lógica difusa

Una aplicación básica podría caracterizar varios subrangos de una variable continua . Por ejemplo, una medición de temperatura para frenos antibloqueo podría tener varias funciones de pertenencia separadas que definan rangos de temperatura particulares necesarios para controlar los frenos correctamente. Cada función asigna el mismo valor de temperatura a un valor de verdad en el rango de 0 a 1. Estos valores de verdad se pueden usar para determinar cómo se deben controlar los frenos. ^{[ 10 ]} La teoría de conjuntos difusos proporciona un medio para representar la incertidumbre.

En las aplicaciones de lógica difusa, a menudo se utilizan valores no numéricos para facilitar la expresión de reglas y hechos. ^{[ 11 ]}

Una variable lingüística como la edad puede aceptar valores como joven y su antónimo viejo . Dado que los lenguajes naturales no siempre contienen suficientes términos de valor para expresar una escala de valor difusa, es práctica común modificar los valores lingüísticos con adjetivos o adverbios . Por ejemplo, podemos usar los atenuadores más bien y algo así para construir los valores adicionales más bien viejo o algo joven . ^{[ 12 ]}

El sistema más conocido es el basado en reglas de Mamdani . ^{[ 13 ]} Utiliza las siguientes reglas:

1. Difuminar todos los valores de entrada en funciones de pertenencia difusas.
2. Ejecuta todas las reglas aplicables en la base de reglas para calcular las funciones de salida difusas.
3. Desdibuje las funciones de salida difusas para obtener valores de salida "nítidos".

Difuminación

La fuzzificación es el proceso de asignar la entrada numérica de un sistema a conjuntos difusos con cierto grado de pertenencia. Este grado de pertenencia puede estar en cualquier punto del intervalo [0,1]. Si es 0, el valor no pertenece al conjunto difuso dado, y si es 1, el valor pertenece completamente al conjunto difuso. Cualquier valor entre 0 y 1 representa el grado de incertidumbre de que el valor pertenezca al conjunto. Estos conjuntos difusos se describen típicamente con palabras, por lo que al asignar la entrada del sistema a conjuntos difusos, podemos razonar con ella de una manera lingüísticamente natural.

Por ejemplo, en la imagen siguiente, los significados de las expresiones frío , tibio y caliente están representados por funciones que mapean una escala de temperatura. Un punto en esa escala tiene tres "valores de verdad", uno para cada una de las tres funciones. La línea vertical en la imagen representa una temperatura particular que miden las tres flechas (valores de verdad). Como la flecha roja apunta a cero, esta temperatura puede interpretarse como "no caliente"; es decir, esta temperatura tiene una pertenencia de cero en el conjunto difuso "caliente". La flecha naranja (que apunta a 0,2) puede describirla como "ligeramente tibia" y la flecha azul (que apunta a 0,8) como "bastante fría". Por lo tanto, esta temperatura tiene una pertenencia de 0,2 en el conjunto difuso "tibio" y una pertenencia de 0,8 en el conjunto difuso "frío". El grado de pertenencia asignado a cada conjunto difuso es el resultado de la difusificación.

Los conjuntos difusos a menudo se definen como curvas triangulares o trapezoidales, ya que cada valor tendrá una pendiente donde el valor es creciente, un pico donde el valor es igual a 1 (que puede tener una longitud de 0 o mayor) y una pendiente donde el valor es decreciente. ^{[ 14 ]} También se pueden definir utilizando una función sigmoide . ^{[ 15 ]} Un caso común es la función logística estándar definida como

${\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

que tiene la siguiente propiedad de simetría

$${\displaystyle S(x)+S(-x)=1.}$$

De esto se deduce que

$${\displaystyle (S(x)+S(-x))\cdot (S(y)+S(-y))\cdot (S(z)+S(-z))=1}$$

x Y y = x * y NO x = 1 - x Por eso, x O y = NO( Y( NO(x), NO(y) ) ) x O y = NO( Y( 1 - x, 1 - y) ) x O y = NO( (1 - x) * (1 - y) ) x O y = 1 - (1 - x) * (1 - y) x O y = x + y - xy 

Si la temperatura es muy baja, entonces la velocidad del ventilador se detiene. SI la temperatura es fría, entonces la velocidad del ventilador es lenta. SI la temperatura es cálida, entonces la velocidad del ventilador es moderada. SI LA TEMPERATURA ES ALTA, ENTONCES LA VELOCIDAD DEL VENTILADOR ES ALTA 

