos masas puntuales que se atraen entre sí seguirían cada una órbitas perfectamente elípticas. La relación de tamaños de estas elipses es m / M , con la masa mayor moviéndose en una elipse menor. Si M es mucho mayor que m , entonces la masa mayor parecerá estar estacionaria en el foco de la órbita elíptica de la masa más ligera m . Este modelo puede aplicarse aproximadamente al Sistema Solar. Dado que la masa del Sol es mucho mayor que las de los planetas, la fuerza que actúa sobre cada planeta se debe principalmente al Sol; la gravedad de los planetas entre sí puede despreciarse en primera aproximación.

Si la energía potencial entre los dos cuerpos no es exactamente igual a 1/ r del potencial de la ley gravitatoria de Newton, sino que difiere solo ligeramente, entonces la elipse de la órbita rota gradualmente (entre otros posibles efectos). Esta precesión apsidal se observa en todos los planetas que orbitan alrededor del Sol, debido principalmente al achatamiento del Sol (no es perfectamente esférico) y a las atracciones entre los demás planetas. Los ápsides son los dos puntos de menor y mayor distancia de la órbita (el periapsis y el apoapsis, respectivamente); la precesión apsidal corresponde a la rotación de la línea que une los ápsides. También corresponde a la rotación del vector de Laplace-Runge-Lenz , que apunta a lo largo de la línea de los ápsides.

La ley de gravitación de Newton pronto fue aceptada porque predecía con gran precisión el movimiento de todos los planetas. Estos cálculos fueron realizados inicialmente por Pierre-Simon Laplace a finales del siglo XVIII y perfeccionados por Félix Tisserand a finales del siglo XIX. Por el contrario, si la ley de gravitación de Newton no hubiera predicho con exactitud las precesiones apsidales de los planetas, habría tenido que ser descartada como teoría de la gravitación. Dicha precesión anómala se observó en la segunda mitad del siglo XIX.

En 1859, Urbain Le Verrier descubrió que la precesión orbital del planeta Mercurio no era exactamente la que debería ser; la elipse de su órbita giraba (precesaba) ligeramente más rápido de lo predicho por la teoría tradicional de la gravedad newtoniana, incluso después de haber tenido en cuenta todos los efectos de los demás planetas. ^{[ 4 ]} El efecto es pequeño (aproximadamente 43 segundos de arco de rotación por siglo), pero muy superior al error de medición (aproximadamente 0,1 segundos de arco por siglo). Le Verrier comprendió la importancia de su descubrimiento de inmediato y desafió a astrónomos y físicos por igual a que lo explicaran. Se propusieron varias explicaciones clásicas, como el polvo interplanetario, el achatamiento no observado del Sol , una luna no detectada de Mercurio o un nuevo planeta llamado Vulcano . ^{[ 5 ]} Después de que estas explicaciones fueran descartadas, algunos físicos se vieron impulsados ​​a la hipótesis más radical de que la ley de gravitación inversa del cuadrado de Newton era incorrecta. Por ejemplo, algunos físicos propusieron una ley de potencias con un exponente ligeramente diferente de 2. ^{[ 6 ]}

Otros argumentaron que la ley de Newton debía complementarse con un potencial dependiente de la velocidad. Sin embargo, esto implicaba un conflicto con la dinámica celeste newtoniana. En su tratado sobre mecánica celeste, Laplace había demostrado que si la influencia gravitatoria no actúa instantáneamente, entonces los movimientos de los planetas no conservarán exactamente el momento (y, en consecuencia, parte del momento tendría que atribuirse al mediador de la interacción gravitatoria, de forma análoga a atribuir momento al mediador de la interacción electromagnética). Desde un punto de vista newtoniano, si la influencia gravitatoria se propaga a una velocidad finita, entonces en todo momento un planeta es atraído hacia un punto donde el Sol estuvo algún tiempo antes, y no hacia la posición instantánea del Sol. Partiendo de los fundamentos clásicos, Laplace había demostrado que si la gravedad se propagara a una velocidad del orden de la velocidad de la luz, entonces el sistema solar sería inestable y no existiría durante mucho tiempo. La observación de que el sistema solar es lo suficientemente antiguo le permitió establecer un límite inferior para la velocidad de la gravedad que resultó ser muchos órdenes de magnitud más rápido que la velocidad de la luz. ^{[ 5 ] [ 7 ]}

