álgebra geométrica

Orientación definida por un conjunto ordenado de vectores.

La orientación invertida corresponde a negar el producto exterior.

Interpretación geométrica del grado-${\displaystyle n}$elementos en un álgebra exterior real para${\displaystyle n=0}$(punto con signo),${\displaystyle 1}$(segmento de línea dirigido o vector),${\displaystyle 2}$(elemento plano orientado),${\displaystyle 3}$(volumen orientado). El producto exterior de${\displaystyle n}$Los vectores se pueden visualizar como cualquier${\displaystyle n}$forma -dimensional ( por ejemplo${\displaystyle n}$-paralelotopo ,​​​${\displaystyle n}$- elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definida por la de su${\displaystyle (n-1)}$límite -dimensional y de qué lado está el interior. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Para vectores${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$Podemos escribir el producto geométrico de dos vectores cualesquiera .${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$como la suma de un producto simétrico y un producto antisimétrico:

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba).}$

Así podemos definir el producto interno de vectores como

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

de modo que el producto simétrico se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

Por el contrario ,${\displaystyle g}$Está completamente determinado por el álgebra. La parte antisimétrica es el producto exterior de los dos vectores, el producto del álgebra exterior contenida :

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

Luego, mediante una simple suma:

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$la forma no generalizada o vectorial del producto geométrico.

Los productos interno y externo están asociados con conceptos familiares del álgebra vectorial estándar. Geométricamente,${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son paralelas si su producto geométrico es igual a su producto escalar, mientras que${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son perpendiculares si su producto geométrico es igual a su producto exterior. En un álgebra geométrica para la cual el cuadrado de cualquier vector distinto de cero es positivo, el producto interno de dos vectores puede identificarse con el producto escalar del álgebra vectorial estándar. El producto exterior de dos vectores puede identificarse con el área con signo encerrada por un paralelogramo cuyos lados son los vectores. El producto vectorial de dos vectores en${\displaystyle 3}$Las dimensiones con forma cuadrática definida positiva están estrechamente relacionadas con su producto exterior.

La mayoría de las álgebras geométricas de interés poseen una forma cuadrática no degenerada. Si la forma cuadrática es completamente degenerada , el producto escalar de dos vectores cualesquiera es siempre cero, y el álgebra geométrica se reduce entonces a un álgebra exterior. Salvo que se indique lo contrario, este artículo tratará únicamente sobre álgebras geométricas no degeneradas.

El producto exterior se extiende naturalmente como un operador binario bilineal asociativo entre cualesquiera dos elementos del álgebra, satisfaciendo las identidades

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones de los índices, con${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$el signo de la permutación y${\displaystyle a_{i}}$son vectores (no elementos generales del álgebra). Dado que cada elemento del álgebra puede expresarse como la suma de productos de esta forma, esto define el producto exterior para cada par de elementos del álgebra. De la definición se deduce que el producto exterior forma un álgebra alternada .

La ecuación de estructura equivalente para el álgebra de Clifford es ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}\operatorname {Pf} (a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

dónde${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$es el Pfaffiano de ⁠${\displaystyle A}$y​${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$proporciona combinaciones ,​${\displaystyle \mu }$, de​${\displaystyle n}$índices divididos en${\displaystyle 2i}$y​​${\displaystyle n-2i}$partes y​${\displaystyle k}$es la paridad de la combinación .

El pfaffiano proporciona una métrica para el álgebra exterior y, como señaló Claude Chevalley, el álgebra de Clifford se reduce al álgebra exterior con una forma cuadrática cero. ^{[ 18 ]} El papel que desempeña el pfaffiano puede entenderse desde un punto de vista geométrico desarrollando el álgebra de Clifford a partir de símplices . ^{[ 19 ]} Esta derivación proporciona una mejor conexión entre el triángulo de Pascal y los símplices porque ofrece una interpretación de la primera columna de unos.

