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Potencial gravitatorio

En mecánica clásica , el potencial gravitatorio es un potencial escalar que asocia a cada punto del espacio el trabajo ( energía transferida) por unidad de masa que se necesitar...

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En mecánica clásica , el potencial gravitatorio es un potencial escalar que asocia a cada punto del espacio el trabajo ( energía transferida) por unidad de masa que se necesitaría para mover un objeto desde un punto de referencia fijo en el campo gravitatorio conservativo hasta ese punto . Es análogo al potencial eléctrico, donde la masa desempeña el papel de carga . El punto de referencia, donde el potencial es cero, se encuentra, por convención, infinitamente lejos de cualquier masa, lo que resulta en un potencial negativo a cualquier distancia finita . Su similitud se correlaciona con el hecho de que ambos campos asociados poseen fuerzas conservativas .

Matemáticamente, el potencial gravitatorio también se conoce como potencial newtoniano y es fundamental en el estudio de la teoría del potencial . También puede utilizarse para resolver los campos electrostáticos y magnetostáticos generados por cuerpos elipsoidales uniformemente cargados o polarizados. [ 1 ]

Energía potencial

El potencial gravitatorio ( V ) en un lugar es la energía potencial gravitatoria ( U ) en ese lugar por unidad de masa:

V=Umetro,{\displaystyle V={\frac {U}{m}},}

donde m es la masa del objeto. La energía potencial es igual (en magnitud, pero negativa) al trabajo realizado por el campo gravitatorio al mover un cuerpo desde el infinito hasta su posición dada en el espacio. Si el cuerpo tiene una masa de 1 kilogramo, la energía potencial que se le asigna es igual al potencial gravitatorio. Por lo tanto, el potencial puede interpretarse como el negativo del trabajo realizado por el campo gravitatorio al mover una unidad de masa desde el infinito.

En algunas situaciones, las ecuaciones pueden simplificarse asumiendo un campo prácticamente independiente de la posición. Por ejemplo, en una región cercana a la superficie terrestre, la aceleración gravitatoria , g , puede considerarse constante. En ese caso, la diferencia de energía potencial entre dos alturas está, con buena aproximación, relacionada linealmente con la diferencia de altura. ΔU≈metrogramoΔh.{\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}

Forma matemática

El potencial gravitatorio V a una distancia x de una masa puntual de masa M se puede definir como el trabajo W que debe realizar un agente externo para traer una masa unitaria desde el infinito hasta ese punto: [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

V(incógnita)=Wmetro=1metro∫∞incógnitaF(incógnita′)⋅dincógnita′=1metro∫∞incógnitaGRAMOmetroMETROincógnita′2dincógnita′=−GRAMOMETROincógnita,{\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \left(\mathbf {x} '\right)\cdot d\mathbf {x} '={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x'^{2}}}dx'=-{\frac {GM}{x}},} donde G es la constante gravitacional y F es la fuerza gravitacional. El producto GM es el parámetro gravitacional estándar y suele conocerse con mayor precisión que G o M por separado. El potencial tiene unidades de energía por unidad de masa, por ejemplo, J/kg en el sistema MKS . Por convención, siempre es negativo donde se define y, a medida que x tiende a infinito, se aproxima a cero.

El campo gravitatorio , y por lo tanto la aceleración de un cuerpo pequeño en el espacio alrededor del objeto masivo, es el gradiente negativo del potencial gravitatorio. Por lo tanto, el negativo de un gradiente negativo produce una aceleración positiva hacia un objeto masivo. Debido a que el potencial no tiene componentes angulares, su gradiente es a=−GRAMOMETROincógnita3incógnita=−GRAMOMETROincógnita2incógnita^,{\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},} donde x es un vector de longitud x que apunta desde la masa puntual hacia el cuerpo pequeño yincógnita^{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}es un vector unitario que apunta desde la masa puntual hacia el cuerpo pequeño. Por lo tanto, la magnitud de la aceleración sigue una ley del inverso del cuadrado : ‖a‖=GRAMOMETROincógnita2.{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}

El potencial asociado a una distribución de masas es la superposición de los potenciales de masas puntuales. Si la distribución de masas es una colección finita de masas puntuales, y si las masas puntuales están ubicadas en los puntos x 1 , ..., x n y tienen masas m 1 , ..., m n , entonces el potencial de la distribución en el punto x es V(incógnita)=∑i=1norte−GRAMOmetroi‖incógnita−incógnitai‖.{\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}}.}

Puntos x y r , con r contenido en la masa distribuida (gris) y masa diferencial dm ( r ) ubicada en el punto r .

