Problema clásico de fuerza central

En mecánica clásica, el problema de la fuerza central consiste en determinar el movimiento de una partícula en un campo potencial central único . Una fuerza central es una fuerza (posiblemente negativa) que apunta desde la partícula directamente hacia un punto fijo en el espacio, el centro, y cuya magnitud depende únicamente de la distancia del objeto al centro. En algunos casos importantes, el problema puede resolverse analíticamente, es decir, en términos de funciones bien estudiadas como las funciones trigonométricas .

La solución de este problema es importante para la mecánica clásica , ya que muchas fuerzas naturales son centrales. Ejemplos de ello son la gravedad y el electromagnetismo, descritos por la ley de gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb , respectivamente. El problema también es importante porque algunos problemas más complejos de la física clásica (como el problema de dos cuerpos con fuerzas a lo largo de la línea que los conecta) pueden reducirse a un problema de fuerza central. Finalmente, la solución al problema de fuerza central suele proporcionar una buena aproximación inicial del movimiento real, como en el cálculo del movimiento de los planetas del Sistema Solar .

La esencia del problema de la fuerza central es resolver la posición r ^{[ nota 1 ]} de una partícula que se mueve bajo la influencia de una fuerza central F , ya sea como una función del tiempo t o como una función del ángulo φ con respecto al centro de fuerza y ​​un eje arbitrario.

Una fuerza central conservativa F tiene dos propiedades definitorias. ^{[ 1 ]} Primero, debe impulsar las partículas directamente hacia o directamente lejos de un punto fijo en el espacio, el centro de fuerza, que a menudo se denomina O. En otras palabras, una fuerza central debe actuar a lo largo de la línea que une O con la posición actual de la partícula. Segundo, una fuerza central conservativa depende únicamente de la distancia r entre O y la partícula en movimiento; no depende explícitamente del tiempo ni de otros descriptores de posición.

Esta definición doble puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera. El centro de fuerza O puede elegirse como el origen de un sistema de coordenadas. El vector r que une O con la posición actual de la partícula se conoce como vector de posición . Por lo tanto, una fuerza central debe tener la forma matemática ^{[ 2 ]} donde r es la magnitud del vector | r | (la distancia al centro de fuerza) y r̂ = r /r es el vector unitario correspondiente . Según la segunda ley del movimiento de Newton , la fuerza central F genera una aceleración paralela a escalada por la masa m de la partícula ^{[ nota 2 ].}$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$$

Para fuerzas atractivas, F ( r ) es negativa, porque actúa para reducir la distancia r al centro. Por el contrario, para fuerzas repulsivas, F ( r ) es positiva.

Si la fuerza central es una fuerza conservativa , entonces la magnitud F ( r ) de una fuerza central siempre puede expresarse como la derivada de una función de energía potencial independiente del tiempo U ( r ) ^{[ 3 ].}$${\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}$$

Así, la energía total de la partícula —la suma de su energía cinética y su energía potencial U— es constante; se dice que la energía se conserva . Para demostrarlo, basta con que el trabajo W realizado por la fuerza dependa únicamente de las posiciones inicial y final, y no de la trayectoria recorrida entre ellas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} \\[1ex]&=\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})\end{aligned}}}$$

Equivalentemente, basta con que el rotacional del campo de fuerza F sea cero; utilizando la fórmula para el rotacional en coordenadas esféricas , dado que las derivadas parciales son cero para una fuerza central, la magnitud F no depende de las coordenadas esféricas angulares θ y φ. $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}$$

Dado que el potencial escalar V ( r ) depende únicamente de la distancia r al origen, posee simetría esférica . En este sentido, el problema de la fuerza central es análogo a las geodésicas de Schwarzschild en la relatividad general y a los tratamientos cuánticos de partículas en potenciales de simetría esférica .