Un multivector que es el producto exterior de${\displaystyle r}$Los vectores linealmente independientes se denominan cuchillas y se dice que son de grado ⁠${\displaystyle r}$⁠ . ^{[ f ]} Un multivector que es la suma de palas de grado${\displaystyle r}$se denomina multivector (homogéneo) de grado${\displaystyle r}$⁠ . A partir de los axiomas, con cierre, todo multivector del álgebra geométrica es una suma de hojas.

Consideremos un conjunto de${\displaystyle r}$vectores linealmente independientes${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$abarcando un ⁠${\displaystyle r}$Subespacio de dimensión del espacio vectorial. Con estos, podemos definir una matriz simétrica real (de la misma manera que una matriz de Gram ).

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

Por el teorema espectral ,${\displaystyle \mathbf {A} }$se puede diagonalizar en una matriz diagonal${\displaystyle \mathbf {D} }$mediante una matriz ortogonal${\displaystyle \mathbf {O} }$a través de

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

Definir un nuevo conjunto de vectores${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$⁠ , conocidos como vectores base ortogonales, son aquellos transformados por la matriz ortogonal:

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

Dado que las transformaciones ortogonales preservan los productos internos, se deduce que${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$y por lo tanto el${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$son perpendiculares. En otras palabras, el producto geométrico de dos vectores distintos${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$está completamente especificado por su producto exterior, o más generalmente

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

Por lo tanto, cada hoja de grado${\displaystyle r}$puede escribirse como el producto exterior de${\displaystyle r}$vectores. De manera más general, si se permite un álgebra geométrica degenerada, entonces la matriz ortogonal se reemplaza por una matriz de bloques que es ortogonal en el bloque no degenerado, y la matriz diagonal tiene entradas de valor cero a lo largo de las dimensiones degeneradas. Si los nuevos vectores del subespacio no degenerado se normalizan según

${\displaystyle {\widehat {e_{i}}}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

entonces estos vectores normalizados deben ser cuadrados${\displaystyle +1}$o​${\displaystyle -1}$⁠ . Según la ley de inercia de Sylvester , el número total de ⁠${\displaystyle +1}$y el número total de${\displaystyle -1}$⁠ s a lo largo de la matriz diagonal es invariante. Por extensión, el número total${\displaystyle p}$de estos vectores que al cuadrado${\displaystyle +1}$y el número total${\displaystyle q}$ese cuadrado a${\displaystyle -1}$es invariante. (El número total de vectores base que al cuadrado se anula también es invariante, y puede ser distinto de cero si se permite el caso degenerado). Denotamos esta álgebra ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$⁠ . Por ejemplo,${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$modelos de espacio euclidiano tridimensional ,${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$espaciotiempo relativista y${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$un álgebra geométrica conforme de un espacio tridimensional.

El conjunto de todos los productos posibles de${\displaystyle n}$Vectores base ortogonales con índices en orden creciente, incluyendo${\displaystyle 1}$como producto vacío , forma una base para toda el álgebra geométrica (un análogo del teorema PBW ). Por ejemplo, lo siguiente es una base para el álgebra geométrica ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$:​

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

Una base formada de esta manera se llama base estándar para el álgebra geométrica, y cualquier otra base ortogonal para${\displaystyle V}$producirá otra base estándar. Cada base estándar consta de${\displaystyle 2^{n}}$elementos. Todo multivector del álgebra geométrica puede expresarse como una combinación lineal de los elementos de la base estándar. Si los elementos de la base estándar son${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$con${\displaystyle S}$siendo un conjunto de índices, entonces el producto geométrico de dos multivectores cualesquiera es

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

La terminología "${\displaystyle k}$-vector" se encuentra a menudo para describir multivectores que contienen elementos de un solo grado. En el espacio de dimensiones superiores, algunos de estos multivectores no son cuchillas (no se pueden factorizar en el producto exterior de${\displaystyle k}$vectores). A modo de ejemplo,${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$en${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$no se puede factorizar; sin embargo, normalmente, tales elementos del álgebra no se prestan a la interpretación geométrica como objetos, aunque pueden representar cantidades geométricas como rotaciones. Solo${\displaystyle 0}$- ,​${\displaystyle 1}$- ,​${\displaystyle (n-1)}$- y​${\displaystyle n}$-Los vectores siempre son cuchillas en${\displaystyle n}$-espacio .