Si la distribución de masa se da como una medida de masa dm en el espacio euclidiano tridimensional R³ , entonces el potencial es la convolución de −G / | r | con dm . En buenos casos, esto es igual a la integral .V(incógnita)=−∫R3GRAMO‖incógnita−r‖dmetro(r),{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),} donde | x − r | es la distancia entre los puntos x y r . Si existe una función ρ ( r ) que representa la densidad de la distribución en r , de modo que dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) , donde dv ( r ) es el elemento de volumen euclidiano , entonces el potencial gravitatorio es la integral de volumen.V(incógnita)=−∫R3GRAMO‖incógnita−r‖ρ(r)dv(r).{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}

Si V es una función potencial que proviene de una distribución de masa continua ρ ( r ), entonces ρ puede recuperarse utilizando el operador de Laplace , Δ : ρ(incógnita)=14πGRAMOΔV(incógnita).{\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).} Esto se cumple puntualmente siempre que ρ sea continua y cero fuera de un conjunto acotado. En general, la medida de masa dm se puede recuperar de la misma manera si se toma el operador de Laplace en el sentido de las distribuciones . Como consecuencia, el potencial gravitatorio satisface la ecuación de Poisson . Véase también la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables y el potencial newtoniano .

La integral puede expresarse en términos de funciones trascendentales conocidas para todas las formas elipsoidales, incluidas las simétricas y las degeneradas. [ 6 ] Estas incluyen la esfera, donde los tres semiejes son iguales; los esferoides oblados (véase elipsoide de referencia ) y prolados, donde dos semiejes son iguales; los degenerados donde un semieje es infinito (el cilindro elíptico y circular) y la lámina no acotada donde dos semiejes son infinitos. Todas estas formas se utilizan ampliamente en las aplicaciones de la integral del potencial gravitatorio (aparte de la constante G , donde 𝜌 es una densidad de carga constante ) al electromagnetismo.

Simetría esférica

Una distribución de masa con simetría esférica se comporta, para un observador completamente fuera de la distribución, como si toda la masa estuviera concentrada en el centro, y por lo tanto, efectivamente como una masa puntual , según el teorema de la capa esférica . En la superficie de la Tierra, la aceleración viene dada por la llamada gravedad estándar g , aproximadamente 9,8  m/s² , aunque este valor varía ligeramente con la latitud y la altitud. La magnitud de la aceleración es un poco mayor en los polos que en el ecuador porque la Tierra es un esferoide achatado .

Dentro de una distribución de masa esféricamente simétrica, es posible resolver la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas . Dentro de un cuerpo esférico uniforme de radio R , densidad ρ y masa m , la fuerza gravitatoria g dentro de la esfera varía linealmente con la distancia r desde el centro, dando el potencial gravitatorio dentro de la esfera, que es [ 7 ] [ 8 ].V(r)=23πGRAMOρ[r2−3R2]=GRAMOmetro2R3[r2−3R2],r≤R,{\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,} que se conecta de manera diferenciada con la función potencial para el exterior de la esfera (véase la figura superior).

relatividad general

En la relatividad general , el potencial gravitatorio se reemplaza por el tensor métrico . Cuando el campo gravitatorio es débil y las fuentes se mueven muy lentamente en comparación con la velocidad de la luz, la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana, y el tensor métrico puede expandirse en términos del potencial gravitatorio. [ 9 ]

expansión multipolar

El potencial en un punto x viene dado por V(incógnita)=−∫R3GRAMO|incógnita−r| dmetro(r).{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}

Ilustración de una distribución de masa (gris) con el centro de masa como origen de los vectores x y r y el punto en el que se calcula el potencial en la cabeza del vector x .

El potencial se puede expandir en una serie de polinomios de Legendre . Representamos los puntos x y r como vectores de posición relativos al centro de masa . El denominador en la integral se expresa como la raíz cuadrada del cuadrado para dar V(incógnita)=−∫R3GRAMO|incógnita|2−2incógnita⋅r+|r|2dmetro(r)=−1|incógnita|∫R3GRAMO1−2r|incógnita|porque⁡θ+(r|incógnita|)2dmetro(r){\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}} donde, en la última integral, r = | r | y θ es el ángulo entre x y r .

(Véase §  Forma matemática .) El integrando puede expandirse como una serie de Taylor en Z = r / | x | , mediante el cálculo explícito de los coeficientes. Una forma menos laboriosa de obtener el mismo resultado es utilizando el teorema generalizado del binomio . [ 10 ] La serie resultante es la función generatriz de los polinomios de Legendre: (1−2incógnitaZ+Z2)−12 =∑norte=0∞ZnortePAGnorte(incógnita){\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)} válido para | X | ≤ 1 y | Z | < 1 . Los coeficientes P n son los polinomios de Legendre de grado n . Por lo tanto, los coeficientes de Taylor del integrando vienen dados por los polinomios de Legendre en X = cos θ . Así pues, el potencial puede expandirse en una serie que converge para posiciones x tales que r < | x | para todos los elementos de masa del sistema (es decir, fuera de una esfera, centrada en el centro de masa, que encierra el sistema): V(incógnita)=−GRAMO|incógnita|∫∑norte=0∞(r|incógnita|)nortePAGnorte(porque⁡θ)dmetro(r)=−GRAMO|incógnita|∫(1+(r|incógnita|)porque⁡θ+(r|incógnita|)23porque2⁡θ−12+⋯)dmetro(r){\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}} El integral∫rporque⁡(θ)dmetro{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}es la componente del centro de masa en la dirección x ; esta se anula porque el vector x emana del centro de masa. Por lo tanto, al poner la integral bajo el signo de la sumatoria se obtiene V(incógnita)=−GRAMOMETRO|incógnita|−GRAMO|incógnita|∫(r|incógnita|)23porque2⁡θ−12dmetro(r)+⋯{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }

Esto demuestra que el alargamiento del cuerpo provoca un potencial menor en la dirección de alargamiento y un potencial mayor en las direcciones perpendiculares, en comparación con el potencial debido a una masa esférica, si comparamos casos con la misma distancia al centro de masa. (Si comparamos casos con la misma distancia a la superficie , ocurre lo contrario).