Si la velocidad inicial v de la partícula está alineada con el vector de posición r , entonces el movimiento permanece para siempre en la línea definida por r . Esto se debe a que la fuerza —y, por la segunda ley de Newton, también la aceleración a— también está alineada con r . Para determinar este movimiento, basta con resolver la ecuación. $${\displaystyle m{\ddot {r}}=F(r)}$$

Un método de solución consiste en utilizar la conservación de la energía total. $${\displaystyle \left|{\dot {r}}\right|=\left|{\frac {dr}{dt}}\right|={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}$$

Tomando el recíproco e integrando obtenemos: $${\displaystyle |t-t_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}}$$

En el resto del artículo, se supone que la velocidad inicial v de la partícula no está alineada con el vector de posición r , es decir, que el vector de momento angular L = r × m v no es cero.

Toda fuerza central puede producir un movimiento circular uniforme, siempre que el radio inicial r y la velocidad v satisfagan la ecuación de la fuerza centrípeta.$${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}$$

Si esta ecuación se cumple en los momentos iniciales, se cumplirá en todos los momentos posteriores; la partícula continuará moviéndose en un círculo de radio r a velocidad v para siempre.

El problema de la fuerza central se refiere a una situación ideal (un "problema de un solo cuerpo") en la que una sola partícula es atraída o repelida desde un punto inamovible O , el centro de fuerza. ^{[ 4 ]} Sin embargo, las fuerzas físicas generalmente actúan entre dos cuerpos; y según la tercera ley de Newton, si el primer cuerpo ejerce una fuerza sobre el segundo, este ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el primero. Por lo tanto, ambos cuerpos se aceleran si existe una fuerza entre ellos; no hay un centro de fuerza perfectamente inamovible. No obstante, si un cuerpo es mucho más masivo que el otro, su aceleración relativa al otro puede despreciarse; el centro del cuerpo más masivo puede considerarse aproximadamente fijo. ^{[ 5 ]} Por ejemplo, el Sol es mucho más masivo que el planeta Mercurio; por lo tanto, el Sol puede aproximarse como un centro de fuerza inamovible, reduciendo el problema al movimiento de Mercurio en respuesta a la fuerza ejercida por el Sol. En realidad, sin embargo, el Sol también se mueve (aunque solo ligeramente) en respuesta a la fuerza ejercida por el planeta Mercurio.

Sin embargo, tales aproximaciones son innecesarias. Las leyes del movimiento de Newton permiten convertir cualquier problema clásico de dos cuerpos en un problema exacto de un solo cuerpo. ^{[ 6 ]} Para demostrar esto, sean x ₁ y x ₂ las posiciones de las dos partículas, y sea r = x ₁ − x ₂ su posición relativa. Entonces, por la segunda ley de Newton, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}&=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)\\[1ex]&=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}\end{aligned}}}$$

La ecuación final se deriva de _la tercera ley de Newton ; la fuerza del segundo cuerpo sobre el primero ( F₂₁ ) es igual y opuesta a la fuerza del primer cuerpo sobre el segundo ( F₁₂ ). Por lo tanto, la ecuación de movimiento para r se puede escribir en la forma donde es la masa reducida _.$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

Como caso particular, el problema de dos cuerpos que interactúan mediante una fuerza central puede reducirse a un problema de fuerza central de un solo cuerpo.

El movimiento de una partícula bajo una fuerza central F siempre permanece en el plano definido por su posición y velocidad iniciales. ^{[ 7 ]} Esto se puede observar por simetría. Dado que la posición r , la velocidad v y la fuerza F se encuentran en el mismo plano, nunca hay una aceleración perpendicular a ese plano, ya que eso rompería la simetría entre "por encima" y "por debajo" del plano.

Para demostrar esto matemáticamente, basta con mostrar que el momento angular de la partícula es constante. Este momento angular L se define mediante la ecuación donde m es la masa de la partícula y p es su momento lineal . En esta ecuación, el símbolo de multiplicación × indica el producto vectorial , no la multiplicación. Por lo tanto, el vector de momento angular L siempre es perpendicular al plano definido por el vector de posición r y el vector de velocidad v de la partícula . ^{[ nota 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$$

En general, la tasa de cambio del momento angular L es igual al torque neto r × F ^{[ 8 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} \\[1ex]&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,\end{aligned}}}$$