El sistema Takagi-Sugeno o Takagi-Sugeno-Kang ( TSK ) fue introducido por Tomohiro Takagi y Michio Sugeno para la identificación difusa de sistemas y aplicaciones al modelado y control. ^{[ 20 ]} Posteriormente, Sugeno y Kang desarrollaron métodos para la identificación de la estructura de dichos modelos difusos a partir de datos de entrada-salida. ^{[ 21 ]} El sistema TSK es similar al de Mamdani, pero el proceso de defusificación se incluye en la ejecución de las reglas difusas. Estas también se adaptan, de modo que el consecuente de la regla se representa mediante una función polinómica, generalmente constante en un modelo de orden cero o lineal en un modelo de primer orden. Un ejemplo de una regla con una salida constante sería:

SI la temperatura es muy fría ENTONCES velocidad_del_ventilador = 2 

En este caso, la salida será igual a la constante del consecuente (por ejemplo, 2). En la mayoría de los escenarios, tendríamos una base de reglas completa, con 2 o más reglas. Si este es el caso, la salida de toda la base de reglas será el promedio del consecuente de cada regla i (Y _i ), ponderado según el valor de pertenencia de su antecedente (h _i ):

${\displaystyle {\frac {\sum _{i}(h_{i}\cdot Y_{i})}{\sum _{i}h_{i}}}}$

Un ejemplo de regla con una salida lineal sería, en cambio:

SI la temperatura es muy fría Y la humedad es alta ENTONCES la velocidad del ventilador = 2 * temperatura + 1 * humedad 

En este caso, la salida de la regla será el resultado de la función en el consecuente. Las variables en el consecuente son las variables de entrada del sistema evaluadas en la entrada actual, mientras que los valores de pertenencia del antecedente determinan los pesos de las reglas. Al igual que antes, si tenemos una base de reglas completa con dos o más reglas, la salida total será el promedio ponderado entre las salidas de cada regla.

La principal ventaja de usar TSK sobre Mamdani es su eficiencia computacional y su buen funcionamiento con otros algoritmos, como el control PID y los algoritmos de optimización. Además, garantiza la continuidad de la superficie de salida. Sin embargo, Mamdani es más intuitivo y fácil de usar. Por lo tanto, TSK se suele emplear en otros métodos complejos, como en sistemas de inferencia neurodifusa adaptativa .

Las redes neuronales basadas en inteligencia artificial y lógica difusa son, al analizarlas, lo mismo: la lógica subyacente de las redes neuronales es difusa. Una red neuronal toma una variedad de entradas con valores, les asigna diferentes pesos entre sí, combina valores intermedios un cierto número de veces y llega a una decisión con un valor determinado. En ningún punto de ese proceso se encuentran secuencias de decisiones binarias que caracterizan las matemáticas no difusas, la programación informática y la electrónica digital . En la década de 1980, los investigadores estaban divididos sobre el enfoque más eficaz para el aprendizaje automático : el aprendizaje mediante árboles de decisión o las redes neuronales. El primer enfoque utiliza lógica binaria, que coincide con el hardware en el que se ejecuta, pero a pesar de los grandes esfuerzos, no dio como resultado sistemas inteligentes. Las redes neuronales, por el contrario, sí dieron como resultado modelos precisos de situaciones complejas y pronto se incorporaron a multitud de dispositivos electrónicos. ^{[ 23 ]} Ahora también se pueden implementar directamente en microchips analógicos, a diferencia de las implementaciones pseudoanalógicas anteriores en chips digitales. La mayor eficiencia de estos sistemas compensa la menor precisión intrínseca de los sistemas analógicos en diversos casos de uso.

La lógica difusa es un concepto importante en la toma de decisiones médicas . Dado que los datos médicos y sanitarios pueden ser subjetivos o imprecisos, las aplicaciones en este ámbito tienen un gran potencial para beneficiarse enormemente del uso de enfoques basados ​​en la lógica difusa.

La lógica difusa se puede utilizar en muchos aspectos diferentes dentro del marco de la toma de decisiones médicas. Dichos aspectos incluyen ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} en el análisis de imágenes médicas , el análisis de señales biomédicas, la segmentación de imágenes ^{[ 27 ]} o señales, y la extracción/selección de características de imágenes ^{[ 27 ]} o señales. ^{[ 28 ]}

La pregunta más importante en esta área de aplicación es cuánta información útil se puede obtener al usar lógica difusa. Un desafío importante es cómo obtener los datos difusos necesarios. Esto es aún más difícil cuando se tienen que obtener dichos datos de personas (generalmente, pacientes). Como se ha dicho

"Irónicamente, los límites de lo que se puede lograr y lo que no se puede lograr en el diagnóstico médico son, en sí mismos, difusos."