A​${\displaystyle k}$-versor es un multivector que puede expresarse como el producto geométrico de${\displaystyle k}$vectores invertibles. ^{[ g ] [ 21 ]} Los cuaterniones unitarios (originalmente llamados versores por Hamilton) pueden identificarse con rotores en el espacio 3D de forma muy similar a como los rotores 2D reales engloban los números complejos; para más detalles, véase Dorst. ^{[ 22 ]}

Algunos autores utilizan el término "producto versor" para referirse al caso frecuente en el que un operando se encuentra "intercalado" entre operadores. Las descripciones de rotaciones y reflexiones, incluyendo sus morfismos externos, son ejemplos de este tipo de intercalación. Estos morfismos externos tienen una forma algebraica particularmente simple. ^{[ h ]} Específicamente, una aplicación de vectores de la forma

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$se extiende al morfismo externo${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

Dado que tanto los operadores como los operandos son versores, existe la posibilidad de ejemplos alternativos, como la rotación de un rotor o la reflexión de un espinor, siempre que se pueda atribuir algún significado geométrico o físico a dichas operaciones.

Según el teorema de Cartan-Dieudonné, toda isometría puede expresarse como reflexiones en hiperplanos, y dado que las reflexiones compuestas proporcionan rotaciones, entonces las transformaciones ortogonales son versores.

En términos de grupo, para un grupo real y no degenerado${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$⁠ , habiendo identificado al grupo${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$como el grupo de todos los elementos invertibles de ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}}$⁠ , Lundholm da una prueba de que el "grupo de versores"${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}\mid v_{i}\in V^{\times }\}}$(el conjunto de versores invertibles) es igual al grupo de Lipschitz.${\displaystyle \Gamma }$( también conocido como grupo Clifford, aunque Lundholm desaprueba este uso). ^{[ 23 ]}

Denotamos la involución de grado como ⁠${\displaystyle {\widehat {S}}}$y reversión como${\displaystyle {\widetilde {S}}}$.​

Aunque el grupo Lipschitz (definido como ⁠${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$) y el grupo versor (definido como${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$⁠ ) ​​tienen definiciones divergentes, son el mismo grupo. Lundholm define el ⁠${\displaystyle \operatorname {Pin} }$,​​${\displaystyle \operatorname {Spin} }$y​​${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$subgrupos del grupo de Lipschitz . ^{[ 24 ]}

Múltiples análisis de espinores utilizan GA como representación. ^{[ 25 ]}

A​${\displaystyle \mathbb {Z} }$- La estructura de espacio vectorial graduado se puede establecer en un álgebra geométrica mediante el uso del producto exterior que es inducido naturalmente por el producto geométrico.

Dado que el producto geométrico y el producto exterior son iguales en vectores ortogonales, esta graduación se puede construir convenientemente utilizando una base ortogonal .${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$.​

Elementos del álgebra geométrica que son múltiplos escalares de${\displaystyle 1}$son de grado${\displaystyle 0}$y se denominan escalares . Elementos que se encuentran en el espacio generado por${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$son de grado${\displaystyle 1}$y son los vectores ordinarios. Elementos en el espacio generado por${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$son de grado${\displaystyle 2}$y son los bivectores. Esta terminología continúa hasta el último grado de${\displaystyle n}$-vectores . Alternativamente ,${\displaystyle n}$Los vectores se denominan pseudoescalares . ${\displaystyle (n-1)}$Los vectores se denominan pseudovectores, etc. Muchos de los elementos del álgebra no se clasifican según este esquema, ya que son sumas de elementos de distinto grado. Dichos elementos se denominan de grado mixto . La clasificación de los multivectores es independiente de la base elegida inicialmente.

Esta es una calificación como espacio vectorial, pero no como álgebra. Porque el producto de un ⁠${\displaystyle r}$-hoja y un${\displaystyle s}$-la hoja está contenida en el tramo de${\displaystyle 0}$a través de${\displaystyle r+s}$-blades , el álgebra geométrica es un álgebra filtrada .

