teoría de gauge

La versión "covariante de gauge" de una teoría de gauge explica este efecto introduciendo un campo de gauge (en lenguaje matemático, una conexión de Ehresmann ) y formulando todas las tasas de cambio en términos de la derivada covariante con respecto a esta conexión. El campo de gauge se convierte en una parte esencial de la descripción de una configuración matemática. Una configuración en la que el campo de gauge puede eliminarse mediante una transformación de gauge tiene la propiedad de que su intensidad de campo (en lenguaje matemático, su curvatura ) es cero en todas partes; una teoría de gauge no se limita a estas configuraciones. En otras palabras, la característica distintiva de una teoría de gauge es que el campo de gauge no solo compensa una mala elección del sistema de coordenadas; generalmente no existe ninguna transformación de gauge que haga que el campo de gauge se anule.

Al analizar la dinámica de una teoría de gauge, el campo de gauge debe tratarse como una variable dinámica, similar a otros objetos en la descripción de una situación física. Además de su interacción con otros objetos a través de la derivada covariante, el campo de gauge generalmente aporta energía en forma de un término de "autoenergía". Las ecuaciones para la teoría de gauge se pueden obtener mediante:

• partiendo de un ansatz ingenuo sin el campo de gauge (en el que las derivadas aparecen en una forma "desnuda");
• enumerar aquellas simetrías globales de la teoría que pueden caracterizarse mediante un parámetro continuo (generalmente un equivalente abstracto de un ángulo de rotación);
• calcular los términos de corrección que resultan de permitir que el parámetro de simetría varíe de un lugar a otro; y
• reinterpretar estos términos de corrección como acoplamientos a uno o más campos de gauge, y dotar a estos campos de los términos de autoenergía y el comportamiento dinámico apropiados.

En este sentido, una teoría de gauge "extiende" una simetría global a una simetría local, y se asemeja mucho al desarrollo histórico de la teoría de gauge de la gravedad conocida como relatividad general .

Las teorías de gauge utilizadas para modelar los resultados de experimentos físicos implican lo siguiente:

• limitando el universo de configuraciones posibles a aquellas consistentes con la información utilizada para configurar el experimento, y luego
• calcular la distribución de probabilidad de los posibles resultados que el experimento está diseñado para medir.

No podemos expresar las descripciones matemáticas de la "información de configuración" y los "posibles resultados de medición", ni las "condiciones límite" del experimento, sin hacer referencia a un sistema de coordenadas particular, incluyendo la elección del calibre. Se presupone un experimento adecuado, aislado de influencias "externas", lo cual, a su vez, implica una dependencia del calibre. El manejo incorrecto de los cálculos de dependencia del calibre en las condiciones límite es una fuente frecuente de anomalías , y los enfoques para evitar anomalías clasifican las teorías de calibre .

Las dos teorías de gauge mencionadas anteriormente, la electrodinámica del continuo y la relatividad general, son teorías de campo del continuo. Las técnicas de cálculo en una teoría del continuo asumen implícitamente que:

• Dada una elección de calibre completamente fija, las condiciones de contorno de una configuración individual están completamente descritas.
• Dado un calibre completamente fijo y un conjunto completo de condiciones de contorno, la acción mínima determina una configuración matemática única y, por lo tanto, una situación física única consistente con estos límites.
• La fijación del calibre no introduce anomalías en el cálculo, ni debido a la dependencia del calibre al describir información parcial sobre las condiciones de contorno ni a la incompletitud de la teoría.

La determinación de la probabilidad de los posibles resultados de la medición se realiza mediante:

• establecer una distribución de probabilidad sobre todas las situaciones físicas determinadas por condiciones límite consistentes con la información de configuración
• establecer una distribución de probabilidad de los resultados de las mediciones para cada situación física posible
• Convolucionando estas dos distribuciones de probabilidad para obtener una distribución de posibles resultados de medición consistente con la información de configuración.

Estas suposiciones tienen suficiente validez en una amplia gama de escalas energéticas y condiciones experimentales como para permitir que estas teorías hagan predicciones precisas sobre casi todos los fenómenos que se presentan en la vida cotidiana: luz, calor y electricidad, eclipses, vuelos espaciales, etc. Solo fallan en las escalas más pequeñas y más grandes debido a omisiones en las propias teorías y cuando las técnicas matemáticas fallan, sobre todo en el caso de la turbulencia y otros fenómenos caóticos .