Cómo obtener datos difusos y cómo validar su precisión sigue siendo un esfuerzo continuo, estrechamente relacionado con la aplicación de la lógica difusa. Evaluar la calidad de los datos difusos es un problema complejo. Por ello, la lógica difusa representa una posibilidad muy prometedora en el ámbito de la toma de decisiones médicas, pero aún requiere más investigación para alcanzar su máximo potencial. ^{[ 29 ]}

Una vez definidas las relaciones difusas, es posible desarrollar bases de datos relacionales difusas . La primera base de datos relacional difusa, FRDB, apareció en la tesis doctoral de Maria Zemankova (1983). Posteriormente, surgieron otros modelos como el modelo Buckles-Petry, el modelo Prade-Testemale, el modelo Umano-Fukami o el modelo GEFRED de JM Medina, MA Vila et al.

Se han definido lenguajes de consulta difusos, como SQLf de P. Bosc et al. y FSQL de J. Galindo et al. Estos lenguajes definen algunas estructuras para incluir aspectos difusos en las sentencias SQL, como condiciones difusas, comparadores difusos, constantes difusas, restricciones difusas, umbrales difusos, etiquetas lingüísticas, etc.

Las lógicas difusas proposicionales más importantes son:

• La lógica difusa proposicional basada en t-normas monoidales (MTL) es una axiomatización de la lógica donde la conjunción se define mediante una t-norma continua por la izquierda y la implicación se define como el residuo de la t-norma. Sus modelos corresponden a álgebras MTL que son retículos residuados integrales acotados conmutativos prelineales .
• La lógica difusa proposicional básica (BL) es una extensión de la lógica MTL donde la conjunción se define mediante una t-norma continua, y la implicación también se define como el residuo de la t-norma. Sus modelos corresponden a álgebras BL.
• La lógica difusa de Łukasiewicz es una extensión de la lógica difusa básica (BL), donde la conjunción estándar es la t-norma de Łukasiewicz. Posee los axiomas de la lógica difusa básica más un axioma de doble negación, y sus modelos corresponden a álgebras MV .
• La lógica difusa de Gödel es una extensión de la lógica difusa básica (BL), donde la conjunción es la t-norma de Gödel (es decir, el mínimo). Posee los axiomas de BL más un axioma de idempotencia de conjunción, y sus modelos se denominan G-álgebras.
• La lógica difusa de producto es una extensión de la lógica difusa básica (BL), donde la conjunción es la t-norma del producto. Posee los axiomas de BL más otro axioma para la cancelabilidad de la conjunción, y sus modelos se denominan álgebras de producto.
• La lógica difusa con sintaxis evaluada (a veces también llamada lógica de Pavelka), denotada por EVŁ, es una generalización adicional de la lógica difusa matemática. Mientras que los tipos de lógica difusa mencionados anteriormente tienen sintaxis tradicional y semántica multivaluada, en EVŁ la sintaxis también se evalúa. Esto significa que cada fórmula tiene una evaluación. La axiomatización de EVŁ proviene de la lógica difusa de Łukasziewicz. En EVŁ se puede demostrar una generalización del teorema clásico de completitud de Gödel. ^{[ 19 ]}

De forma similar a como la lógica de predicados se crea a partir de la lógica proposicional , las lógicas difusas de predicados extienden los sistemas difusos mediante cuantificadores universales y existenciales . La semántica del cuantificador universal en las lógicas difusas de t-norma es el ínfimo de los grados de verdad de las instancias de la subfórmula cuantificada, mientras que la semántica del cuantificador existencial es el supremo de la misma.

Las nociones de "subconjunto decidible" y " subconjunto recursivamente enumerable " son fundamentales para las matemáticas clásicas y la lógica clásica . Por lo tanto, la cuestión de una extensión adecuada de estas a la teoría de conjuntos difusos es crucial. La primera propuesta en esta dirección fue realizada por ES Santos con las nociones de máquina de Turing difusa , algoritmo difuso normal de Markov y programa difuso (véase Santos 1970). Posteriormente, L. Biacino y G. Gerla argumentaron que las definiciones propuestas son bastante cuestionables. Por ejemplo, en ^{[ 31 ]} se muestra que las máquinas de Turing difusas no son adecuadas para la teoría del lenguaje difuso, ya que existen lenguajes difusos naturales intuitivamente computables que no pueden ser reconocidos por una máquina de Turing difusa. Luego propusieron las siguientes definiciones. Denotemos por Ü el conjunto de números racionales en [0,1]. Entonces un subconjunto difuso s  : S${\displaystyle \rightarrow }$ [0,1] de un conjunto S es recursivamente enumerable si existe un mapa recursivo h  : S × N${\displaystyle \rightarrow }$Existe Ü tal que, para cada x en S , la función h ( x , n ) es creciente con respecto a n y s ( x ) = lim h ( x , n ). Decimos que s es decidible si tanto s como su complemento – s son recursivamente enumerables. Es posible extender esta teoría al caso general de los subconjuntos L (véase Gerla 2006). Las definiciones propuestas están bien relacionadas con la lógica difusa. De hecho, el siguiente teorema es válido (siempre que el aparato deductivo de la lógica difusa considerada satisfaga alguna propiedad de efectividad obvia).