La estimación de Laplace para la velocidad de la gravedad no es correcta en una teoría de campos que respete el principio de relatividad. Dado que los campos eléctricos y magnéticos se combinan, la atracción de una carga puntual que se mueve a velocidad constante se dirige hacia la posición instantánea extrapolada, no hacia la posición aparente que parece ocupar al observarla. ^{[ nota 1 ]} Para evitar estos problemas, entre 1870 y 1900 muchos científicos utilizaron las leyes electrodinámicas de Wilhelm Eduard Weber , Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann para producir órbitas estables y explicar el desplazamiento del perihelio de la órbita de Mercurio. En 1890, Maurice Lévy lo logró combinando las leyes de Weber y Riemann, según las cuales la velocidad de la gravedad es igual a la velocidad de la luz en su teoría. Y en otro intento, Paul Gerber (1898) incluso logró derivar la fórmula correcta para el desplazamiento del perihelio (que era idéntica a la fórmula utilizada posteriormente por Einstein). Sin embargo, debido a que las leyes básicas de Weber y otros eran erróneas (por ejemplo, la ley de Weber fue reemplazada por la teoría de Maxwell), esas hipótesis fueron rechazadas. ^{[ 8 ]} Otro intento de Hendrik Lorentz (1900), quien ya utilizaba la teoría de Maxwell, produjo un desplazamiento del perihelio demasiado bajo. ^{[ 5 ]}

Hacia 1904-1905, los trabajos de Hendrik Lorentz , Henri Poincaré y, finalmente, la teoría especial de la relatividad de Albert Einstein , excluyeron la posibilidad de propagación de cualquier efecto más rápido que la velocidad de la luz . De ello se dedujo que la ley de gravitación de Newton tendría que ser reemplazada por otra ley, compatible con el principio de relatividad, que aún así obtuviera el límite newtoniano para circunstancias donde los efectos relativistas son despreciables. Tales intentos fueron realizados por Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) y Arnold Sommerfeld (1910). ^{[ 9 ]} En 1907, Einstein llegó a la conclusión de que para lograr esto se necesitaba una sucesora de la relatividad especial. De 1907 a 1915, Einstein trabajó en una nueva teoría, utilizando su principio de equivalencia como concepto clave para guiar su camino. Según este principio, un campo gravitatorio uniforme actúa por igual sobre todo lo que se encuentra dentro de él y, por lo tanto, no puede ser detectado por un observador en caída libre. Por el contrario, todos los efectos gravitacionales locales deberían ser reproducibles en un sistema de referencia linealmente acelerado, y viceversa. Así, la gravedad actúa como una fuerza ficticia, como la fuerza centrífuga o la fuerza de Coriolis , que resultan de estar en un sistema de referencia acelerado; todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa inercial , al igual que la gravedad. Para lograr la reconciliación entre la gravedad y la relatividad especial e incorporar el principio de equivalencia, fue necesario sacrificar algo; ese algo fue la antigua suposición clásica de que nuestro espacio obedece las leyes de la geometría euclidiana , por ejemplo, que el teorema de Pitágoras es experimentalmente cierto. Einstein utilizó una geometría más general, la geometría pseudoriemanniana , para permitir la curvatura del espacio y el tiempo necesaria para la reconciliación; después de ocho años de trabajo (1907-1915), logró descubrir la forma precisa en que el espacio-tiempo debía curvarse para reproducir las leyes físicas observadas en la naturaleza, en particular la gravitación. La gravedad se distingue de las fuerzas ficticias, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis, en el sentido de que la curvatura del espacio-tiempo se considera físicamente real, mientras que las fuerzas ficticias no se consideran fuerzas. Las primeras soluciones de sus ecuaciones de campo explicaron la precesión anómala de Mercurio y predijeron una curvatura inusual de la luz, que fue confirmada posteriormente.Su teoría fue publicada. Estas soluciones se explican a continuación.

Según la teoría de la relatividad general de Einstein, las partículas de masa despreciable viajan a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo. En un espacio-tiempo no curvo, lejos de una fuente de gravedad, estas geodésicas corresponden a líneas rectas; sin embargo, pueden desviarse de las líneas rectas cuando el espacio-tiempo está curvo. La ecuación para las líneas geodésicas es ^{[ 10 ].}$${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}$$ donde Γ representa el símbolo de Christoffel y la variable q parametriza la trayectoria de la partícula a través del espacio-tiempo , su llamada línea de universo . El símbolo de Christoffel depende únicamente del tensor métrico g _μν , o más bien de cómo cambia con la posición. La variable q es un múltiplo constante del tiempo propio τ para órbitas de tipo temporal (que son recorridas por partículas masivas), y generalmente se toma igual a él. Para órbitas de tipo luz (o nulas) (que son recorridas por partículas sin masa como el fotón ), el tiempo propio es cero y, estrictamente hablando, no puede usarse como la variable q . Sin embargo, las órbitas de tipo luz pueden derivarse como el límite ultrarrelativista de las órbitas de tipo temporal, es decir, el límite cuando la masa de la partícula m tiende a cero mientras mantiene fija su energía total .

