tensor de Lanczos

El tensor de Lanczos o potencial de Lanczos es un tensor de rango 3 en la relatividad general que genera el tensor de Weyl . ^{[ 1 ]} Fue introducido por primera vez por Cornelius Lanczos en 1949. ^{[ 2 ]} La importancia teórica del tensor de Lanczos radica en que sirve como campo de gauge para el campo gravitatorio, de la misma manera que, por analogía, el cuadripotencial electromagnético genera el campo electromagnético . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El tensor de Lanczos puede definirse de varias maneras. La definición moderna más común es a través de las ecuaciones de Weyl-Lanczos, que demuestran la generación del tensor de Weyl a partir del tensor de Lanczos. ^{[ 4 ]} Estas ecuaciones, presentadas a continuación, fueron dadas por Takeno en 1964. ^{[ 1 ]} La forma en que Lanczos introdujo originalmente el tensor fue como un multiplicador de Lagrange ^{[ 2 ] [ 5 ]} sobre términos de restricción estudiados en el enfoque variacional de la relatividad general . ^{[ 6 ]} Bajo cualquier definición, el tensor de Lanczos H exhibe las siguientes simetrías:

${\displaystyle H_{abc}+H_{bac}=0,\,}$

${\displaystyle H_{abc}+H_{bca}+H_{cab}=0.}$

El tensor de Lanczos siempre existe en cuatro dimensiones ^{[ 7 ]} pero no se generaliza a dimensiones superiores. ^{[ 8 ]} Esto resalta la singularidad de las cuatro dimensiones . ^{[ 3 ]} Nótese además que el tensor de Riemann completo no puede, en general, derivarse de las derivadas del potencial de Lanczos solamente. ^{[ 7 ] [ 9 ]} Las ecuaciones de campo de Einstein deben proporcionar el tensor de Ricci para completar los componentes de la descomposición de Ricci .

El campo de Curtright tiene una dinámica de transformación de gauge similar a la del tensor de Lanczos. Pero el campo de Curtright existe en dimensiones arbitrarias > 4D. ^{[ 10 ]}

El tensor potencial de Lanczos satisface una ecuación de onda ^{[ 13 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box H_{abc}=&\;J_{abc}\\&{}-2{R_{c}}^{d}H_{abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}\\&{}+\left(H_{dbe}g_{ac}-H_{dae}g_{bc}\right)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \Box }$es el operador d'Alembert y

${\displaystyle J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6}}\left(g_{ca}R_{;b}-g_{cb}R_{;a}\right)}$

Se conoce como el tensor de Cotton . Dado que el tensor de Cotton depende únicamente de las derivadas covariantes del tensor de Ricci , puede interpretarse como una especie de corriente de materia. ^{[ 14 ]} Los términos de autoacoplamiento adicionales no tienen un equivalente electromagnético directo. Sin embargo, estos términos de autoacoplamiento no afectan a las soluciones de vacío , donde el tensor de Ricci se anula y la curvatura se describe completamente mediante el tensor de Weyl. Por lo tanto, en el vacío, las ecuaciones de campo de Einstein son equivalentes a la ecuación de onda homogénea .${\displaystyle \Box H_{abc}=0,}$en perfecta analogía con la ecuación de onda del vacío${\displaystyle \Box A_{a}=0}$del cuadripotencial electromagnético. Esto muestra una similitud formal entre las ondas gravitacionales y las ondas electromagnéticas , siendo el tensor de Lanczos muy adecuado para estudiar las ondas gravitacionales. ^{[ 15 ]}

En la aproximación de campo débil donde${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$, una forma conveniente para el tensor de Lanczos en el calibre de Lanczos es ^{[ 14 ]}

${\displaystyle 4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6}}(\eta _{ac}{h^{d}}_{d,b}-\eta _{bc}{h^{d}}_{d,a}).}$

El caso no trivial más básico para expresar el tensor de Lanczos es, por supuesto, para la métrica de Schwarzschild . ^{[ 4 ]} La representación de componentes explícita más simple en unidades naturales para el tensor de Lanczos en este caso es

${\displaystyle H_{trt}={\frac {GM}{r^{2}}}}$

con todos los demás componentes desvaneciéndose salvo simetrías. Sin embargo, esta forma no está en el calibre de Lanczos. Los términos no nulos del tensor de Lanczos en el calibre de Lanczos son

${\displaystyle H_{trt}={\frac {2GM}{3r^{2}}}}$

${\displaystyle H_{r\theta \theta }={\frac {-GM}{3(1-2GM/r)}}}$

${\displaystyle H_{r\phi \phi }={\frac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}}}$

Además, es posible demostrar, incluso en este caso simple, que el tensor de Lanczos no puede, en general, reducirse a una combinación lineal de los coeficientes de espín del formalismo de Newman-Penrose , lo que atestigua la naturaleza fundamental del tensor de Lanczos. ^{[ 11 ]} Se han utilizado cálculos similares para construir soluciones arbitrarias de tipo D de Petrov . ^{[ 16 ]}

• Tensor de Bach
• cálculo de Ricci
• tensor de Schouten
• Acción tetrádica de Palatini
• Acción Palatini autodual

• Peter O'Donnell, Introducción a los 2-espinores en la relatividad general . World Scientific , 2003.