Toda teoría difusa "axiomatizable" es recursivamente enumerable. En particular, el conjunto difuso de fórmulas lógicamente verdaderas es recursivamente enumerable, a pesar de que el conjunto nítido de fórmulas válidas no lo es, en general. Además, toda teoría axiomatizable y completa es decidible.

Aún queda por resolver la cuestión de si respaldar una «tesis de Church» para las matemáticas difusas ; la noción propuesta de enumerabilidad recursiva para subconjuntos difusos resulta adecuada. Para resolver esto, es necesaria una extensión de las nociones de gramática difusa y máquina de Turing difusa . Otra cuestión abierta es cómo, a partir de esta noción, encontrar una extensión de los teoremas de Gödel a la lógica difusa.

La lógica difusa y la probabilidad abordan diferentes formas de incertidumbre. Si bien tanto la lógica difusa como la teoría de la probabilidad pueden representar grados de ciertos tipos de creencias subjetivas, la teoría de conjuntos difusos utiliza el concepto de pertenencia a un conjunto difuso, es decir, cuánto se encuentra una observación dentro de un conjunto vagamente definido, y la teoría de la probabilidad utiliza el concepto de probabilidad subjetiva , es decir, la frecuencia de ocurrencia o la probabilidad de algún evento o condición . El concepto de conjuntos difusos se desarrolló a mediados del siglo XX en Berkeley ^{[ 32 ]} como respuesta a la falta de una teoría de la probabilidad para modelar conjuntamente la incertidumbre y la vaguedad . ^{[ 33 ]}

Bart Kosko afirma en Fuzziness vs. Probability ^{[ 34 ]} que la teoría de la probabilidad es una subteoría de la lógica difusa, ya que las cuestiones de grados de creencia en la pertenencia a conjuntos mutuamente excluyentes en la teoría de la probabilidad pueden representarse como ciertos casos de pertenencia gradual no mutuamente excluyente en la teoría difusa. En ese contexto, también deriva el teorema de Bayes del concepto de pertenencia a un subconjunto difuso. Lotfi A. Zadeh argumenta que la lógica difusa es de naturaleza diferente a la probabilidad y no la reemplaza. Difuminó la probabilidad para convertirla en probabilidad difusa y también la generalizó a la teoría de la posibilidad . ^{[ 35 ]}

En términos más generales, la lógica difusa es una de las muchas extensiones de la lógica clásica destinadas a abordar cuestiones de incertidumbre que quedan fuera del alcance de la lógica clásica, la inaplicabilidad de la teoría de la probabilidad en muchos ámbitos y las paradojas de la teoría de Dempster-Shafer .

El teórico computacional Leslie Valiant utiliza el término ecoritmos para describir cómo muchos sistemas y técnicas menos exactos, como la lógica difusa (y la lógica "menos robusta"), pueden aplicarse a los algoritmos de aprendizaje . Valiant esencialmente redefine el aprendizaje automático como evolutivo. En el uso general, los ecoritmos son algoritmos que aprenden de sus entornos más complejos (de ahí el prefijo eco- ) para generalizar, aproximar y simplificar la lógica de la solución. Al igual que la lógica difusa, son métodos utilizados para superar variables continuas o sistemas demasiado complejos para enumerarlos o comprenderlos completamente de forma discreta o exacta. ^{[ 36 ]} Los ecoritmos y la lógica difusa también tienen la propiedad común de trabajar con posibilidades más que con probabilidades, aunque la retroalimentación y la anticipación , básicamente pesos estocásticos, son una característica de ambos cuando se trata, por ejemplo, de sistemas dinámicos .

Otro sistema lógico donde los valores de verdad son números reales entre 0 y 1 y donde los operadores AND y OR se reemplazan por MIN y MAX es la lógica G _∞ de Gödel . Esta lógica tiene muchas similitudes con la lógica difusa, pero define la negación de manera diferente y tiene una implicación interna. Negación${\displaystyle \neg _{G}}$y sus implicaciones${\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}}$se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{si }}u=0\\0,&{\text{si }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{si }}u\leq v\\v,&{\text{si }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

lo que convierte el sistema lógico resultante en un modelo para la lógica intuicionista , haciéndolo particularmente bien comportado entre todas las posibles opciones de sistemas lógicos con números reales entre 0 y 1 como valores de verdad. En este caso, la implicación puede interpretarse como "x es menos verdadero que y" y la negación como "x es menos verdadero que 0" o "x es estrictamente falso", y para cualquier${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, tenemos eso${\displaystyle {\text{Y}}(x,x\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} y)={\text{Y}}(x,y)}$. En particular, en la lógica de Gödel la negación ya no es una involución y la doble negación asigna a cualquier valor distinto de cero el valor 1.