El primer término m v × v siempre es cero, porque el producto vectorial siempre es cero para cualquier par de vectores que apunten en la misma dirección o en direcciones opuestas. Sin embargo, cuando F es una fuerza central, el término restante r × F también es cero porque los vectores r y F apuntan en la misma dirección o en direcciones opuestas. Por lo tanto, el vector de momento angular L es constante. Entonces $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}$$

En consecuencia, la posición r de la partícula (y por lo tanto su velocidad ^v ) siempre se encuentra en un plano perpendicular a L. [ ^{9 ]}

Dado que el movimiento es planar y la fuerza radial, es habitual cambiar a coordenadas polares . ^{[ 9 ]} En estas coordenadas, el vector de posición r se representa en términos de la distancia radial r y el ángulo azimutal φ .

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=(r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi )}$$

Al tomar la primera derivada con respecto al tiempo, se obtiene el vector de velocidad de la partícula v.$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}$$

De manera similar, la segunda derivada de la posición de la partícula r es igual a su aceleración a.$${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$$

La velocidad v y la aceleración a pueden expresarse en términos de los vectores unitarios radial y azimutal. El vector unitario radial se obtiene dividiendo el vector de posición r por su magnitud r , como se describió anteriormente. $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

El vector unitario azimutal viene dado por ^{[ nota 4 ]}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}$$

Por lo tanto, la velocidad se puede escribir como mientras que la aceleración es igual a $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat {r}} +v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right)\mathbf {\hat {r}} +\left(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}$$

Dado que F = m a según la segunda ley del movimiento de Newton y dado que F es una fuerza central, entonces solo la componente radial de la aceleración a puede ser distinta de cero; la componente angular a _φ debe ser cero. $${\displaystyle a_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)&=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}\right)\\&=ra_{\varphi }=0\end{aligned}}}$$

Esta expresión entre paréntesis se suele denotar h$${\displaystyle {\begin{aligned}h=r^{2}{\dot {\varphi }}&=rv_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|\\[1ex]&=vr_{\perp }={\frac {L}{m}}\end{aligned}}}$$

que es igual a la velocidad v multiplicada por _r⊥ , la componente del vector de radio perpendicular a la velocidad. h es la magnitud del momento angular específico porque es igual a la magnitud L del momento angular dividida por la masa m de la partícula.

Para abreviar, la velocidad angular a veces se escribe ω.$${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}$$

Sin embargo, no debe asumirse que ω es constante. Dado que h es constante, ω varía con el radio r según la fórmula ^{[ 10 ].}$${\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}$$

Dado que h es constante y r ² es positivo, el ángulo φ cambia monótonamente en cualquier problema de fuerza central, ya sea aumentando continuamente ( h positivo) o disminuyendo continuamente ( h negativo). ^{[ 11 ]}

La magnitud de h también es igual al doble de la velocidad superficial , que es la tasa a la que la partícula barre el área con respecto al centro. ^{[ 12 ]} Por lo tanto, la velocidad superficial es constante para una partícula sobre la que actúa cualquier tipo de fuerza central; esta es la segunda ley de Kepler . ^{[ 13 ]} Por el contrario, si el movimiento bajo una fuerza conservativa F es planar y tiene velocidad superficial constante para todas las condiciones iniciales del radio r y la velocidad v , entonces la aceleración azimutal a _φ es siempre cero. Por lo tanto, según la segunda ley de Newton, F = m a , la fuerza es una fuerza central.

La constancia de la velocidad superficial puede ilustrarse mediante el movimiento circular uniforme y el movimiento lineal uniforme. En el movimiento circular uniforme, la partícula se mueve con velocidad constante v alrededor de la circunferencia de un círculo de radio r . Dado que la velocidad angular ω = v / r es constante, el área barrida en un tiempo Δ t es igual a ω r ² Δ ​​t ; por lo tanto, se barren áreas iguales en tiempos iguales Δ t . En el movimiento lineal uniforme (es decir, movimiento en ausencia de una fuerza, según la primera ley del movimiento de Newton), la partícula se mueve con velocidad constante, es decir, con velocidad constante v a lo largo de una línea. En un tiempo Δ t , la partícula barre un área 1 ⁄ 2 v Δ tr _⊥ (el parámetro de impacto ). ^{[ nota 5 ]} La distancia r _⊥ no cambia a medida que la partícula se mueve a lo largo de la línea; representa la distancia de aproximación más cercana de la línea al centro O (el parámetro de impacto ). Dado que la velocidad v también es invariable, la velocidad superficial 1/2 vr⊥ es una constante de movimiento; la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales _.

