Código gris

Los códigos binarios reflejados se aplicaban a acertijos matemáticos antes de que los ingenieros los conocieran.

El código Gray reflejado binario representa el esquema subyacente del clásico rompecabezas chino de anillos , un mecanismo de rompecabezas mecánico secuencial descrito por el francés Louis Gros en 1872. ^{[ 24 ] [ 11 ]}

Puede servir como guía de solución para el problema de las Torres de Hanoi , basado en un juego del francés Édouard Lucas en 1883. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} De manera similar, las configuraciones de los juegos denominados Torres de Bucarest y Torres de Klagenfurt producen códigos Gray ternarios y pentarios . ^{[ 29 ]}

Martin Gardner escribió un relato divulgativo del código Gray en su columna "Juegos matemáticos" de agosto de 1972 en Scientific American . ^{[ 30 ]}

El código también forma un ciclo hamiltoniano en un grafo hipercubo de longitud${\displaystyle 2^{d}.}$^{[ 31 ]}

Cuando el ingeniero francés Émile Baudot cambió de usar un código de 6 unidades (6 bits) a un código de 5 unidades para su sistema de telégrafo impreso , en 1875 ^{[ 32 ]} o 1876, ^{[ 33 ] [ 34 ]} ordenó los caracteres alfabéticos en su rueda de impresión usando un código binario reflejado y asignó los códigos usando solo tres de los bits a las vocales. Con las vocales y consonantes ordenadas alfabéticamente y otros símbolos colocados adecuadamente, el código de caracteres de 5 bits ha sido reconocido como un código binario reflejado. ^{[ 11 ]} Este código se conoció como código Baudot ^{[ 35 ]} y, con cambios menores, finalmente fue adoptado como Alfabeto Telegráfico Internacional n.° 1 (ITA1, CCITT-1) en 1932. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

Casi al mismo tiempo, el germano-austríaco Otto Schäffler ^{[ 39 ]} demostró otro telégrafo impresor en Viena utilizando un código binario reflejado de 5 bits para el mismo propósito, en 1874. ^{[ 40 ] [ 11 ]}

Frank Gray , famoso por inventar el método de señalización que posteriormente se utilizó en la televisión en color compatible, ideó un método para convertir señales analógicas en grupos de código binario reflejado mediante un aparato basado en tubos de vacío . Presentado en 1947, el método y el aparato fueron patentados en 1953, ^{[ 12 ]} y el nombre de Gray quedó asociado a los códigos. El aparato de " tubo PCM " patentado por Gray fue fabricado por Raymond W. Sears de Bell Labs, en colaboración con Gray y William M. Goodall, quien reconoció a Gray la idea del código binario reflejado. ^{[ 41 ]}

Gray estaba muy interesado en utilizar los códigos para minimizar los errores en la conversión de señales analógicas a digitales; sus códigos todavía se utilizan hoy en día con este propósito.

Los códigos Gray se utilizan en codificadores de posición lineales y rotativos ( codificadores absolutos y de cuadratura ) en lugar de la codificación binaria ponderada. Esto evita la posibilidad de que, cuando cambian varios bits en la representación binaria de una posición, se produzca una lectura errónea debido a que algunos bits cambian antes que otros.

Por ejemplo, algunos codificadores rotativos cuentan con un disco que presenta un patrón de código Gray conductor en anillos concéntricos (pistas). Cada pista tiene un contacto de resorte metálico fijo que proporciona contacto eléctrico al patrón de código conductor. En conjunto, estos contactos generan señales de salida en forma de código Gray. Otros codificadores emplean mecanismos sin contacto, basados ​​en sensores ópticos o magnéticos, para generar las señales de salida del código Gray.

Independientemente del mecanismo o la precisión de un codificador móvil, pueden producirse errores de medición de posición en puntos específicos (en los límites del código) debido a que este puede estar cambiando en el preciso instante de su lectura (muestreo). Un código de salida binario podría causar errores significativos en la medición de posición, ya que es imposible que todos los bits cambien exactamente al mismo tiempo. Si, en el momento del muestreo, algunos bits han cambiado y otros no, la posición muestreada será incorrecta. En el caso de los codificadores absolutos, la posición indicada puede estar muy alejada de la posición real y, en el caso de los codificadores incrementales, esto puede afectar negativamente al seguimiento de la posición.