Las órbitas de una partícula de prueba de masa infinitesimal${\displaystyle m}$alrededor de la masa central${\displaystyle M}$viene dada por la ecuación de movimiento $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left({\frac {E}{mc}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$$ dónde${\displaystyle h}$es el momento angular relativo específico ,${\textstyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{\mu }}}$y${\displaystyle \mu }$es la masa reducida . Esto se puede convertir en una ecuación para la órbita. $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{{\tilde {b}}^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{{\tilde {a}}^{2}}}+r^{2}\right)\,}$$ donde, para abreviar, dos escalas de longitud,${\textstyle {\tilde {a}}\equiv h/c}$y${\textstyle {\tilde {b}}\equiv Lc/E\,,}$Se han introducido. Son constantes del movimiento y dependen de las condiciones iniciales (posición y velocidad) de la partícula de prueba. Por lo tanto, la solución de la ecuación de la órbita es $${\displaystyle \varphi =\int {\frac {1}{r^{2}}}\left[{\frac {1}{{\tilde {b}}^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{{\tilde {a}}^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]^{-1/2}dr\,.}$$

La ecuación de movimiento para la partícula derivada anteriormente $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left({\frac {E}{mc}}\right)^{2}-c^{2}+{\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{r}}-\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}+{\frac {r_{\text{s}}h^{2}}{r^{3}}}}$$ se puede reescribir utilizando la definición del radio de Schwarzschild r _s como $${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\!\left[{\frac {E^{2}}{mc^{2}}}-mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$$lo cual es equivalente a una partícula que se mueve en un potencial efectivo unidimensional.$${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}\,.}$$ Los dos primeros términos son energías clásicas bien conocidas: el primero es la energía potencial gravitatoria newtoniana atractiva y el segundo corresponde a la energía potencial centrífuga repulsiva ; sin embargo, el tercer término es una energía atractiva exclusiva de la relatividad general . Como se muestra a continuación y en otros lugares , esta energía cúbica inversa provoca que las órbitas elípticas precesen gradualmente un pequeño ángulo δω por revolución. $${\displaystyle \delta \omega \,\approx \,{\frac {6\pi G\left(M+m\right)}{c^{2}a\left(1-e^{2}\right)}}\,,}$$ donde a es el semieje mayor orbital y e es la excentricidad . Aquí, δ ω no es el cambio en la coordenada φ con respecto a las coordenadas esféricas ( t , r , θ , φ ) , sino cercano a ella: es el cambio en el argumento del periapsis de la órbita cerrada clásica.

El tercer término es atractivo y domina en valores pequeños de r , dando un radio interior crítico r _interior en el que una partícula es atraída inexorablemente hacia adentro hasta r = 0  ; este radio interior es una función del momento angular de la partícula por unidad de masa o, equivalentemente, de la escala de longitud definida anteriormente.

El potencial efectivo V puede reescribirse en términos de la longitud${\textstyle A\equiv h/c\,}$:$${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {A^{2}}{r^{2}}}-{\frac {A^{2}r_{\text{s}}}{r^{3}}}\right].}$$

Las órbitas circulares son posibles cuando la fuerza efectiva es cero: $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-{\frac {dV}{dr}}\\&=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{\text{s}}r^{2}-2A^{2}r+3A^{2}r_{\text{s}}\right]=0\,;\end{aligned}}}$$ Es decir, cuando las dos fuerzas atractivas —la gravedad newtoniana (primer término) y la atracción propia de la relatividad general (tercer término)— se equilibran exactamente con la fuerza centrífuga repulsiva (segundo término). Existen dos radios en los que puede producirse este equilibrio, denominados aquí r _interior y r _exterior : $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&={\frac {A^{2}}{r_{\text{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3{r_{\text{s}}}^{2}}{A^{2}}}}}\right),\\[1ex]r_{\text{inner}}&={\frac {A^{2}}{r_{\text{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3{r_{\text{s}}}^{2}}{A^{2}}}}}\right)={\frac {3A^{2}}{r_{\text{outer}}}}\,,\end{aligned}}}$$ que se obtienen usando la fórmula cuadrática . El radio interior r _interior es inestable, porque la tercera fuerza atractiva se fortalece mucho más rápido que las otras dos fuerzas cuando r se vuelve pequeño; si la partícula se desliza ligeramente hacia adentro desde r _interior (donde las tres fuerzas están en equilibrio), la tercera fuerza domina a las otras dos y atrae la partícula inexorablemente hacia adentro hasta r = 0. En el radio exterior, sin embargo, las órbitas circulares son estables; el tercer término es menos importante y el sistema se comporta más como el problema de Kepler no relativista .