Un multivector${\displaystyle A}$puede descomponerse con el operador de proyección de grado ⁠${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$⁠ , que produce el grado- ⁠${\displaystyle r}$⁠ porción de ⁠${\displaystyle A}$⁠ . Como resultado:

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

Como ejemplo, el producto geométrico de dos vectores.${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$desde${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$y${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$y​${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$, para${\displaystyle i}$otro que${\displaystyle 0}$y​${\displaystyle 2}$.​

Un multivector${\displaystyle A}$También se puede descomponer en componentes pares e impares, que se pueden expresar respectivamente como la suma de los componentes pares y la suma de los componentes impares mencionados anteriormente:

${\displaystyle A^{[0]}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{[1]}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

Este es el resultado de olvidar la estructura de un ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} }$- espacio vectorial graduado a${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$- espacio vectorial graduado . El producto geométrico respeta esta graduación más gruesa. Por lo tanto ,además de ser un${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$- espacio vectorial graduado , elálgebra geométrica es un${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$- álgebra graduada , también conocidacomo superálgebra .

Restringiéndonos a la parte par, el producto de dos elementos pares también es par. Esto significa que los multivectores pares definen una subálgebra par . La subálgebra par de un${\displaystyle n}$El álgebra geométrica de dimensión - es algebraicamente isomorfa (sin preservar ni la filtración ni la graduación) a un álgebra geométrica completa de${\displaystyle (n-1)}$dimensiones. Los ejemplos incluyen${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$y​${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$.​

El álgebra geométrica representa subespacios de${\displaystyle V}$como cuchillas, y por lo tanto coexisten en la misma álgebra con vectores de ⁠${\displaystyle V}$. A​${\displaystyle k}$Subespacio de -dimensiones${\displaystyle W}$de${\displaystyle V}$se representa tomando una base ortogonal${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$y utilizando el producto geométrico para formar la hoja .${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$⁠ . Hay varias hojas que representan ⁠${\displaystyle W}$; todos aquellos que representan${\displaystyle W}$son múltiplos escalares de ⁠${\displaystyle D}$⁠ . Estas cuchillas se pueden separar en dos conjuntos: múltiplos positivos de${\displaystyle D}$y múltiplos negativos de ⁠${\displaystyle D}$⁠ . Los múltiplos positivos de${\displaystyle D}$Se dice que tienen la misma orientación que ⁠${\displaystyle D}$⁠ , y los múltiplos negativos de la orientación opuesta .

Las cuchillas son importantes ya que las operaciones geométricas como proyecciones, rotaciones y reflexiones dependen de la factorabilidad a través del producto exterior que (la clase restringida de )${\displaystyle n}$-las cuchillas proporcionan pero (la clase generalizada de) grado-${\displaystyle n}$⁠ Los multivectores no lo hacen cuando ⁠${\displaystyle n\geq 4}$.​

Los pseudoescalares unitarios son elementos que desempeñan funciones importantes en GA. Un pseudoescalar unitario para un subespacio no degenerado${\displaystyle W}$de${\displaystyle V}$es una hoja que es el producto de los miembros de una base ortonormal para${\displaystyle W}$⁠ . Se puede demostrar que si${\displaystyle I}$y${\displaystyle I'}$son ambos pseudoescalares unitarios para${\displaystyle W}$, entonces${\displaystyle I=\pm I'}$y​${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$⁠ . Si no se elige una base ortonormal para ⁠${\displaystyle W}$⁠ , entonces la incrustación de Plücker da un vector en el álgebra exterior pero solo hasta cierto escalado. Usando el isomorfismo de espacio vectorial entre el álgebra geométrica y el álgebra exterior, esto da la clase de equivalencia de${\displaystyle \alpha I}$para todos${\displaystyle \alpha \neq 0}$⁠ . La ortonormalidad elimina esta ambigüedad excepto para los signos anteriores.