En cambio, el código Gray utilizado por los codificadores de posición garantiza que los códigos de dos posiciones consecutivas cualesquiera difieran en un solo bit y, por consiguiente, solo un bit puede cambiar a la vez. En este caso, el error máximo de posición será pequeño, lo que indica una posición adyacente a la posición real.

Debido a las propiedades de distancia de Hamming de los códigos Gray, a veces se utilizan en algoritmos genéticos . ^{[ 13 ]} Pueden ser útiles en este campo porque las mutaciones en el código permiten cambios mayormente incrementales, pero ocasionalmente un solo cambio de bit puede causar un gran salto y conducir a nuevas propiedades.

Los códigos Gray también se utilizan para etiquetar los ejes de los mapas de Karnaugh desde 1953 ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} así como en los gráficos circulares de Händler desde 1958, ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} ambos métodos gráficos para la minimización de circuitos lógicos .

En las comunicaciones digitales modernas , los códigos Gray 1D y 2D desempeñan un papel importante en la prevención de errores antes de aplicar la corrección de errores . Por ejemplo, en un esquema de modulación digital como QAM, donde los datos se transmiten típicamente en símbolos de 4 bits o más, el diagrama de constelación de la señal se organiza de manera que los patrones de bits transmitidos por puntos de constelación adyacentes difieren en un solo bit. Al combinar esto con la corrección de errores hacia adelante , capaz de corregir errores de un solo bit, es posible que un receptor corrija cualquier error de transmisión que provoque que un punto de constelación se desvíe hacia el área de un punto adyacente. Esto hace que el sistema de transmisión sea menos susceptible al ruido .

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  Códigos 4-PSK
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  Códigos 8-PSK
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  Códigos 16-QAM

Los diseñadores de lógica digital utilizan ampliamente los códigos Gray para transmitir información de conteo de múltiples bits entre lógica síncrona que opera a diferentes frecuencias de reloj. Se considera que la lógica opera en diferentes "dominios de reloj". Esto es fundamental para el diseño de chips de gran tamaño que operan con múltiples frecuencias de reloj.

Si un sistema debe recorrer secuencialmente todas las combinaciones posibles de estados de encendido/apagado de un conjunto de controles, y los cambios en dichos controles implican un coste considerable (por ejemplo, tiempo, desgaste, mano de obra), un código Gray minimiza el número de cambios de configuración a un solo cambio por cada combinación de estados. Un ejemplo sería probar un sistema de tuberías para todas las combinaciones de configuraciones de sus válvulas de accionamiento manual.

Se puede construir un código Gray balanceado ^{[ 49 ]} que invierte cada bit con la misma frecuencia. Dado que las inversiones de bits se distribuyen uniformemente, esto es óptimo de la siguiente manera: los códigos Gray balanceados minimizan la cantidad máxima de inversiones de bits para cada dígito.

Es posible construir códigos Gray binarios con n bits de longitud menor a ²ⁿ , si la longitud es par. Una posibilidad es comenzar con un código Gray balanceado y eliminar pares de valores al principio y al final, o en el medio. ^{[ 58 ]} La secuencia OEIS A290772 ^{[ 59 ]} proporciona el número de posibles secuencias Gray de longitud 2n que incluyen el cero y utilizan el número mínimo de bits.

Además del código Gray binario reflejado, existen muchos tipos especializados de códigos Gray. Un ejemplo es el código Gray n -ario , también conocido como código Gray no booleano . Como su nombre indica, este tipo de código Gray utiliza valores no booleanos en su codificación.

Por ejemplo, un código Gray ternario ( o de orden 3 ) usaría los valores 0, 1, 2. [ ^{29 ] El} código Gray ( n , k ) es el código Gray n -ario con k dígitos. ^{[ 60 ]} La secuencia de elementos en el código Gray (3, 2) es: 00, 01 , 02, 12, 11, 10, 20, 21, 22. El código Gray ( n , k ) puede construirse recursivamente, como el BRGC, o puede construirse iterativamente . Se presenta un algoritmo para generar iterativamente el código Gray ( N , k ) (en C ):    