Mediante una transformación de variables, ^{[ 14 ]} cualquier problema de fuerza central puede convertirse en un problema equivalente de fuerza paralela. ^{[ nota 6 ]} En lugar de las coordenadas cartesianas x e y ordinarias , se definen dos nuevas variables de posición ξ = x / y y η = 1 / y , así como una nueva coordenada de tiempo τ$${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}$$

Las ecuaciones de movimiento correspondientes para ξ y η vienen dadas por $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{d\tau }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\\[1ex]&=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h\\[2ex]{\frac {d\eta }{d\tau }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\\[1ex]&=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}\end{aligned}}}$$

Dado que la tasa de cambio de ξ es constante, su segunda derivada es cero. $${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}$$

Dado que esta es la aceleración en la dirección ξ y dado que F = ma por la segunda ley de Newton, se deduce que la fuerza en la dirección ξ es cero. Por lo tanto, la fuerza está solo a lo largo de la dirección η , que es el criterio para un problema de fuerzas paralelas. Explícitamente, la aceleración en la dirección η es igual a porque la aceleración en la dirección y es igual a$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}&={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)\\[1ex]&=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}$$

Aquí, F _y denota la componente y de la fuerza central, e y / r es igual al coseno del ángulo entre el eje y y el vector radial r .

Dado que una fuerza central F actúa solo a lo largo del radio, solo la componente radial de la aceleración es distinta de cero. Según la segunda ley del movimiento de Newton, la magnitud de F es igual a la masa m de la partícula multiplicada por la magnitud de su aceleración radial ^{[ 15 ].}$${\displaystyle F(r)=m{\ddot {r}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {mh^{2}}{r^{3}}}}$$

Esta ecuación tiene el factor de integración${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\dot {r}}\,dt\\[1ex]&=m\left({\dot {r}}{\ddot {r}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\dot {r}}\right)\,dt\\[1ex]&={\frac {m}{2}}\,d{\left({\dot {r}}^{2}+h^{2}r^{-2}\right)}\end{aligned}}}$$

Rendimientos de integración $${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]}$$

Si h no es cero, la variable independiente puede cambiarse de t a ϕ ^{[ 16 ]} dando la nueva ecuación de movimiento ^{[ 17 ].}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}=\omega {\frac {d}{d\varphi }}={\frac {h}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}}$$$${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]}$$

Al realizar el cambio de variables al radio inverso u = 1/ r ^{[ 17 ]} se obtiene

donde C es una constante de integración y la función G ( u ) se define por $${\displaystyle G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}}\int ^{\frac {1}{u}}F(r)\,dr}$$

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al diferenciarla por ϕ$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}}F(1/u)}$$

Esto se conoce como la ecuación de Binet . La integración de ( 1 ) produce la solución para ϕ ^{[ 18 ]} _, donde ϕ₀ es otra constante de integración. Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración final se puede resolver en términos de funciones conocidas. $${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{r}}{\frac {du}{\sqrt {C-u^{2}-G(u)}}}}$$

Tomando el producto escalar de la segunda ley del movimiento de Newton con la velocidad de la partícula, donde la fuerza se obtiene de la energía potencial, se obtiene donde se asume la suma sobre el índice cartesiano espacial y hemos usado el hecho de que y hemos usado la regla de la cadena . Reordenando, el término entre paréntesis en el lado izquierdo es una constante, etiquetada como , la energía mecánica total. Claramente, esta es la suma de la energía cinética y la energía potencial. ^{[ 19 ]}$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\qquad \left/\;\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}m{\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)&=-{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\\[1ex]&=-\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}=-{\frac {dU}{dt}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle i=1,2,3}$${\textstyle {\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=2{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}}$${\textstyle {\frac {d}{dt}}U(x,y,z)=\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )\right)=0}$$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }}$

