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ecuación de Binet

La ecuación de Binet , derivada por Jacques Philippe Marie Binet , proporciona la forma de una fuerza central dada la forma del movimiento orbital en coordenadas polares planas ...

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La ecuación de Binet , derivada por Jacques Philippe Marie Binet , proporciona la forma de una fuerza central dada la forma del movimiento orbital en coordenadas polares planas . La ecuación también puede utilizarse para derivar la forma de la órbita para una ley de fuerza dada, pero esto generalmente implica la solución de una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden . No es posible obtener una solución única en el caso de un movimiento circular alrededor del centro de fuerza.

Ecuación

La forma de una órbita se describe a menudo convenientemente en términos de distancia relativa.r{\displaystyle r}en función del ánguloθ{\displaystyle \theta }. Para la ecuación de Binet, la forma orbital se describe de manera más concisa mediante el recíprocotú=1/r{\displaystyle u=1/r}como función deθ{\displaystyle \theta }. Defina el momento angular específico comoh=L/metro{\displaystyle h=L/m}dóndeL{\displaystyle L}es el momento angular ymetro{\displaystyle m}es la masa. La ecuación de Binet, derivada en la siguiente sección, da la fuerza en términos de la funcióntú(θ){\displaystyle u(\theta )}: F(tú−1)=−metroh2tú2(d2túdθ2+tú).{\displaystyle F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).}

Derivación

La segunda ley de Newton para una fuerza puramente central es F(r)=metro(r¨−rθ˙2).{\displaystyle F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).}

La conservación del momento angular requiere que r2θ˙=h=constante.{\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constante}}.}

Derivados der{\displaystyle r}con respecto al tiempo pueden reescribirse como derivadas detú=1/r{\displaystyle u=1/r}con respecto al ángulo: dtúdθ=ddt(1r)dtdθ=−r˙r2θ˙=−r˙hd2túdθ2=−1hdr˙dtdtdθ=−r¨hθ˙=−r¨h2tú2{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{aligned}}}

Combinando todo lo anterior, llegamos a F=metro(r¨−rθ˙2)=−metro(h2tú2d2túdθ2+h2tú3)=−metroh2tú2(d2túdθ2+tú){\displaystyle F=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}

La solución general es [ 1 ]θ=∫r0rdrr22metroL2(mi−V)−1r2+θ0{\displaystyle \theta =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}+\theta _{0}}dónde(r0,θ0){\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}es la coordenada inicial de la partícula,V{\displaystyle V}la energía potencial ymi{\displaystyle E}la energía total (mi=T+V{\displaystyle E=T+V}).

Ejemplos

Problema de Kepler

Clásico

El problema tradicional de Kepler de calcular la órbita de una ley del inverso del cuadrado se puede leer a partir de la ecuación de Binet como la solución de la ecuación diferencial. −ktú2=−metroh2tú2(d2túdθ2+tú){\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}d2túdθ2+tú=kmetroh2≡constante>0.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.}

Si el ánguloθ{\displaystyle \theta }se mide desde el periapsis , entonces la solución general para la órbita expresada en coordenadas polares (recíprocas) es ltú=1+εporque⁡θ.{\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}

La ecuación polar anterior describe secciones cónicas , conl{\displaystyle l}el semi-lato recto (igual ah2/μ=h2metro/k{\displaystyle h^{2}/\mu =h^{2}m/k}) yε{\displaystyle \varepsilon }la excentricidad orbital .

Relativista

La ecuación relativista derivada para una métrica de De Sitter–Schwarzschild es [ 2 ].d2túdϕ2+tú={rsdo22h2+32rstú2−Λdo23h2tú3(partícula)32rstú2(fotón){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\begin{cases}{\dfrac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\dfrac {3}{2}}r_{s}u^{2}-{\dfrac {\Lambda c^{2}}{3h^{2}u^{3}}}&{\text{(particle)}}\\[1.2em]{\dfrac {3}{2}}r_{s}u^{2}&{\text{(photon)}}\end{cases}}} dóndedo{\displaystyle c}es la velocidad de la luz ,rs{\displaystyle r_{s}}es el radio de Schwarzschild yΛ{\displaystyle \Lambda }es la constante cosmológica . Y para la métrica de Reissner-Nordström obtendremos d2túdϕ2+tú={rsdo22h2+32rstú2−GRAMOQ24πε0do4(do2h2tú+2tú3)(partícula)32rstú2−GRAMOQ22πε0do4tú3(fotón){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\begin{cases}{\dfrac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\dfrac {3}{2}}r_{s}u^{2}-{\dfrac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\dfrac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)&{\text{(particle)}}\\[1.2em]{\dfrac {3}{2}}r_{s}u^{2}-{\dfrac {GQ^{2}}{2\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}u^{3}&{\text{(photon)}}\end{cases}}} dóndeQ{\displaystyle Q}es la carga eléctrica yε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}es la permitividad del vacío .