// entradas: base, dígitos, valor // salida: Gray // Convierte un valor a un código Gray con la base y los dígitos dados. // Iterar a través de una secuencia de valores daría como resultado una secuencia // de códigos Gray en la que solo cambia un dígito a la vez. void toGray ( unsigned base , unsigned digits , unsigned value , unsigned gray [ digits ]) { unsigned baseN [ digits ]; // Almacena el número base-N ordinario, un dígito por entrada unsigned i ; // La variable del bucle // Coloca el número baseN normal en el array baseN. Para la base 10, 109 // se almacenaría como [9,0,1] for ( i = 0 ; i < digits ; i ++ ) { baseN [ i ] = valor % base ; valor = valor / base ; } // Convierte el número baseN normal en el equivalente del código Gray. Ten en cuenta que // el bucle comienza en el dígito más significativo y baja. unsigned shift = 0 ; while ( i -- ) { // El dígito Gray se desplaza hacia abajo por la suma de los dígitos superiores. gray [ i ] = ( baseN [ i ] + shift ) % base ; shift = shift + base - gray [ i ]; // Restar de la base para que shift sea positivo } } // EJEMPLOS // entrada: valor = 1899, base = 10, dígitos = 4 // salida: baseN[] = [9,9,8,1], gray[] = [0,1,7,1] // entrada: valor = 1900, base = 10, dígitos = 4 // salida: baseN[] = [0,0,9,1], gray[] = [0,1,8,1]

Existen otros algoritmos de código Gray para códigos Gray ( n , k ). El código Gray ( n , k ) generado por el algoritmo anterior es siempre cíclico; algunos algoritmos, como el de Guan, ^{[ 60 ]} carecen de esta propiedad cuando k es impar. Por otro lado, si bien con este método solo cambia un dígito a la vez, puede cambiar mediante un bucle (de n − 1 a 0). En el algoritmo de Guan, el contador aumenta y disminuye alternativamente, de modo que la diferencia numérica entre dos dígitos del código Gray es siempre uno.    

Los códigos Gray no están definidos de forma unívoca, ya que una permutación de las columnas de dicho código también constituye un código Gray. El procedimiento anterior genera un código en el que, cuanto menor sea la importancia de un dígito, mayor será su frecuencia de cambio, lo que lo asemeja a los métodos de conteo convencionales.

Véase también Sistema de numeración binario sesgado , una variante del sistema de numeración ternario donde como máximo dos dígitos cambian en cada incremento, ya que cada incremento se puede realizar con como máximo una operación de acarreo de dígitos.

Aunque el código Gray binario reflejado es útil en muchos escenarios, no es óptimo en ciertos casos debido a una falta de "uniformidad". ^{[ 49 ]} En los códigos Gray balanceados , el número de cambios en diferentes posiciones de coordenadas es lo más cercano posible. Para ser más precisos, sea G un ciclo Gray completo R -ario con secuencia de transición${\displaystyle (\delta _{k})}$; los recuentos de transición ( espectro ) de G son la colección de enteros definidos por

$${\displaystyle \lambda _{k}=|\{j\in \mathbb {Z} _{R^{n}}:\delta _{j}=k\}|\,,{\text{ para }}k\in \mathbb {Z} _{n}}$$

Un código Gray es uniforme o uniformemente equilibrado si todos sus recuentos de transición son iguales, en cuyo caso tenemos${\displaystyle \lambda _{k}={\tfrac {R^{n}}{n}}}$para todo k . Claramente, cuando${\displaystyle R=2}$, tales códigos existen solo si n es una potencia de 2. ^{[ 61 ]} Si n no es una potencia de 2, es posible construir códigos binarios bien equilibrados donde la diferencia entre dos recuentos de transición es como máximo 2; de modo que (combinando ambos casos) cada recuento de transición es o${\displaystyle 2\left\lfloor {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rfloor }$o${\displaystyle 2\left\lceil {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rceil }$. ^{[ 49 ]} Los códigos Gray también pueden estar equilibrados exponencialmente si todos sus recuentos de transición son potencias adyacentes de dos, y tales códigos existen para cada potencia de dos. ^{[ 62 ]}

Por ejemplo, un código Gray de 4 bits equilibrado tiene 16 transiciones, que se pueden distribuir uniformemente entre las cuatro posiciones (cuatro transiciones por posición), lo que lo hace uniformemente equilibrado: ^{[ 49 ]}

mientras que un código Gray equilibrado de 5 bits tiene un total de 32 transiciones, que no se pueden distribuir uniformemente entre las posiciones. En este ejemplo, cuatro posiciones tienen seis transiciones cada una, y una tiene ocho: ^{[ 49 ]}