Supongamos que el álgebra geométrica${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$con el familiar producto interno definido positivo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se forma. Dado un plano (subespacio bidimensional) de ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ , se puede encontrar una base ortonormal${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$abarcando el plano, y así encontrar un pseudoescalar unitario${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$representando este plano. El producto geométrico de dos vectores cualesquiera en el espacio generado por${\displaystyle b_{1}}$y${\displaystyle b_{2}}$se encuentra en${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$⁠ , es decir, es la suma de un ⁠${\displaystyle 0}$-vector y un${\displaystyle 2}$-vector .

Por las propiedades del producto geométrico ,${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$⁠ . La semejanza con la unidad imaginaria no es incidental: el subespacio${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$es​${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebra isomorfa a los números complejos . De esta manera, una copia de los números complejos se incrusta en el álgebra geométrica para cada subespacio bidimensional de${\displaystyle V}$en la que la forma cuadrática es definida.

A veces es posible identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Dichas unidades surgen de una de las muchas cantidades en el álgebra real que al cuadrado se obtiene ⁠${\displaystyle -1}$, y estos tienen significado geométrico debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus diversos subespacios.

En​${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ , se presenta otro caso familiar. Dada una base estándar que consta de vectores ortonormales${\displaystyle e_{i}}$de​${\displaystyle V}$⁠ , el conjunto de todos ⁠${\displaystyle 2}$-vectores es generado por

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

Etiquetar estos${\displaystyle i}$⁠ ,${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$(desviándonos momentáneamente de nuestra convención de mayúsculas), el subespacio generado por ⁠${\displaystyle 0}$-vectores y​${\displaystyle 2}$-vectores es exactamente${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$⁠ . Se observa que este conjunto es la subálgebra par de ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ , y además es isomorfo como un ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebra a los cuaterniones , otro sistema algebraico importante.

Es práctica común extender el producto exterior de vectores a toda el álgebra de multivectores. Esto se puede hacer mediante el uso del operador de proyección de grado mencionado anteriormente :

${\displaystyle A\wedge B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$  (el producto exterior )

Esta generalización es consistente con la definición anterior que involucra la antisimetrización. Otra generalización relacionada con el producto exterior es el producto conmutador:

${\displaystyle A\times B:={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)}$  (el producto conmutador )

El producto regresivo es el dual del producto exterior (que corresponde respectivamente a "encontrar" y "unir" en este contexto). ^{[ i ]} La especificación dual de elementos permite, para las palas ⁠${\displaystyle A_{r}}$y​​${\displaystyle B_{s}}$⁠ , la intersección (o encuentro) donde la dualidad debe tomarse en relación con una hoja que contiene ambos ⁠${\displaystyle A_{r}}$y​​${\displaystyle B_{s}}$( la hoja más pequeña de este tipo es la unión). ^{[ 27 ]}

${\displaystyle A_{r}\vee B_{s}:=((A_{r}I^{-1})\wedge (B_{s}I^{-1}))I}$

con​${\displaystyle I}$⁠ el pseudoescalar unitario del álgebra. El producto regresivo, al igual que el producto exterior, es asociativo. ^{[ 28 ]}

El producto escalar de vectores también puede generalizarse, pero de varias maneras no equivalentes. El artículo ( Dorst 2002 ) ofrece un análisis exhaustivo de diversos productos escalares desarrollados para álgebras geométricas y sus interrelaciones, y la notación se toma de allí. Muchos autores utilizan el mismo símbolo que para el producto escalar de vectores en su extensión elegida (por ejemplo, Hestenes y Perwass). No se ha establecido una notación consistente.

La extensión original de Hestenes define el producto interno (o producto escalar) como el grado más bajo del producto geométrico, excepto que cualquier parte escalar de los factores no contribuirá (el producto escalar de un multivector por un escalar es 0):

${\displaystyle A\cdot B:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$

La intención original era hacer${\displaystyle AB=A\cdot B+A\wedge B}$⁠ cierto para ⁠${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$escalares o vectores. Muchos autores no utilizan la restricción de${\displaystyle r\neq 0,s\neq 0}$en la definición, que es equivalente al producto "punto gordo" que se muestra a continuación.

