Acoplamiento mínimo

En mecánica analítica y teoría cuántica de campos , el acoplamiento mínimo se refiere a un acoplamiento entre campos que involucra solo la distribución de carga y no momentos multipolares superiores de la distribución de carga. Este acoplamiento mínimo contrasta, por ejemplo, con el acoplamiento de Pauli , que incluye el momento magnético de un electrón directamente en el lagrangiano . ^[1]

En electrodinámica , el acoplamiento mínimo es suficiente para explicar todas las interacciones electromagnéticas. Los momentos más elevados de las partículas son consecuencia del acoplamiento mínimo y del espín distinto de cero .

En coordenadas cartesianas , el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades SI ):

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$

donde q es la carga eléctrica de la partícula, φ es el potencial escalar eléctrico y A _i , i = 1, 2, 3 , son los componentes del potencial vectorial magnético que pueden depender todos explícitamente de y . $Estilo de visualización x_{i}}$${\estilo de visualización t}$

Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x}}}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x}}}\times \mathbf {B} \,,}$

y se llama acoplamiento mínimo.

Tenga en cuenta que los valores del potencial escalar y del potencial vectorial cambiarían durante una transformación de calibre , ^[2] y el propio Lagrangiano también recogerá términos adicionales, pero los términos adicionales en el Lagrangiano se suman a una derivada de tiempo total de una función escalar y, por lo tanto, todavía producen la misma ecuación de Euler-Lagrange.

Los momentos canónicos están dados por

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

Tenga en cuenta que los momentos canónicos no son invariantes de calibre y no se pueden medir físicamente. Sin embargo, los momentos cinéticos

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

son invariantes en cuanto al calibre y medibles físicamente.

El hamiltoniano , como la transformación de Legendre del lagrangiano, es por lo tanto

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

Esta ecuación se utiliza con frecuencia en la mecánica cuántica .

Bajo una transformación de calibre,

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

donde f ( r , t ) es cualquier función escalar del espacio y el tiempo, los momentos lagrangianos, canónicos y la transformada hamiltoniana antes mencionados son como

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=Hq{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

que todavía produce la misma ecuación de Hamilton:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

En mecánica cuántica, la función de onda también experimentará una transformación de grupo local U(1) ^[3] durante la transformación de calibre, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo transformaciones locales U(1).

El lagrangiano relativista para una partícula ( masa en reposo m y carga q ) viene dado por:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

Por lo tanto, el momento canónico de la partícula es

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

es decir, la suma del momento cinético y el momento potencial.

Resolviendo la velocidad, obtenemos

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x}}}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A}} {\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

Así que el hamiltoniano es

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2 }c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

Esto da como resultado la ecuación de fuerza (equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange )

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

de donde se puede derivar

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

La derivación anterior hace uso de la identidad del cálculo vectorial :

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

Una expresión equivalente para el hamiltoniano en función del momento relativista (cinético), P = γm ẋ ( t ) = p - q A , es

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

Esto tiene la ventaja de que el momento cinético P se puede medir experimentalmente, mientras que el momento canónico p no. Nótese que el hamiltoniano ( energía total ) se puede ver como la suma de la energía relativista (cinética + reposo) , E = γmc ² , más la energía potencial , V = eφ .

En los estudios de inflación cosmológica , el acoplamiento mínimo de un campo escalar suele referirse al acoplamiento mínimo con la gravedad. Esto significa que la acción del campo inflatón no está acoplada a la curvatura escalar . Su único acoplamiento con la gravedad es el acoplamiento con la medida invariante de Lorentz construida a partir de la métrica (en unidades de Planck ): ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\sqrt {g}}\,d^{4}x}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)}$

donde , y utilizando la derivada covariante de calibre . ${\displaystyle g:=\det g_{\mu \nu }}$