Problema inverso de Kepler

Consideremos el problema inverso de Kepler. ¿Qué tipo de ley de fuerza produce una órbita elíptica no circular (o, más generalmente, una sección cónica no circular ) alrededor de un foco de la elipse ?

Al derivar dos veces la ecuación polar anterior para una elipse se obtiene ld2túdθ2=−εporque⁡θ.{\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}

Por lo tanto, la ley de fuerza es F=−metroh2tú2(−εporque⁡θl+1+εporque⁡θl)=−metroh2tú2l=−metroh2lr2,{\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},} que es la ley del cuadrado inverso anticipada. Haciendo coincidir el orbitalh2/l=μ{\displaystyle h^{2}/l=\mu }a valores físicos comoGRAMOMETRO{\displaystyle GM}okmiq1q2/metro{\displaystyle k_{e}q_{1}q_{2}/m}reproduce la ley de gravitación universal de Newton o la ley de Coulomb , respectivamente.

La fuerza efectiva para las coordenadas de Schwarzschild es [ 3 ]F=−GRAMOMETROmetrotú2(1+3(htúdo)2)=−GRAMOMETROmetror2(1+3(hrdo)2).{\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).} donde el segundo término es una fuerza cuártica inversa correspondiente a efectos cuadrupolares como el desplazamiento angular del periapsis (también se puede obtener a través de potenciales retardados [ 4 ] ).

En el formalismo post-newtoniano parametrizado obtendremos F=−GRAMOMETROmetror2(1+(2+2γ−β)(hrdo)2).{\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).} dóndeγ=β=1{\displaystyle \gamma =\beta =1}para la relatividad general yγ=β=0{\displaystyle \gamma =\beta =0}en el caso clásico.

espirales de Cotes

Una ley de fuerza de cubo inverso tiene la forma F(r)=−kr3.{\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}

Las formas de las órbitas de una ley del cubo inverso se conocen como espirales de Cotes . La ecuación de Binet muestra que las órbitas deben ser soluciones de la ecuación. d2túdθ2+tú=ktúmetroh2=dotú.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}

La ecuación diferencial tiene tres tipos de soluciones, en analogía con las diferentes secciones cónicas del problema de Kepler. Cuandodo<1{\displaystyle C<1}, la solución es la epispiral , incluyendo el caso patológico de una línea recta cuandodo=0{\displaystyle C=0}. Cuandodo=1{\displaystyle C=1}, la solución es la espiral hiperbólica . Cuandodo>1{\displaystyle C>1}La solución es la espiral de Poinsot .

movimiento circular fuera del eje

Aunque la ecuación de Binet no proporciona una ley de fuerza única para el movimiento circular alrededor del centro de fuerza, sí puede proporcionar una ley de fuerza cuando el centro del círculo y el centro de fuerza no coinciden. Consideremos, por ejemplo, una órbita circular que pasa directamente por el centro de fuerza. Una ecuación polar (recíproca) para dicha órbita circular de diámetroD{\displaystyle D}es Dtú(θ)=segundo⁡θ.{\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}

Diferenciandotú{\displaystyle u}dos veces y haciendo uso de la identidad pitagórica da Dd2túdθ2=segundo⁡θbroncearse2⁡θ+segundo3⁡θ=segundo⁡θ(segundo2⁡θ−1)+segundo3⁡θ=2D3tú3−Dtú.{\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}

La ley de fuerza es, por lo tanto, F=−metroh2tú2(2D2tú3−tú+tú)=−2metroh2D2tú5=−2metroh2D2r5.{\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}

Nótese que resolver el problema inverso general , es decir construir las órbitas de un sistema atractivo,1/r5{\displaystyle 1/r^{5}}La ley de fuerza es un problema considerablemente más difícil porque es equivalente a resolver d2túdθ2+tú=dotú3{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}}

que es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica . Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-02918-9OCLC 5675073​​ 
  2. ↑ Alvarez-Perez, Jose Luis (2026). "La ecuación de Binet en mecánica orbital clásica y relativista" . European Journal of Physics, vol. 7, n.º 3. IOP Publishing. arXiv : 2512.07485 . doi : 10.1088/1361-6404/ae5af7 . Consultado el 13 de mayo de 2026 .
  3. ↑ D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "La ecuación orbital de primer orden" (PDF) . Am. J. Phys . Asociación Estadounidense de Profesores de Física. Archivado del original el 26 de abril de 2012. Recuperado el 23 de marzo de 2026 a través de chaos.swarthmore.edu.
  4. ↑ Behera, Harihar; Naik, P. C (2003). "Una explicación relativista del espacio-tiempo plano para el avance del perihelio de Mercurio". arXiv : astro-ph/0306611 .
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