Cuadrado inscrito en un triángulo

En geometría elemental , un cuadrado inscrito en un triángulo es un cuadrado cuyos cuatro vértices se encuentran sobre un triángulo dado . Según el principio del palomar , dos de los vértices del cuadrado, y la arista que los une, deben estar sobre uno de los lados del triángulo. Por ejemplo, en el triángulo de Calabi que se muestra, el cuadrado con lados horizontales y verticales está inscrito; los otros dos cuadrados de la figura no lo están.

Este es un caso especial del problema del cuadrado inscrito que pide un cuadrado cuyos vértices se encuentren en una curva cerrada simple . Sin embargo, aunque el problema del cuadrado inscrito permanece sin resolver en general, se sabe que tiene una solución para cada polígono y para cada conjunto convexo , ^{[ 1 ] [ 2 ]} dos casos especiales que se aplican a los triángulos. Cada triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos, uno sobre cada uno de sus tres lados. En un triángulo rectángulo hay dos cuadrados inscritos, uno que toca el ángulo recto del triángulo y el otro que se encuentra en el lado opuesto. Un triángulo obtusángulo tiene solo un cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo. ^{[ 3 ]} El triángulo de Calabi , un triángulo obtusángulo, comparte con el triángulo equilátero la propiedad de tener tres formas diferentes de colocar el cuadrado más grande que cabe en él, pero (debido a que es obtusángulo) solo una de estas tres está inscrita. ^{[ 4 ]}

Un cuadrado inscrito puede cubrir como máximo la mitad del área del triángulo en el que está inscrito. ^{[ 3 ]} Es exactamente la mitad cuando el triángulo tiene un lado cuya altura (la distancia perpendicular desde el lado al vértice opuesto) es igual a la longitud del lado, y cuando el cuadrado está inscrito con su arista sobre este lado del triángulo. En todos los demás casos, el cuadrado inscrito es menor que la mitad del triángulo. Para un cuadrado que se encuentra sobre un lado de un triángulo de longitud${\displaystyle s}$, con altitud${\displaystyle h}$, la longitud del lado del cuadrado será ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {sh}{s+h}}.}$$De esta fórmula se deduce que, para cualesquiera dos cuadrados inscritos en un triángulo, el cuadrado que se encuentra en el lado más largo del triángulo tendrá un área menor. ^{[ 5 ]} En un triángulo acutángulo, los tres cuadrados inscritos tienen longitudes de lado que están todas dentro de un factor de$${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}\approx 0.94}$$del otro. ^{[ 7 ]}