Además, si el potencial es central, la fuerza está a lo largo de la dirección radial. En este caso, el producto vectorial de la segunda ley de Newton con el vector de posición de la partícula debe anularse ya que el producto vectorial de dos vectores paralelos es cero: pero (producto vectorial de vectores paralelos), por lo que El término entre paréntesis en el lado izquierdo es una constante, etiquételo con el momento angular, En particular, en coordenadas polares, o Además, , por lo que la ecuación de energía se puede simplificar con el momento angular como Esto indica que el momento angular contribuye con una energía potencial efectiva ^{[ 20 ]} Resuelva esta ecuación para que se puede convertir en la derivada de con respecto al ángulo azimutal como Esta es una ecuación diferencial separable de primer orden. Integrando y se obtiene la fórmula ^{[ 21 ]}${\displaystyle U(x,y,z)=U(r)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \times m{\ddot {\mathbf {r} }}&={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)-\left({\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)\\[1ex]&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}=0}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle L=mrv_{\varphi }=mr^{2}{\dot {\varphi }}}$$${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}^{2}=v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}={\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\varphi }})^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathrm {tot} }&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)\\[1ex]&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)\\[1ex]&={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{\mathrm {eff} }(r)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle U_{\mathrm {eff} }(r)=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$${\displaystyle {\dot {r}}}$$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {dr/dt}{d\varphi /dt}}={\frac {\dot {r}}{\dot {\varphi }}}={\frac {mr^{2}}{L}}{\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}}}$$

Cambiando la variable de integración al radio inverso se obtiene la integral ^{[ 22 ]} que expresa las constantes anteriores C = 2 mE _tot / L ² y G ( u ) = 2 mU (1/ u )/ L ² en términos de la energía total E _tot y la energía potencial U ( r ). $${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}}}$$

La tasa de cambio de r es cero siempre que la energía potencial efectiva sea igual a la energía total ^{[ 23 ].}$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$

Los puntos donde se satisface esta ecuación se conocen como puntos de inflexión . ^{[ 23 ]} La órbita a ambos lados de un punto de inflexión es simétrica; en otras palabras, si el ángulo azimutal se define de tal manera que φ = 0 en el punto de inflexión, entonces la órbita es la misma en direcciones opuestas, r ( φ ) = r (− φ ). ^{[ 24 ]}

Si hay dos puntos de inflexión tales que el radio r está acotado entre r _min y r _max , entonces el movimiento está contenido dentro de un anillo de esos radios. ^{[ 23 ]} A medida que el radio varía de un punto de inflexión a otro, el cambio en el ángulo azimutal φ es igual a ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int _{r_{\min }}^{r_{\max }}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

La órbita se cerrará sobre sí misma ^{[ nota 7 ]} siempre que Δφ sea igual a una fracción racional de 2π , es decir, ^{[ 23 ]} donde m y n son enteros. En ese caso, el radio oscila exactamente m veces mientras que el ángulo azimutal φ realiza exactamente n revoluciones. Sin embargo, en general, Δφ/2π no será un número racional , y por lo tanto la órbita no se cerrará. En ese caso, la partícula eventualmente pasará arbitrariamente cerca de cada punto dentro del anillo. Dos tipos de fuerza central siempre producen órbitas cerradas: F ( r ) = αr ( una fuerza lineal) y ^F ( r ) = α/ r² (una ley del inverso del cuadrado ). Como demostró Bertrand, estas dos fuerzas centrales son las únicas que garantizan órbitas cerradas. ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}}$$

En general, si el momento angular L es distinto de cero, el término L²/2mr² ^impide que ^la partícula caiga en el origen, a menos que la energía potencial efectiva tienda a menos infinito en el límite de r tendiendo a cero. ^{[ 26 ]} Por lo tanto, si hay un único punto de inflexión, la órbita generalmente tiende a infinito; el punto de inflexión corresponde a un punto de radio mínimo.