Entre las distintas generalizaciones del producto interno en vectores se encuentran:

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$  (la contracción izquierda )

${\displaystyle A\mathbin {\lfloor } B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$  (la contracción correcta )

${\displaystyle A*B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{0}}$  (el producto escalar )

${\displaystyle A\bullet B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$  (el producto "(de puntos gruesos)") ^{[ j ]}

Dorst (2002) argumenta a favor del uso de contracciones en lugar del producto interno de Hestenes; son algebraicamente más regulares y tienen interpretaciones geométricas más claras. Varias identidades que incorporan las contracciones son válidas sin restricción de sus entradas. Por ejemplo,

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } B=(A\wedge (BI^{-1}))I}$

${\displaystyle A\mathbin {\lfloor } B=I((I^{-1}A)\wedge B)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\mathbin {\rfloor } C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\mathbin {\lfloor } B)*A}$

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } (B\mathbin {\rfloor } C)=(A\wedge B)\mathbin {\rfloor } C}$

${\displaystyle (A\mathbin {\rfloor } B)\mathbin {\lfloor } C=A\mathbin {\rfloor } (B\mathbin {\lfloor } C).}$

Entre los beneficios de usar la contracción izquierda como una extensión del producto interno en vectores se incluye que la identidad${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$se extiende a${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$para cualquier vector${\displaystyle a}$y multivector${\displaystyle B}$y que laoperación de proyección${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$se extiende a${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\mathbin {\rfloor } B^{-1})\mathbin {\rfloor } B}$para cualquier cuchilla${\displaystyle B}$y cualquier multivector${\displaystyle A}$(con una pequeña modificación para acomodar valores nulos )${\displaystyle B}$⁠ , que se indica a continuación ).

Dejar${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ser una base de${\displaystyle V}$⁠ , es decir, un conjunto de${\displaystyle n}$vectores linealmente independientes que abarcan el${\displaystyle n}$Espacio vectorial de -dimensiones${\displaystyle V}$⁠ . La base que es dual a${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$es el conjunto de elementos del espacio vectorial dual${\displaystyle V^{*}}$que forma un sistema biorthogonal con esta base, siendo así los elementos denotados${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$satisfactorio

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

dónde${\displaystyle \delta }$es el delta de Kronecker .

Dada una forma cuadrática no degenerada en ⁠${\displaystyle V}$⁠ ,${\displaystyle V^{*}}$se identifica naturalmente con${\displaystyle V}$⁠ , y la base dual puede considerarse como elementos de ⁠${\displaystyle V}$⁠ , pero en general no son el mismo conjunto que la base original.

Dado además un GA de ⁠${\displaystyle V}$⁠ , deja

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

sea ​​el pseudoescalar (que no necesariamente se eleva al cuadrado a ⁠${\displaystyle \pm 1}$) formado a partir de la base${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$⁠ . Los vectores de base dual se pueden construir como

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

donde el${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$denota que el${\displaystyle i}$El vector base n se omite del producto.

Una base dual también se conoce como base recíproca o marco recíproco.

Un uso importante de una base dual es separar vectores en componentes. Dado un vector ⁠${\displaystyle a}$, componentes escalares${\displaystyle a^{i}}$puede definirse como

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

en términos de qué${\displaystyle a}$se puede separar en componentes vectoriales como

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

También podemos definir componentes escalares.${\displaystyle a_{i}}$como

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

en términos de qué${\displaystyle a}$puede separarse en componentes vectoriales en términos de la base dual como

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

Una base dual, como se definió anteriormente para el subespacio vectorial de un álgebra geométrica, puede extenderse para cubrir todo el álgebra. ^{[ 29 ]} Para mayor concisión, utilizaremos una sola letra mayúscula para representar un conjunto ordenado de índices vectoriales. Es decir, escribiendo

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

donde​${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$⁠ , podemos escribir una hoja base como

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

La hoja recíproca correspondiente tiene los índices en orden inverso:

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

De forma similar al caso anterior con vectores, se puede demostrar que

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

dónde${\displaystyle *}$es el producto escalar.