Además de estas teorías clásicas de campos continuos, las teorías de gauge más conocidas son las teorías cuánticas de campos , incluyendo la electrodinámica cuántica y el Modelo Estándar de la física de partículas elementales. El punto de partida de una teoría cuántica de campos es muy similar al de su análogo continuo: una integral de acción covariante de gauge que caracteriza las situaciones físicas "admisibles" según el principio de mínima acción . Sin embargo, las teorías continuas y cuánticas difieren significativamente en cómo manejan los grados de libertad adicionales representados por las transformaciones de gauge. Las teorías continuas, y la mayoría de los tratamientos didácticos de las teorías cuánticas de campos más simples, utilizan una prescripción de fijación de gauge para reducir la órbita de configuraciones matemáticas que representan una situación física dada a una órbita más pequeña relacionada por un grupo de gauge más pequeño (el grupo de simetría global, o quizás incluso el grupo trivial).

Las teorías cuánticas de campos más sofisticadas, en particular aquellas que involucran un grupo de gauge no abeliano, rompen la simetría de gauge dentro de las técnicas de la teoría de perturbaciones al introducir campos adicionales (los fantasmas de Faddeev-Popov ) y contra-términos motivados por la cancelación de anomalías , en un enfoque conocido como cuantización BRST . Si bien estas preocupaciones son, en cierto sentido, altamente técnicas, también están estrechamente relacionadas con la naturaleza de la medición, los límites del conocimiento de una situación física y las interacciones entre condiciones experimentales incompletamente especificadas y una teoría física incompletamente comprendida. Las técnicas matemáticas que se han desarrollado para hacer que las teorías de gauge sean manejables han encontrado muchas otras aplicaciones, desde la física del estado sólido y la cristalografía hasta la topología de baja dimensión .

En electrostática , se puede hablar del campo eléctrico, E , o de su potencial eléctrico correspondiente , V. El conocimiento de uno permite hallar el otro, excepto que los potenciales que difieren en una constante,${\displaystyle V\mapsto V+C}$, corresponden al mismo campo eléctrico. Esto se debe a que el campo eléctrico se relaciona con los cambios en el potencial de un punto en el espacio a otro, y la constante C se cancelaría al restar para encontrar el cambio en el potencial. En términos de cálculo vectorial , el campo eléctrico es el gradiente del potencial,${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$Generalizando desde la electricidad estática al electromagnetismo, tenemos un segundo potencial, el potencial vectorial A , con

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Las transformaciones de calibre generales ahora no solo se convierten en${\displaystyle V\mapsto V+C}$pero

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}}$

donde f es cualquier función dos veces continuamente diferenciable que depende de la posición y el tiempo. Los campos electromagnéticos permanecen iguales bajo la transformación de gauge.

El resto de esta sección requiere cierta familiaridad con la teoría clásica o cuántica de campos y el uso de lagrangianos .

Definiciones en esta sección: grupo de gauge , campo de gauge , lagrangiano de interacción , bosón de gauge .

A continuación se ilustra cómo la invariancia de gauge local puede ser "motivada" heurísticamente a partir de propiedades de simetría global, y cómo esto conduce a una interacción entre campos que originalmente no interactúan.

Consideremos un conjunto de${\displaystyle n}$campos escalares reales no interactuantes , con masas iguales m . Este sistema se describe mediante una acción que es la suma de la acción (usual) para cada campo escalar.${\displaystyle \varphi _{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]}$

El lagrangiano (densidad) se puede escribir de forma compacta como

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _ {\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

introduciendo un vector de campos

${\displaystyle \ \Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})}$

El término${\displaystyle \partial _ {\mu}\Phi}$es la derivada parcial de${\displaystyle \Phi }$a lo largo de la dimensión${\displaystyle \mu }$.

Ahora es evidente que el lagrangiano es invariante bajo la transformación.