En la física clásica , muchas fuerzas importantes siguen una ley del inverso del cuadrado, como la gravedad o la electrostática . La forma matemática general de estas fuerzas centrales del inverso del cuadrado es para una constante , que es negativa para una fuerza atractiva y positiva para una repulsiva. $${\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}$$${\displaystyle \alpha }$

Este caso especial del problema clásico de la fuerza central se denomina problema de Kepler . Para una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, la ecuación de Binet derivada anteriormente es lineal. $${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}.}$$

La solución de esta ecuación es que muestra que la órbita es una sección cónica de excentricidad e ; aquí, φ₀ es el ángulo inicial y el centro de fuerza se encuentra en el foco de la sección cónica. Usando la fórmula _del semiángulo para el seno , esta solución también se puede escribir como $${\displaystyle u(\varphi )=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}\left[1+e\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]}$$$${\displaystyle u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1})\sin ^{2}\left({\frac {\varphi -\varphi _{0}}{2}}\right)}$$

donde u ₁ y u ₂ son constantes, siendo u ₂ mayor que u ₁ . Las dos versiones de la solución están relacionadas por las ecuaciones y $${\displaystyle u_{1}+u_{2}=-{\frac {2\alpha }{mh^{2}}}}$$$${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$$

Dado que la función seno ^{2 siempre es mayor que cero,} u ₂ es el mayor valor posible de u y el inverso del menor valor posible de r , es decir, la distancia de aproximación más cercana ( periapsis ). Como la distancia radial r no puede ser negativa, tampoco lo es su inverso u ; por lo tanto, u ₂ debe ser positivo. Si u ₁ también es positivo, es el menor valor posible de u , que corresponde al mayor valor posible de r , la distancia de aproximación más lejana ( apoapsis ). Si u ₁ es cero o negativo, entonces el menor valor posible de u es cero (la órbita tiende al infinito); en este caso, los únicos valores relevantes de φ son aquellos que hacen que u sea positivo.

Para una fuerza atractiva (α < 0), la órbita es una elipse , una hipérbola o una parábola , dependiendo de si u ₁ es positivo, negativo o cero, respectivamente; esto corresponde a una excentricidad e menor que uno, mayor que uno o igual a uno. Para una fuerza repulsiva (α > 0), u ₁ debe ser negativo, ya que u ₂ es positivo por definición y su suma es negativa; por lo tanto, la órbita es una hipérbola. Naturalmente, si no hay ninguna fuerza presente (α=0), la órbita es una línea recta.

La ecuación de Binet para u ( φ ) se puede resolver numéricamente para casi cualquier fuerza central F (1/ u ). Sin embargo, solo un puñado de fuerzas dan como resultado fórmulas para u en términos de funciones conocidas. Como se derivó anteriormente, la solución para φ se puede expresar como una integral sobre u$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$$

Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración se puede resolver en términos de funciones conocidas.

Si la fuerza es una ley de potencias, es decir, si F ( r ) = αr ⁿ , entonces u puede expresarse en términos de funciones circulares y/o elípticas si n es igual a 1, −2, −3 (funciones circulares) y −7, −5, −4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, −1/3, −5/3 y −7/3 (funciones elípticas). ^{[ 27 ]} De manera similar, solo seis posibles combinaciones lineales de leyes de potencias dan soluciones en términos de funciones circulares y elípticas ^{[ 28 ] [ 29 ]}$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}}$$

Los siguientes casos especiales de los dos primeros tipos de fuerza siempre dan como resultado funciones circulares. $${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br}$$$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}}$$

Newton mencionó este caso especial en el corolario 1 de la proposición VII de los principia, como la fuerza implícita en las órbitas circulares que pasan por el punto de atracción.$${\displaystyle F(r)=Ar^{-5}}$$

El término r ⁻³ aparece en todas las leyes de fuerza anteriores, lo que indica que la adición de la fuerza inversamente proporcional al cubo no influye en la solubilidad del problema en términos de funciones conocidas. Newton demostró que, con ajustes en las condiciones iniciales, la adición de dicha fuerza no afecta el movimiento radial de la partícula, pero multiplica su movimiento angular por un factor constante k . Mahomed y Vawda descubrieron una extensión del teorema de Newton en el año 2000. ^{[ 29 ]}