Ahora mostraremos una construcción ^{[ 63 ]} e implementación ^{[ 64 ]} para códigos Gray binarios bien balanceados que nos permite generar un código Gray balanceado de n dígitos para cada n . El principio principal es construir inductivamente un código Gray de ( n  + 2) dígitos. ${\displaystyle G'}$dado un código Gray de n dígitos G de tal manera que se preserve la propiedad de equilibrio. Para ello, consideramos particiones de${\displaystyle G=g_{0},\ldots ,g_{2^{n}-1}}$en un número par L de bloques no vacíos de la forma

$${\displaystyle \left\{g_{0}\right\},\left\{g_{1},\ldots ,g_{k_{2}}\right\},\left\{g_{k_{2}+1},\ldots ,g_{k_{3}}\right\},\ldots ,\left\{g_{k_{L-2}+1},\ldots ,g_{-2}\right\},\left\{g_{-1}\right\}}$$

dónde${\displaystyle k_{1}=0}$,${\displaystyle k_{L-1}=-2}$, y${\displaystyle k_{L}\equiv -1{\pmod {2^{n}}}}$). Esta partición induce una${\displaystyle (n+2)}$-código Gray de dígitos dado por

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathtt {00}}g_{0},\\&{\mathtt {00}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{2}},{\mathtt {01}}g_{k_{2}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{1},{\mathtt {11}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{2}},\\&{\mathtt {11}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{3}},{\mathtt {01}}g_{k_{3}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{k_{2}+1},{\mathtt {00}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{3}},\ldots ,\\&{\mathtt {00}}g_{-2},{\mathtt {00}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-2},\ldots ,{\mathtt {10}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{0}\end{aligned}}}$$

Si definimos las multiplicidades de transición

$${\displaystyle m_{i}=\left|\left\{j:\delta _{k_{j}}=i,1\leq j\leq L\right\}\right|}$$

Si el número de veces que el dígito en la posición i cambia entre bloques consecutivos en una partición, entonces para el código Gray de ( n  + 2) dígitos inducido por esta partición el espectro de transición ${\displaystyle \lambda '_{i}}$es

$${\displaystyle \lambda '_{i}={\begin{cases}4\lambda _{i}-2m_{i},&{\text{if }}0\leq i<n\\L,&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$

La parte delicada de esta construcción consiste en encontrar una partición adecuada de un código Gray balanceado de n dígitos de tal manera que el código inducido por él permanezca balanceado, pero para esto solo importan las multiplicidades de transición; unir dos bloques consecutivos en un dígito${\displaystyle i}$transición y división de otro bloque en otro dígito${\displaystyle i}$La transición produce un código Gray diferente con exactamente el mismo espectro de transición.${\displaystyle \lambda '_{i}}$, así que uno puede, por ejemplo ^{[ 62 ]} designar el primero${\displaystyle m_{i}}$transiciones en el dígito${\displaystyle i}$como aquellos que caen entre dos bloques. Los códigos uniformes se pueden encontrar cuando${\displaystyle R\equiv 0{\pmod {4}}}$y${\displaystyle R^{n}\equiv 0{\pmod {n}}}$, y esta construcción también puede extenderse al caso R -ario. ^{[ 63 ]}

Los códigos Gray de larga duración (o de intervalo máximo ) maximizan la distancia entre cambios consecutivos de dígitos en la misma posición. Es decir, la longitud mínima de cualquier bit permanece sin cambios durante el mayor tiempo posible. ^{[ 65 ]}

Los códigos monótonos son útiles en la teoría de redes de interconexión, especialmente para minimizar la dilatación en arreglos lineales de procesadores. ^{[ 66 ]} Si definimos el peso de una cadena binaria como el número de 1s en la cadena, entonces, aunque claramente no podemos tener un código Gray con un peso estrictamente creciente, podemos aproximarlo haciendo que el código recorra dos pesos adyacentes antes de llegar al siguiente.