${\displaystyle \ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi }$

siempre que G sea una matriz constante perteneciente al grupo ortogonal n x n O( n ). Se observa que esto preserva el lagrangiano, ya que la derivada de${\displaystyle \Phi '}$se transforma de forma idéntica a${\displaystyle \Phi }$y ambas cantidades aparecen dentro de los productos escalares en el lagrangiano (las transformaciones ortogonales preservan el producto escalar).

${\displaystyle \ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi }$

Esto caracteriza la simetría global de este lagrangiano en particular, y el grupo de simetría se denomina a menudo grupo de gauge ; el término matemático es grupo de estructura , especialmente en la teoría de las G-estructuras . Cabe mencionar que el teorema de Noether implica que la invariancia bajo este grupo de transformaciones conduce a la conservación de las corrientes.

${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi }$

donde las matrices T ^a son generadores del grupo SO( n ). Hay una corriente conservada para cada generador.

Ahora bien, exigir que este lagrangiano tenga invariancia local O( n ) requiere que se permita que las matrices G (que antes eran constantes) se conviertan en funciones de las coordenadas espaciotemporales x .

En este caso, las matrices G no "pasan" a través de las derivadas, cuando G = G ( x ),

${\displaystyle \ \partial _ {\mu}(G\Phi)\neq G(\partial _ {\mu}\Phi)}$

El hecho de que la derivada no conmute con "G" introduce un término adicional (de acuerdo con la regla del producto), lo que anula la invariancia del lagrangiano. Para rectificar esto, definimos un nuevo operador de derivada tal que la derivada de${\displaystyle \Phi '}$nuevamente se transforma de forma idéntica con${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi }$

Esta nueva "derivada" se llama derivada covariante (de calibre) y toma la forma

${\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }}$

donde g se denomina constante de acoplamiento; una magnitud que define la fuerza de una interacción. Tras un cálculo sencillo, podemos ver que el campo de gauge A ( x ) debe transformarse de la siguiente manera:

${\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}}$

El campo de gauge es un elemento del álgebra de Lie y, por lo tanto, puede expandirse como

${\displaystyle \ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}}$

Por lo tanto, existen tantos campos de gauge como generadores del álgebra de Lie.

Finalmente, ahora tenemos un lagrangiano localmente invariante de gauge .

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

Pauli utiliza el término transformación de calibre del primer tipo para referirse a la transformación de${\displaystyle \Phi }$, mientras que la transformación compensatoria en${\displaystyle A}$se denomina transformación de calibre de segundo tipo .

Se observa que la diferencia entre este lagrangiano y el lagrangiano original globalmente invariante de gauge es el lagrangiano de interacción.

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}A_{\mu }^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi }$

Este término introduce interacciones entre los n campos escalares como consecuencia de la exigencia de invariancia de gauge local. Sin embargo, para que esta interacción sea física y no completamente arbitraria, el mediador A ( x ) necesita propagarse en el espacio. Esto se aborda en la siguiente sección añadiendo otro término.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}$, al lagrangiano. En la versión cuantizada de la teoría de campos clásica obtenida , los cuantos del campo de gauge A ( x ) se denominan bosones de gauge . La interpretación del lagrangiano de interacción en la teoría cuántica de campos es la de bosones escalares que interactúan mediante el intercambio de estos bosones de gauge.

La descripción de una teoría de gauge clásica desarrollada en la sección anterior está casi completa, salvo por el hecho de que para definir las derivadas covariantes D , es necesario conocer el valor del campo de gauge.${\displaystyle A(x)}$en todos los puntos del espaciotiempo. En lugar de especificar manualmente los valores de este campo, se puede dar como la solución de una ecuación de campo. Requiriendo además que el lagrangiano que genera esta ecuación de campo también sea localmente invariante de gauge, una posible forma para el lagrangiano del campo de gauge es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}}$

donde el${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$se obtienen a partir de potenciales${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$, siendo los componentes de${\displaystyle A(x)}$, por

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

y el${\displaystyle f^{abc}}$son las constantes de estructura del álgebra de Lie de los generadores del grupo de gauge. Esta formulación del lagrangiano se denomina acción de Yang-Mills . También existen otras acciones invariantes de gauge (por ejemplo, electrodinámica no lineal , acción de Born-Infeld , modelo de Chern-Simons , término theta , etc.).