Con${\displaystyle A}$un multivector, podemos definir componentes escalares como ^{[ 30 ]}

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

en términos de qué${\displaystyle A}$se puede separar en hojas componentes como

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

Alternativamente, podemos definir componentes escalares.

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

en términos de qué${\displaystyle A}$se puede separar en hojas componentes como

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

Aunque es más fácil trabajar con un versor porque se puede representar directamente en el álgebra como un multivector, los versores son un subgrupo de funciones lineales sobre multivectores, que aún se pueden usar cuando sea necesario. El álgebra geométrica de un ⁠${\displaystyle n}$El espacio vectorial de dimensión está generado por una base de${\displaystyle 2^{n}}$elementos. Si un multivector está representado por un${\displaystyle 2^{n}\times 1}$matriz columna real de coeficientes de una base del álgebra, entonces todas las transformaciones lineales del multivector pueden expresarse como la multiplicación de matrices por una${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$matriz real. Sin embargo, una transformación lineal tan general permite intercambios arbitrarios entre grados, como una "rotación" de un escalar en un vector, que no tiene una interpretación geométrica evidente.

Una transformación lineal general de vectores a vectores es de interés. Con la restricción natural de preservar el álgebra exterior inducida, el exteriormorfismo de la transformación lineal es la única extensión ^{[ k ]} del versor. Si${\displaystyle f}$es una función lineal que mapea vectores a vectores, entonces su exteriormorfismo es la función que obedece la regla

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

para una hoja, extendida a toda el álgebra a través de la linealidad.

La subálgebra par de${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$es isomorfo a los números complejos , como se puede ver escribiendo un vector${\displaystyle P}$en términos de sus componentes en una base ortonormal y multiplicando por la izquierda por el vector base ⁠${\displaystyle e_{1}}$⁠ , produciendo

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

donde nos identificamos${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$desde

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

De manera similar, la subálgebra par de${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$con base${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$es isomorfo a los cuaterniones como puede verse al identificar ⁠${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$⁠ ,${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$y​${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$.​

Cada álgebra asociativa tiene una representación matricial; al reemplazar los tres vectores base cartesianos por las matrices de Pauli se obtiene una representación de${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$:​

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Trazando el punto del " vector de Pauli " (una díada ):

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$con vectores arbitrarios${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$y multiplicando por da:

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$(De forma equivalente, mediante inspección ,${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$)​

En física, las principales aplicaciones son el álgebra geométrica del espaciotiempo de Minkowski 3+ 1 ,${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$⁠ , llamada álgebra espaciotemporal (STA), ^{[ 3 ]} o menos comúnmente, ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ , interpretó el álgebra del espacio físico (APS).

Mientras que en STA, los puntos del espacio-tiempo se representan simplemente mediante vectores, en APS, los puntos de ⁠${\displaystyle (3+1)}$En cambio, el espaciotiempo de -dimensiones se representa mediante paravectores , un vector tridimensional (espacio) más un escalar unidimensional (tiempo).

En el álgebra del espacio-tiempo, el tensor del campo electromagnético tiene una representación bivectorial .${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$⁠ . ^{[ 32 ]} Aquí, el${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$es la unidad pseudoescalar (o elemento de volumen de cuatro dimensiones),${\displaystyle \gamma _{0}}$es el vector unitario en la dirección del tiempo, y${\displaystyle E}$y${\displaystyle B}$son los vectores clásicos de campo eléctrico y magnético (con un componente de tiempo cero). Usando la teoría de cuatro corrientes${\displaystyle {J}}$⁠ , las ecuaciones de Maxwell se convierten entonces en