Podemos formalizar el concepto de códigos Gray monótonos de la siguiente manera: consideremos la partición del hipercubo.${\displaystyle Q_{n}=(V_{n},E_{n})}$en niveles de vértices que tienen igual peso, es decir

$${\displaystyle V_{n}(i)=\{v\in V_{n}:v{\text{ has weight }}i\}}$$

para${\displaystyle 0\leq i\leq n}$Estos niveles satisfacen${\displaystyle |V_{n}(i)|=\textstyle {\binom {n}{i}}}$. Dejar${\displaystyle Q_{n}(i)}$sea ​​el subgrafo de${\displaystyle Q_{n}}$inducido por${\displaystyle V_{n}(i)\cup V_{n}(i+1)}$y dejar${\displaystyle E_{n}(i)}$ser los bordes en${\displaystyle Q_{n}(i)}$. Un código Gray monótono es entonces un camino hamiltoniano en${\displaystyle Q_{n}}$de tal manera que siempre${\displaystyle \delta _{1}\in E_{n}(i)}$viene antes${\displaystyle \delta _{2}\in E_{n}(j)}$en el camino, entonces${\displaystyle i\leq j}$.

Una elegante construcción de códigos Gray monótonos de n dígitos para cualquier n se basa en la idea de construir subrutas recursivamente.${\displaystyle P_{n,j}}$de longitud${\displaystyle 2\textstyle {\binom {n}{j}}}$tener bordes en${\displaystyle E_{n}(j)}$. ^{[ 66 ]} Definimos${\displaystyle P_{1,0}=({\mathtt {0}},{\mathtt {1}})}$,${\displaystyle P_{n,j}=\emptyset }$cuando sea${\displaystyle j<0}$o${\displaystyle j\geq n}$, y

$${\displaystyle P_{n+1,j}={\mathtt {1}}P_{n,j-1}^{\pi _{n}},{\mathtt {0}}P_{n,j}}$$

de lo contrario. Aquí,${\displaystyle \pi _{n}}$es una permutación adecuadamente definida y${\displaystyle P^{\pi }}$se refiere al camino P con sus coordenadas permutadas por${\displaystyle \pi }$Estos caminos dan lugar a dos códigos Gray monótonos de n dígitos.${\displaystyle G_{n}^{(1)}}$y${\displaystyle G_{n}^{(2)}}$dado por

$${\displaystyle G_{n}^{(1)}=P_{n,0}P_{n,1}^{R}P_{n,2}P_{n,3}^{R}\cdots {\text{ and }}G_{n}^{(2)}=P_{n,0}^{R}P_{n,1}P_{n,2}^{R}P_{n,3}\cdots }$$

La elección de${\displaystyle \pi _{n}}$lo que garantiza que estos códigos sean realmente códigos Gray resulta ser${\displaystyle \pi _{n}=E^{-1}\left(\pi _{n-1}^{2}\right)}$. Los primeros valores de${\displaystyle P_{n,j}}$se muestran en la tabla a continuación.

Estos códigos Gray monótonos se pueden implementar de manera eficiente, de modo que cada elemento subsiguiente se pueda generar en tiempo O ( n ). El algoritmo se describe más fácilmente usando corrutinas .

Los códigos monótonos tienen una conexión interesante con la conjetura de Lovász , que afirma que todo grafo conexo transitivo en vértices contiene un camino hamiltoniano. El subgrafo de "nivel medio"${\displaystyle Q_{2n+1}(n)}$es transitivo en vértices (es decir, su grupo de automorfismos es transitivo, de modo que cada vértice tiene el mismo "entorno local" y no se puede diferenciar de los demás, ya que podemos renombrar las coordenadas, así como los dígitos binarios, para obtener un automorfismo ) y el problema de encontrar un camino hamiltoniano en este subgrafo se denomina "problema de niveles intermedios", que puede proporcionar información sobre la conjetura más general. La pregunta ha sido respondida afirmativamente para${\displaystyle n\leq 15}$y la construcción anterior para códigos monótonos asegura un camino hamiltoniano de longitud al menos 0,839 ‍ N , donde N es el número de vértices en el subgrafo de nivel medio. ^{[ 67 ]}