Cuando A es mucho mayor que _rs ( el caso clásico), estas fórmulas se vuelven aproximadamente $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{outer}}&\approx {\frac {2A^{2}}{r_{\text{s}}}}\,,\\r_{\text{inner}}&\approx {\frac {3}{2}}r_{\text{s}}\,.\end{aligned}}}$$

Sustituyendo las definiciones de A y rs en r exterior _{se obtiene} la fórmula clásica para una partícula de masa m que orbita un cuerpo de masa M.

La siguiente ecuación $${\displaystyle r_{\text{outer}}^{3}={\frac {G\left(M+m\right)}{\Omega _{\varphi }^{2}}}}$$ dónde${\displaystyle {\Omega _{\varphi }}}$es la velocidad angular orbital de la partícula, se obtiene en mecánica no relativista igualando la fuerza centrífuga a la fuerza gravitatoria newtoniana: $${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \Omega _{\varphi }^{2}r}$$ dónde${\displaystyle \mu }$es la masa reducida .

En nuestra notación, la velocidad angular orbital clásica es igual a $${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\text{outer}}^{3}}}&={\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{2r_{\text{outer}}^{3}}}\\[1ex]&={\frac {r_{\text{s}}c^{2}}{2}}\cdot {\frac {r_{\text{s}}^{3}}{8A^{6}}}={\frac {\;c^{2}{r_{\text{s}}}^{4}}{\;16A^{6}}}\end{aligned}}}$$

En el otro extremo, cuando${\displaystyle A^{2}}$Cuando se aproxima a 3 r _s ² desde arriba, los dos radios convergen a un único valor. $${\displaystyle r_{\text{outer}}\approx ~r_{\text{inner}}\approx 3r_{\text{s}}}$$ Las soluciones cuadráticas _anteriores aseguran que r _exterior siempre es mayor que 3 r _s , mientras que _{r interior se encuentra entre 3 / 2 r s} y ₃ r s . Las órbitas circulares menores que 3 / 2 r s no son posibles . Para partículas sin masa _,${\displaystyle A}$va al infinito, lo que implica que hay una órbita circular para los fotones en r _interior = ⁠ 3 / 2 ⁠ rs _. La esfera de este radio a veces se conoce como la esfera de fotones .

La tasa de precesión orbital se puede derivar utilizando este potencial efectivo radial V , que incluye la fuerza centrífuga no newtoniana . Una pequeña desviación radial de una órbita circular de radio _exterior r oscilará de manera estable con una frecuencia angular. $${\displaystyle \Omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left.{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{\text{outer}}}}$$ lo cual es igual a $${\displaystyle \Omega _{r}^{2}={\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r_{\text{outer}}^{4}}}{\Bigl (}r_{\text{outer}}-r_{\text{inner}}{\Bigr )}~=~\Omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{a^{2}}}}}}$$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y desarrollando usando el teorema del binomio se obtiene la fórmula. $${\displaystyle \Omega _{r}~=~\Omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}$$ Multiplicando por el período T de una revolución se obtiene la precesión de la órbita por revolución. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \varphi &=T(\Omega _{\varphi }-\Omega _{r})\\[1ex]&\approx 2\pi \,{\frac {3r_{\text{s}}^{2}}{4a^{2}}}={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{\text{s}}^{2}\end{aligned}}}$$ donde hemos usado Ω _φ T ≈ 2 π (exacto para órbitas circulares) y la definición de la escala de longitud establecida por a . Sustituyendo la definición del radio de Schwarzschild r _s se obtiene $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\,{\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$$

Esto se puede simplificar utilizando el semieje mayor a de la órbita elíptica , la excentricidad e y el momento angular relativo específico h , que están relacionados por la fórmula$${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=a\left(1-e^{2}\right)}$$ para dar el ángulo de precesión $${\displaystyle \operatorname {\delta } \!\varphi ~\approx ~{\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}a\left(1-e^{2}\right)}}~.}$$

Dado que la órbita clásica cerrada es generalmente una elipse, la cantidad a ( 1 − e ² ) es el semi- lato recto.${\displaystyle \ell }$de la elipse.