Supongamos que una partícula se mueve bajo una fuerza central arbitraria F ₁ ( r ), y denotemos su radio r y ángulo azimutal φ como r ( t ) y φ ₁ ( t ) en función del tiempo t . Ahora consideremos una segunda partícula con la misma masa m que comparte el mismo movimiento radial r ( t ), pero cuya velocidad angular es k veces mayor que la de la primera partícula. En otras palabras, los ángulos azimutales de las dos partículas están relacionados por la ecuación φ ₂ ( t ) = k  φ ₁ ( t ). Newton demostró que la fuerza que actúa sobre la segunda partícula es igual a la fuerza F ₁ ( r ) que actúa sobre la primera partícula, más una fuerza central inversa al cubo ^{[ 30 ]} donde L ₁ es la magnitud del momento angular de la primera partícula . $${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$$

Si k ² es mayor que uno, F ₂ − F ₁ es un número negativo; por lo tanto, la fuerza inversa del cubo sumada es atractiva . Por el contrario, si k ² es menor que uno, F ₂ − F ₁ es un número positivo; la fuerza inversa del cubo sumada es repulsiva . Si k es un número entero como 3, se dice que la órbita de la segunda partícula es un armónico de la órbita de la primera partícula; por el contrario, si k es el inverso de un número entero , como 1/3 , se dice que la segunda órbita es un subarmónico de la primera órbita.

El problema clásico de la fuerza central fue resuelto geométricamente por Isaac Newton en su obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , en la que introdujo sus leyes del movimiento . Newton utilizó un equivalente de la integración por saltos para convertir el movimiento continuo en uno discreto, de modo que se pudieran aplicar métodos geométricos. En este enfoque, la posición de la partícula se considera solo en puntos de tiempo igualmente espaciados. A modo de ejemplo, la partícula en la Figura 10 se encuentra en el punto A en el instante t  = 0, en el punto B en el instante t  = Δt , en el punto C en el instante t  = 2Δt , y así sucesivamente para todos los instantes t  =  nΔt , donde n es un número entero. Se supone que la velocidad es constante entre estos puntos de tiempo. Por lo tanto, el vector rAB = _{rB − rA} es _igual a  Δt  veces  el  vector de _{velocidad vAB} ( línea roja ) , mientras que _rBC = rC  −  _rB  es  igual a _vBCΔt ( _{línea azul} ). Dado que la velocidad es constante entre puntos, se supone que la fuerza actúa instantáneamente en cada nueva posición; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre la partícula en el punto B cambia instantáneamente la velocidad de v _AB a v _BC . El vector diferencia Δ r  =  r _BC  −  r _AB es igual a Δ v Δ t (línea verde), donde Δ v  =  v _BC  −  v _AB es el cambio de velocidad resultante de la fuerza en el punto B. Dado que la aceleración a es paralela a Δ v y dado que F  =  m a , la fuerza F debe ser paralela a Δ v y Δ r . Si F es una fuerza central, debe ser paralela al vector r _B desde el centro O hasta el punto B (línea verde discontinua); en ese caso, Δ r también es paralelo a r _B..

Si no actúa ninguna fuerza en el punto B , la velocidad permanece constante y la partícula llega al punto K en el instante t  = 2Δt . Las áreas de los triángulos OAB y OBK son iguales, ya que comparten la misma base ( r _AB ) y altura ( r _⊥ ). Si Δr es paralelo a r _B , los triángulos OBK y OBC también son iguales, puesto que comparten la misma base ( r _B ) y la altura permanece constante. En ese caso, las áreas de los triángulos OAB y OBC son iguales, y la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales. Por el contrario, si las áreas de todos estos triángulos son iguales, entonces Δr debe ser paralelo a r _B , de donde se deduce que F es una fuerza central. Por lo tanto, una partícula barre áreas iguales en tiempos iguales si y solo si F es una fuerza central.