Unidades y valores numéricos

La unidad del SI para el potencial gravitatorio es el metro cuadrado por segundo cuadrado (m² / s² ) o, equivalentemente, el julio por kilogramo (J/kg). El valor absoluto del potencial gravitatorio en varias ubicaciones con respecto a la masa de la Tierra , el Sol y la Vía Láctea se da en la siguiente tabla; es decir, un objeto en la superficie de la Tierra necesitaría 60  MJ/kg para "abandonar" el campo gravitatorio de la Tierra , otros 900  MJ/kg para abandonar también el campo gravitatorio del Sol y más de 130  GJ/kg para abandonar el campo gravitatorio de la Vía Láctea. El potencial es la mitad del cuadrado de la velocidad de escape .

Compara la gravedad en estos lugares .

Véase también

Notas

  1. ↑ Solivérez, CE (2016). Electrostática y magnetostática de cuerpos elipsoidales polarizados: el método del tensor de despolarización (1.ª  ed. en inglés). Free Scientific Information. ISBN 978-987-28304-0-3.
  2. ↑ Marion, JB; Thornton, ST (1995). Dinámica clásica de partículas y sistemas (4.ª ed.). Harcourt Brace & Company. pág . 192. ISBN   0-03-097302-3.
  3. ↑ Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). Métodos matemáticos para físicos: Edición internacional para estudiantes (6.ª ed.). Academic Press . pág. 72. ISBN   978-0-08-047069-6.
  4. ↑ Sang, David; Jones, Graham; Chadha, Gurinder; Woodside, Richard; Stark, Will; Gill, Aidan (2014). Cambridge International AS and A Level Physics Coursebook ( edición ilustrada). Cambridge University Press . pág. 276. ISBN   978-1-107-69769-0.
  5. ↑ Muncaster, Roger (1993). Física de nivel avanzado ( edición ilustrada). Nelson Thornes . pág. 106. ISBN   978-0-7487-1584-8.
  6. ↑ MacMillan, WD (1958). La teoría del potencial . Dover Press.
  7. ↑ Lowrie, William Lowrie (2011). Guía para estudiantes de ecuaciones geofísicas . Cambridge University Press. pág. 69. ISBN  978-1-139-49924-8.Extracto de la página 68
  8. ↑ Sánchez-Lavega, Agustín (2011). Introducción a las atmósferas planetarias ( edición ilustrada). CRC Press. pág. 19. ISBN   978-1-4200-6735-4.Extracto de la página 19
  9. ↑ Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007), La teoría general de la relatividad de Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología , Springer Science & Business Media, pág. 201, ISBN  978-0-387-69200-5
  10. ↑ Wylie, CR Jr. (1960). Matemáticas avanzadas para ingeniería (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . pág. 454 [Teorema 2, Sección 10.8].  

Referencias

  • Vladimirov, V.S. (1971), Ecuaciones de física matemática . Traducido del ruso por Audrey Littlewood. Editado por Alan Jeffrey. Matemáticas puras y aplicadas, vol.  3, Nueva York: Marcel Dekker Inc., MR 0268497. .
  • Wang, WX (1988). "El potencial de un esferoide homogéneo en un sistema de coordenadas esferoidales. I. En un punto exterior". J. Phys. A: Math. Gen. 21 ( 22): 4245– 4250. Bibcode : 1988JPhA...21.4245W . doi : 10.1088/0305-4470/21/22/026 .
  • Milon, T. (1990). "Una nota sobre el potencial de un elipsoide homogéneo en coordenadas elipsoidales". J. Phys. A: Math. Gen . 23 (4): 581– 584. doi : 10.1088/0305-4470/23/4/027 .
  • Rastall, Peter (1991). Postprincipia: Gravitación para físicos y astrónomos . World Scientific . pp.  7 y ss. ISBN 981-02-0778-6.
  • Conway, John T. (2000). "Soluciones exactas para el potencial gravitatorio de una familia de esferoides heterogéneos" . Mon. Not. R. Astron. Soc . 316 (3): 555– 558. Bibcode : 2000MNRAS.316..555C . doi : 10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x .
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  • Charles D. Ghilani (28 de noviembre de 2006). "El campo gravitatorio de la Tierra" . Programa de Ingeniería Topográfica de Penn State. Archivado del original el 18 de julio de 2011. Consultado el 25 de marzo de 2009 .
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