En este término lagrangiano no hay ningún campo cuya transformación contrarreste la de${\displaystyle A}$La invariancia de este término bajo transformaciones de gauge es un caso particular de simetría clásica (geométrica) a priori . Esta simetría debe restringirse para realizar la cuantización, procedimiento que se denomina fijación de gauge , pero incluso después de la restricción, pueden ser posibles las transformaciones de gauge. ^{[ 12 ]}

El lagrangiano completo para la teoría de gauge es ahora

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}}_{\text{global}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}}$

Como una aplicación simple del formalismo desarrollado en las secciones anteriores, consideremos el caso de la electrodinámica , con solo el campo electrónico . La acción básica que genera la ecuación de Dirac del campo electrónico es

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi \,\mathrm {d} ^{4}x}$

La simetría global para este sistema es

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\theta }\psi }$

El grupo de calibre aquí es U(1) , simplemente rotaciones del ángulo de fase del campo, con la rotación particular determinada por la constante θ .

La "localización" de esta simetría implica la sustitución de θ por θ ( x ) . Entonces se obtiene una derivada covariante apropiada.

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }}$

La identificación de la "carga" e (que no debe confundirse con la constante matemática e en la descripción de simetría) con la carga eléctrica usual (este es el origen del uso del término en las teorías de gauge), y el campo de gauge A ( x ) con el potencial vectorial cuadripolar del campo electromagnético da como resultado un lagrangiano de interacción.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}$

dónde${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$es el cuadrivector de corriente eléctrica en el campo de Dirac . Por lo tanto, se observa que el principio de gauge introduce de forma natural el llamado acoplamiento mínimo del campo electromagnético al campo electrónico.

Agregar un lagrangiano para el campo de calibre${\displaystyle A_{\mu }(x)}$En términos del tensor de intensidad de campo, exactamente como en electrodinámica, se obtiene el lagrangiano utilizado como punto de partida en electrodinámica cuántica .

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

La primera teoría de gauge que se cuantizó fue la electrodinámica cuántica (QED). Los primeros métodos desarrollados para ello implicaban la fijación de gauge y la posterior aplicación de la cuantización canónica . El método de Gupta-Bleuler también se desarrolló para abordar este problema. Actualmente, las teorías de gauge no abelianas se abordan mediante diversos métodos. Los métodos de cuantización se tratan en el artículo sobre cuantización .

El objetivo principal de la cuantización es poder calcular amplitudes cuánticas para diversos procesos permitidos por la teoría. Técnicamente, se reducen al cálculo de ciertas funciones de correlación en el estado de vacío . Esto implica una renormalización de la teoría.

Cuando el acoplamiento de la teoría es suficientemente pequeño, todas las cantidades requeridas pueden calcularse mediante la teoría de perturbaciones . Los esquemas de cuantización diseñados para simplificar dichos cálculos (como la cuantización canónica ) se denominan esquemas de cuantización perturbativa . Actualmente, algunos de estos métodos permiten realizar las pruebas experimentales más precisas de las teorías de gauge.

Sin embargo, en la mayoría de las teorías de gauge, existen muchas cuestiones interesantes que no son perturbativas. Los esquemas de cuantización adecuados para estos problemas (como la teoría de gauge reticular ) pueden denominarse esquemas de cuantización no perturbativos . Los cálculos precisos en dichos esquemas a menudo requieren supercomputación y, por lo tanto, están menos desarrollados actualmente que otros esquemas.

Algunas de las simetrías de la teoría clásica no se cumplen en la teoría cuántica; un fenómeno denominado anomalía . Entre las más conocidas se encuentran:

• La anomalía de escala , que da lugar a una constante de acoplamiento variable . En QED esto da lugar al fenómeno del polo de Landau . En cromodinámica cuántica (QCD) esto conduce a la libertad asintótica .
• La anomalía quiral en las teorías de campos quirales o vectoriales con fermiones. Esto tiene una estrecha relación con la topología a través de la noción de instantones . En la cromodinámica cuántica (QCD), esta anomalía provoca la desintegración de un pión en dos fotones .
• La anomalía de gauge , que debe cancelarse en cualquier teoría física consistente. En la teoría electrodébil, esta cancelación requiere un número igual de quarks y leptones .