La fórmula para la fuerza radial también se puede obtener utilizando la mecánica lagrangiana . En coordenadas polares, el lagrangiano L de una sola partícula en un campo de energía potencial U ( r ) viene dado por $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-U(r)}$$

Entonces las ecuaciones de movimiento de Lagrange toman la forma ya que la magnitud F ( r ) de la fuerza radial es igual a la derivada negativa de la energía potencial U ( r ) en la dirección radial. $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}}$$$${\displaystyle m{\ddot {r}}=mr{\dot {\varphi }}^{2}-{\frac {dU}{dr}}={\frac {mh^{2}}{r^{3}}}+F(r)}$$

La fórmula de la fuerza radial también puede derivarse utilizando la mecánica hamiltoniana . En coordenadas polares, el hamiltoniano se puede escribir como $${\displaystyle H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)}$$

Dado que el ángulo azimutal φ no aparece en el hamiltoniano, su momento conjugado p _φ es una constante del movimiento. Este momento conjugado es la magnitud L del momento angular, como se muestra en la ecuación de movimiento del hamiltoniano para φ.$${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {p_{\varphi }}{mr^{2}}}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$

La ecuación de movimiento correspondiente para r es $${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}={\frac {p_{r}}{m}}}$$

Tomando la segunda derivada de r con respecto al tiempo y utilizando la ecuación de movimiento de Hamilton para p _r se obtiene la ecuación de fuerza radial. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}={\frac {{\dot {p}}_{r}}{m}}&=-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\partial H}{\partial r}}\right)\\[1ex]&={\frac {p_{\varphi }^{2}}{m^{2}r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {dU}{dr}}\\[1ex]&={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}+{\frac {1}{m}}F(r)\end{aligned}}}$$

La ecuación orbital se puede derivar directamente de la ecuación de Hamilton-Jacobi . ^{[ 31 ]} Adoptando la distancia radial r y el ángulo azimutal φ como coordenadas, la ecuación de Hamilton-Jacobi para un problema de fuerza central se puede escribir donde S = S _φ ( φ ) + S _r ( r ) − E _tot t es la función principal de Hamilton , y E _tot y t representan la energía total y el tiempo, respectivamente. Esta ecuación se puede resolver mediante integraciones sucesivas de ecuaciones diferenciales ordinarias , comenzando con la ecuación φ donde p _φ es una constante del movimiento igual a la magnitud del momento angular L . Por lo tanto, S _φ ( φ ) = Lφ y la ecuación de Hamilton-Jacobi se convierte en $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left({\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}\right)^{2}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$$${\displaystyle {\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}=p_{\varphi }=L}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$

Integrando esta ecuación para S _r se obtiene $${\displaystyle S_{r}(r)={\sqrt {2m}}\int dr{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}$$

Al derivar S con respecto a L, se obtiene la ecuación orbital derivada anteriormente. $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}&={\frac {\partial S}{\partial L}}={\frac {\partial S_{\varphi }}{\partial L}}+{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}\\[2ex]&=\varphi -{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}\end{aligned}}}$$

• Geodésicas de Schwarzschild , el análogo en la relatividad general.
• Partícula en un potencial de simetría esférica , el análogo en mecánica cuántica.
• Átomo similar al hidrógeno : el problema de Kepler en mecánica cuántica.
• Potencial inverso al cuadrado

• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Landau, LD y Lifshitz, EM (1976). Mecánica . Curso de Física Teórica (3.ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. ISBN 0-08-029141-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Misner, CW , Thorne, K. y Wheeler, JA (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Sommerfeld, A. (1970). Mecánica . Lecciones de física teórica . Vol. I (4.ª ed.). Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-12-654670-5.
• Symon KR (1971). Mecánica (3.ª ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Whittaker, ET (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de tres cuerpos (4.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-521-35883-5.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

• Problemas de fuerza central de dos cuerpos por DE Gary del Instituto Tecnológico de Nueva Jersey
• Movimiento en un campo de fuerza central. Archivado el 21/09/2018 en Wayback Machine por A. Brizard del Saint Michael's College.
• Movimiento bajo la influencia de una fuerza central, por GW Collins, II de la Universidad Case Western Reserve.
• Videoconferencia de WHG Lewin del Instituto Tecnológico de Massachusetts.