Problema del cuadrado inscrito

Arnold Emch ( 1916 ) demostró que las curvas analíticas por partes siempre tienen cuadrados inscritos. En particular, esto es cierto para los polígonos. La demostración de Emch considera las curvas trazadas por los puntos medios de los segmentos de recta secantes a la curva, paralelos a una recta dada. Demuestra que, cuando estas curvas se intersecan con las curvas generadas de la misma manera para una familia perpendicular de secantes, hay un número impar de intersecciones. Por lo tanto, siempre existe al menos una intersección que forma el centro de un rombo inscrito en la curva dada. Al rotar continuamente las dos rectas perpendiculares un ángulo recto y aplicar el teorema del valor intermedio , demuestra que al menos uno de estos rombos es un cuadrado. ^{[ 6 ]} 

Stromquist ha demostrado que toda curva plana simple monótona local admite un cuadrado inscrito. ^{[ 7 ]} La condición para que ocurra la admisión es que para cualquier punto p , la curva C debe estar representada localmente como la gráfica de una función${\displaystyle y=f(x)}$.

En términos más precisos, para cualquier punto dado${\displaystyle p}$en${\displaystyle C}$, hay un vecindario${\displaystyle U(p)}$y una dirección fija${\displaystyle n(p)}$(la dirección de la “${\displaystyle y}$-eje”) de tal manera que ninguna cuerda de${\displaystyle C}$-en este vecindario- es paralelo a${\displaystyle n(p)}$.

Las curvas localmente monótonas incluyen todos los tipos de polígonos, todas las curvas convexas cerradas y todas las curvas a trozos. ${\displaystyle C^{1}}$curvas sin cúspides .

Una condición aún más débil sobre la curva que la monotonicidad local es que, para algún${\displaystyle \varepsilon >0}$, la curva no tiene ningún trapecio especial inscrito de tamaño${\displaystyle \varepsilon }$Un trapecio especial es un trapecio isósceles con tres lados iguales, cada uno más largo que el cuarto lado, inscrito en la curva con un orden de vértices consistente con el orden en sentido horario de la propia curva. Su tamaño es la longitud de la parte de la curva que se extiende alrededor de los tres lados iguales. Aquí, esta longitud se mide en el dominio de una parametrización fija de${\displaystyle C}$, como${\displaystyle C}$Puede que no sea rectificable . En lugar de un argumento de límite, la demostración se basa en la teoría de obstrucción relativa . Esta condición es abierta y densa en el espacio de todas las curvas de Jordan con respecto a la topología compacta-abierta . En este sentido, el problema del cuadrado inscrito se resuelve para curvas genéricas . ^{[ 6 ]}

Si una curva de Jordan está inscrita en un anillo cuyo radio exterior es como máximo${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$Si se multiplica su radio interior por un cuadrado de su radio interior y se dibuja de tal manera que separe el círculo interior del anillo del círculo exterior, entonces contiene un cuadrado inscrito. En este caso, si la curva dada se aproxima mediante alguna curva bien comportada, entonces cualquier cuadrado grande que contenga el centro del anillo y esté inscrito en la aproximación está topológicamente separado de los cuadrados inscritos más pequeños que no contienen el centro. El límite de una secuencia de cuadrados grandes debe ser nuevamente un cuadrado grande, en lugar de un punto degenerado, por lo que se puede utilizar el argumento del límite. ^{[ 6 ]}

La respuesta afirmativa también se conoce para curvas con simetría central, incluso fractales como el copo de nieve de Koch , y curvas con simetría reflectante a través de una línea. ^{[ 8 ]}

En 2017, Terence Tao publicó una demostración de la existencia de un cuadrado en curvas formadas por la unión de las gráficas de dos funciones, ambas con el mismo valor en los extremos de las curvas y ambas que cumplen una condición de continuidad de Lipschitz con constante de Lipschitz menor que uno. Tao también formuló varias conjeturas relacionadas . ^{[ 9 ]} En 2024, Joshua Greene y Andrew Lobb publicaron una preimpresión que mejora este resultado a curvas con constante de Lipschitz menor que uno.${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$. ^{[ 10 ]}

En marzo de 2022, Gregory R. Chambers demostró que si${\displaystyle \gamma }$es una curva de Jordan que está cerca de una${\displaystyle C^{2}}$Curva de Jordan${\displaystyle \beta }$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, entonces${\displaystyle \gamma }$contiene un cuadrado inscrito. Demostró que, si${\displaystyle \kappa >0}$es la curvatura máxima sin signo de${\displaystyle \beta }$y hay un mapa${\displaystyle f}$de la imagen de${\displaystyle \gamma }$a la imagen de${\displaystyle \beta }$con${\displaystyle \|f(x)-x\|<1/10\kappa }$y${\displaystyle f\circ \gamma }$con número de bobinado${\displaystyle 1}$, entonces${\displaystyle \gamma }$tiene un cuadrado inscrito de lado positivo. ^{[ 11 ]}