Otro tipo de código Gray, el código Beckett-Gray , recibe su nombre del dramaturgo irlandés Samuel Beckett , quien estaba interesado en la simetría . Su obra " Quad " presenta a cuatro actores y está dividida en dieciséis períodos de tiempo. Cada período termina con uno de los cuatro actores entrando o saliendo del escenario. La obra comienza y termina con un escenario vacío, y Beckett quería que cada subconjunto de actores apareciera en el escenario exactamente una vez. ^{[ 68 ]} Claramente, el conjunto de actores que se encuentran actualmente en el escenario puede representarse mediante un código Gray binario de 4 bits. Sin embargo, Beckett impuso una restricción adicional al guion: deseaba que los actores entraran y salieran de manera que el actor que hubiera estado en el escenario durante más tiempo fuera siempre el que saliera. Los actores podrían entonces representarse mediante una cola FIFO , de modo que (de los actores en el escenario) el actor que se extrae de la cola es siempre el que se encoló primero. ^{[ 68 ]} Beckett no pudo encontrar un código Beckett-Gray para su obra, y de hecho, una lista exhaustiva de todas las secuencias posibles revela que no existe tal código para n = 4. Hoy se sabe que tales códigos sí existen para n = 2, 5, 6, 7 y 8, y no existen para n = 3 o 4. Un ejemplo de un código Beckett-Gray de 8 bits se puede encontrar en El arte de la programación de computadoras de Donald Knuth . ^{[ 11 ]} Según Sawada y Wong, el espacio de búsqueda para n = 6 se puede explorar en 15 horas, y másSe han encontrado 9500 soluciones para el caso n = 7. ^{[ 69 ]}

Los códigos de serpiente en la caja , o serpientes , son secuencias de nodos de caminos inducidos en un grafo hipercubo n- dimensional , y los códigos de bobina en la caja, ^{[ 70 ]} o bobinas , son secuencias de nodos de ciclos inducidos en un hipercubo. Vistas como códigos Gray, estas secuencias tienen la propiedad de poder detectar cualquier error de codificación de un solo bit. Los códigos de este tipo fueron descritos por primera vez por William H. Kautz a finales de la década de 1950; ^{[ 3 ]} desde entonces, se ha investigado mucho sobre cómo encontrar el código con el mayor número posible de palabras clave para una dimensión de hipercubo dada.

Otro tipo de código Gray es el código Gray de pista única (STGC), desarrollado por Norman B. Spedding ^{[ 71 ] [ 72 ]} y refinado por Hiltgen, Paterson y Brandestini en Single-track Gray Codes (1996). ^{[ 73 ] [ 74 ]} El STGC es una lista cíclica de P codificaciones binarias únicas de longitud n, de modo que dos palabras consecutivas difieren en exactamente una posición, y cuando la lista se examina como una matriz P  × n , cada columna es un desplazamiento cíclico de la primera columna. ^{[ 75 ]} 

El nombre proviene de su uso con codificadores rotativos , donde varios contactos detectan diferentes pistas, generando una salida de 0 o 1 para cada una . Para reducir el ruido causado por la conmutación no simultánea de los distintos contactos, se recomienda configurar las pistas de manera que los datos emitidos por los contactos estén en código Gray. Para obtener una alta precisión angular, se necesitan muchos contactos; para lograr una precisión de al menos 1°, se requieren al menos 360 posiciones distintas por revolución, lo que exige un mínimo de 9 bits de datos y, por lo tanto, el mismo número de contactos.

Si todos los contactos se colocan en la misma posición angular, se necesitan 9 pistas para obtener un BRGC estándar con una precisión de al menos 1°. Sin embargo, si el fabricante mueve un contacto a una posición angular diferente (pero a la misma distancia del eje central), el patrón de anillos correspondiente debe girarse el mismo ángulo para obtener la misma salida. Si el bit más significativo (el anillo interior en la Figura 1) gira lo suficiente, coincide exactamente con el siguiente anillo. Dado que ambos anillos son idénticos, se puede recortar el anillo interior y mover el sensor correspondiente al anillo restante, que es idéntico (pero desplazado en ese ángulo con respecto al otro sensor de ese anillo). Estos dos sensores en un solo anillo forman un codificador de cuadratura. Esto reduce el número de pistas para un codificador angular con una resolución de 1° a 8 pistas. No es posible reducir aún más el número de pistas con BRGC.