En cálculo geométrico, la yuxtaposición de vectores como en${\displaystyle DF}$indican el producto geométrico y se pueden descomponer en partes como${\displaystyle DF=D\cdot F+D\wedge F}$Aquí​${\displaystyle D}$es la derivada del covector en cualquier espaciotiempo y se reduce a${\displaystyle \nabla }$en el espacio-tiempo plano. Donde${\displaystyle \bigtriangledown }$desempeña un papel en Minkowski${\displaystyle 4}$-espacio -tiempo que es sinónimo del rol de${\displaystyle \nabla }$en euclidiano${\displaystyle 3}$-espacio y está relacionado con el d' Alembertiano por${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$⁠ . En efecto, dado un observador representado por un vector temporal que apunta hacia el futuro${\displaystyle \gamma _{0}}$tenemos

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

Los boosts en este espacio métrico lorentziano tienen la misma expresión${\displaystyle e^{\beta }}$como rotación en el espacio euclidiano, donde${\displaystyle {\beta }}$es el bivector generado por las direcciones del tiempo y del espacio involucradas, mientras que en el caso euclidiano es el bivector generado por las dos direcciones del espacio, lo que refuerza la "analogía" hasta casi la identidad.

Las matrices de Dirac son una representación de${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$⁠ , mostrando la equivalencia con las representaciones matriciales utilizadas por los físicos.

Los modelos homogéneos generalmente se refieren a una representación proyectiva en la que los elementos de los subespacios unidimensionales de un espacio vectorial representan puntos de una geometría.

En un álgebra geométrica de un espacio de${\displaystyle n}$dimensiones, los rotores representan un conjunto de transformaciones con${\displaystyle n(n-1)/2}$grados de libertad, correspondientes a rotaciones – por ejemplo,${\displaystyle 3}$cuando${\displaystyle n=3}$y${\displaystyle 6}$cuando​${\displaystyle n=4}$El álgebra geométrica se usa a menudo para modelar un espacio proyectivo , es decir , como un modelo homogéneo : un punto, una línea, un plano, etc., se representa mediante una clase de equivalencia de elementos del álgebra que difieren por un factor escalar invertible.

Los rotores en un espacio de dimensión${\displaystyle n+1}$tener$n(n-1)/2+n$grados de libertad, igual que el número de grados de libertad en las rotaciones y traslaciones combinadas para un ⁠${\displaystyle n}$espacio -dimensional .

Este es el caso en el Álgebra Geométrica Proyectiva (PGA), que se utiliza ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} para representar isometrías euclidianas en geometría euclidiana (cubriendo así la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería de la geometría). En este modelo, se agrega una dimensión degenerada a las tres dimensiones euclidianas para formar el álgebra ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$Con una identificación adecuada de subespacios para representar puntos, líneas y planos, los versores de esta álgebra representan todas las isometrías euclidianas propias, que siempre son movimientos helicoidales en el espacio tridimensional, junto con todas las isometrías euclidianas impropias, que incluyen reflexiones, rotaciones, transflexiones y reflexiones puntuales. PGA permite derivar fórmulas de proyección, intersección y ángulo a partir de${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$- Con una extensión muy pequeña del álgebra, también es posible derivar distancias y uniones.

PGA es un sistema ampliamente utilizado que combina el álgebra geométrica con representaciones homogéneas en geometría, pero existen otros sistemas similares. El modelo conforme que se analiza a continuación es homogéneo, al igual que el "Álgebra Geométrica Cónica" ^{[ 36 ].} Véase Álgebra geométrica basada en planos para un análisis de modelos homogéneos de geometría elíptica e hiperbólica en comparación con la geometría euclidiana derivada de PGA.

Trabajando dentro de GA, espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$(junto con un punto conforme en el infinito) está incrustado proyectivamente en el CGA${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$mediante la identificación de puntos euclidianos con subespacios 1D en el cono nulo 4D del subespacio vectorial CGA 5D. Esto permite realizar todas las transformaciones conformes como rotaciones y reflexiones, y es covariante , extendiendo las relaciones de incidencia de la geometría proyectiva a objetos redondos como círculos y esferas.

Específicamente, agregamos vectores base ortogonales${\displaystyle e_{+}}$y${\displaystyle e_{-}}$de tal manera que${\displaystyle e_{+}^{2}=+1}$y${\displaystyle e_{-}^{2}=-1}$a la base del espacio vectorial que genera${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$e identificar vectores nulos