Por lo tanto, la fórmula final de la precesión apsidal angular para una revolución completa unitaria es $${\displaystyle \operatorname {\delta } \!\varphi ~\approx ~{\frac {6\pi G(M+m)}{\ell c^{2}}}~.}$$

En la solución de Schwarzschild, se supone que la masa mayor, M, es estacionaria y determina por sí sola el campo gravitatorio (es decir, la geometría del espacio-tiempo). Por lo tanto, la masa menor, m, sigue una trayectoria geodésica a través de ese espacio-tiempo fijo. Esta es una aproximación razonable para los fotones y la órbita de Mercurio, cuya masa es aproximadamente 6 millones de veces menor que la del Sol. Sin embargo, resulta inadecuada para sistemas binarios de estrellas , cuyas masas pueden ser de magnitud similar.

La métrica para el caso de dos masas comparables no puede resolverse de forma cerrada y, por lo tanto, hay que recurrir a técnicas de aproximación como la aproximación post-newtoniana o aproximaciones numéricas. De paso, mencionamos una excepción particular en dimensiones inferiores (véase el modelo R  = T  para más detalles). En (1+1) dimensiones, es decir, un espacio formado por una dimensión espacial y una dimensión temporal, la métrica para dos cuerpos de masas iguales puede resolverse analíticamente en términos de la función W de Lambert . ^{[ 11 ]} Sin embargo, la energía gravitacional entre los dos cuerpos se intercambia mediante dilatones en lugar de gravitones , que requieren un espacio tridimensional para propagarse.

La expansión post-newtoniana es un método de cálculo que proporciona una serie de soluciones cada vez más precisas para un problema dado. ^{[ 12 ]} El método es iterativo; se utiliza una solución inicial para los movimientos de las partículas para calcular los campos gravitatorios; a partir de estos campos derivados, se pueden calcular nuevos movimientos de las partículas, a partir de los cuales se pueden obtener estimaciones aún más precisas de los campos, y así sucesivamente. Este enfoque se denomina "post-newtoniano" porque la solución newtoniana para las órbitas de las partículas se utiliza a menudo como solución inicial.

La teoría se puede dividir en dos partes: primero, se halla el potencial efectivo de dos cuerpos que captura las correcciones de la relatividad general al potencial newtoniano. En segundo lugar, se deben resolver las ecuaciones de movimiento resultantes.

Las ecuaciones de Einstein también pueden resolverse en una computadora mediante métodos numéricos sofisticados. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Con suficiente potencia de cálculo, estas soluciones pueden ser más precisas que las soluciones post-newtonianas. Sin embargo, estos cálculos son exigentes porque las ecuaciones generalmente deben resolverse en un espacio de cuatro dimensiones. No obstante, a partir de finales de la década de 1990, fue posible resolver problemas complejos como la fusión de dos agujeros negros, una versión muy difícil del problema de Kepler en la relatividad general.

Según la relatividad general , si no hay radiación gravitacional incidente, dos cuerpos que orbitan uno alrededor del otro emitirán radiación gravitacional , lo que provocará que las órbitas pierdan energía gradualmente.

Se han calculado las fórmulas que describen la pérdida de energía y momento angular debido a la radiación gravitacional de los dos cuerpos del problema de Kepler. ^{[ 13 ]} La tasa de pérdida de energía (promediada sobre una órbita completa) viene dada por ^{[ 14 ]}$${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2})}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}$$ donde e es la excentricidad orbital y a es el semieje mayor de la órbita elíptica . Los corchetes angulares en el lado izquierdo de la ecuación representan el promedio sobre una sola órbita. De manera similar, la tasa promedio de pérdida de momento angular es igual a $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}$$

La tasa de disminución del período viene dada por ^{[ 13 ] [ 15 ]}$${\displaystyle -\left\langle {\frac {dP_{b}}{dt}}\right\rangle ={\frac {192\pi G^{5/3}m_{1}m_{2}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}\left(m_{1}+m_{2}\right)^{1/3}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)\left({\frac {P_{b}}{2\pi }}\right)^{-{5/3}}}$$ donde P _b es el período orbital.

Las pérdidas de energía y momento angular aumentan significativamente a medida que la excentricidad se aproxima a uno, es decir, a medida que la elipse de la órbita se alarga cada vez más. Las pérdidas por radiación también aumentan significativamente al disminuir el tamaño a de la órbita.

• 
  Los cambios observados experimentalmente en el tiempo del periastro del púlsar binario PSR B1913+16 (puntos rojos) coinciden casi exactamente con el cambio debido a la reducción del período orbital predicho por la relatividad general (curva azul).
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  Dos estrellas de neutrones que giran rápidamente una alrededor de la otra pierden energía gradualmente al emitir radiación gravitacional. A medida que pierden energía, orbitan una alrededor de la otra con mayor rapidez y se acercan más entre sí.