Durante muchos años, Torsten Sillke ^{[ 76 ]} y otros matemáticos creyeron que era imposible codificar la posición en una sola pista de manera que las posiciones consecutivas difirieran en un solo sensor, excepto con el codificador de cuadratura de 2 sensores y 1 pista. Por lo tanto, para aplicaciones donde 8 pistas eran demasiado voluminosas, se utilizaron codificadores incrementales de una sola pista (codificadores de cuadratura) o codificadores de 2 pistas de "codificador de cuadratura + muesca de referencia".

Norman B. Spedding, sin embargo, registró una patente en 1994 con varios ejemplos que demostraban que era posible. ^{[ 71 ]} Aunque no es posible distinguir 2 ⁿ posiciones con n sensores en una sola pista, es posible distinguir cerca de esa cantidad. Etzion y Paterson conjeturan que cuando n es una potencia de 2, n sensores pueden distinguir como máximo 2 ⁿ  −  2 n posiciones y que para n primo el límite es 2 ⁿ  −  2 posiciones. ^{[ 77 ]} Los autores procedieron a generar un código de pista única de 504 posiciones de longitud 9 que creen que es óptimo. Dado que este número es mayor que 2 ⁸  =  256, se requieren más de 8 sensores para cualquier código, aunque un BRGC podría distinguir 512 posiciones con 9 sensores.

Aquí se reproduce un STGC para P  =  30 y n  = 5: 

Cada columna es un desplazamiento cíclico de la primera columna, y de cualquier fila a la siguiente solo cambia un bit. ^{[ 78 ]} La naturaleza de pista única (como una cadena de código) es útil en la fabricación de estas ruedas (en comparación con BRGC), ya que solo se necesita una pista, lo que reduce su costo y tamaño. La naturaleza del código Gray es útil (en comparación con los códigos de cadena , también llamados secuencias de De Bruijn ), ya que solo un sensor cambiará en cualquier momento, por lo que la incertidumbre durante una transición entre dos estados discretos será solo más o menos una unidad de medición angular que el dispositivo es capaz de resolver. ^{[ 79 ]}

Desde que se añadió este ejemplo de 30 grados, ha habido mucho interés en ejemplos con mayor resolución angular. En 2008, Gary Williams, ^{[ 80 ]} basándose en trabajos previos, ^{[ 77 ]} descubrió un código Gray de una sola pista de 9 bits que proporciona una resolución de 1 grado. Este código Gray se utilizó para diseñar un dispositivo real que se publicó en el sitio Thingiverse . Este dispositivo ^{[ 81 ]} fue diseñado por etzenseep (Florian Bauer) en septiembre de 2022.

Aquí se reproduce un STGC para P  =  360 y n  = 9: 

Los códigos Gray bidimensionales se utilizan en comunicación para minimizar el número de errores de bits en la modulación de amplitud en cuadratura (QAM) entre puntos adyacentes de la constelación . En una codificación típica, los puntos adyacentes horizontales y verticales de la constelación difieren en un bit, y los puntos adyacentes diagonales difieren en dos bits. ^{[ 82 ]}

Los códigos Gray bidimensionales también se utilizan en esquemas de identificación de ubicaciones , donde el código se aplicaría a mapas de área como una proyección Mercator de la superficie terrestre y se usaría una función de distancia bidimensional cíclica apropiada, como la métrica de Mannheim, para calcular la distancia entre dos ubicaciones codificadas, combinando así las características de la distancia de Hamming con la continuación cíclica de una proyección Mercator. ^{[ 83 ]}

Si se extrae una subsección de un valor de código específico, por ejemplo, los últimos 3 bits de un código Gray de 4 bits, el código resultante será un "código Gray excedente". Este código muestra la propiedad de contar hacia atrás en los bits extraídos si el valor original se incrementa aún más. Esto se debe a que los valores codificados en Gray no presentan el comportamiento de desbordamiento, conocido en la codificación binaria clásica, al superar el valor máximo.

Ejemplo: El código Gray de 3 bits más alto, 7, se codifica como (0)100. Al sumarle 1, se obtiene el número 8, codificado en Gray como 1100. Los últimos 3 bits no se desbordan y cuentan hacia atrás si se incrementa aún más el código original de 4 bits.

Cuando se trabaja con sensores que emiten múltiples valores codificados en Gray de forma secuencial, se debe prestar atención a si el sensor produce esos múltiples valores codificados en un solo código Gray o como códigos separados, ya que de lo contrario los valores podrían parecer que se cuentan hacia atrás cuando se espera un "desbordamiento".