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lógica vectorial

La lógica vectorial [ 1 ] [ 2 ] es un modelo algebraico de lógica elemental basado en el álgebra matricial . La lógica vectorial supone que los valores de verdad se representan ...

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La lógica vectorial [ 1 ] [ 2 ] es un modelo algebraico de lógica elemental basado en el álgebra matricial . La lógica vectorial supone que los valores de verdad se representan mediante vectores y que las operaciones monádicas y diádicas se ejecutan mediante operadores matriciales. El término "lógica vectorial" también se ha utilizado para referirse a la representación de la lógica proposicional clásica como un espacio vectorial [ 3 ] [ 4 ] en el que los vectores unitarios son variables proposicionales . La lógica de predicados puede representarse como un espacio vectorial del mismo tipo en el que los ejes representan las letras del predicado.S{\displaystyle S}yPAG{\displaystyle P}. [ 5 ] En el espacio vectorial para la lógica proposicional el origen representa lo falso, F, y la periferia infinita representa lo verdadero, T, mientras que en el espacio para la lógica de predicados el origen representa "nada" y la periferia representa la huida de la nada, o "algo".

Descripción general

La lógica binaria clásica se representa mediante un pequeño conjunto de funciones matemáticas que dependen de una (monádica) o dos (diádicas) variables. En el conjunto binario, el valor 1 corresponde a verdadero y el valor 0 a falso . Una lógica vectorial de dos valores requiere una correspondencia entre los valores de verdad verdadero (t) y falso (f), y dos vectores columna reales normalizados de q dimensiones, s y n ; por lo tanto:

t↦s{\displaystyle t\mapsto s}   y   F↦norte{\displaystyle f\mapsto n}

(dóndeq≥2{\displaystyle q\geq 2}es un número natural arbitrario , y "normalizado" significa que la longitud del vector es 1; normalmente s y n son vectores ortogonales. Esta correspondencia genera un espacio de valores de verdad vectoriales: V 2  =  { s , n }. Las operaciones lógicas básicas definidas utilizando este conjunto de vectores dan lugar a operadores matriciales.

Las operaciones de la lógica vectorial se basan en el producto escalar entre vectores columna q -dimensionales:túTv=⟨tú,v⟩{\displaystyle u^{T}v=\langle u,v\rangle }: la ortonormalidad entre los vectores s y n implica que⟨tú,v⟩=1{\displaystyle \langle u,v\rangle =1}sitú=v{\displaystyle u=v}, y⟨tú,v⟩=0{\displaystyle \langle u,v\rangle =0}sitú≠v{\displaystyle u\neq v}, dóndetú,v∈{s,norte}{\displaystyle u,v\in \{s,n\}}.

operadores monádicos

Los operadores monádicos resultan de la aplicaciónMETROonorte:V2→V2{\ Displaystyle lunes: V_ {2} \ a V_ {2}}y las matrices asociadas tienen q filas y q columnas. Los dos operadores monádicos básicos para esta lógica vectorial de dos valores son la identidad y la negación :

  • Identidad : Una identidad lógica ID( p ) está representada por una matriz.I=ssT+nortenorteT{\displaystyle I=ss^{T}+nn^{T}}. Esta matriz funciona de la siguiente manera: Ip  = p , p ∈ V 2 ; debido a la ortogonalidad de s con respecto a n , tenemos   Is=ssTs+nortenorteTs=s⟨s,s⟩+norte⟨norte,s⟩=s{\displaystyle Is=ss^{T}s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s}y de manera similarInorte=norte{\displaystyle In=n}Es importante señalar que esta matriz identidad de lógica vectorial no es, en general, una matriz identidad en el sentido del álgebra matricial.
  • Negación : Una negación lógica ¬p se representa mediante una matriz.norte=nortesT+snorteT{\displaystyle N=ns^{T}+sn^{T}}En consecuencia, Ns  = n y Nn = s . El comportamiento involutivo de la negación lógica, a saber, que ¬(¬ p ) es igual a p , corresponde con el hecho de que N 2 = I .     

Operadores diádicos

Los 16 operadores diádicos bivaluados corresponden a funciones del tipoDyad:V2⊗V2→V2{\ Displaystyle Dyad: V_ {2} \ otimes V_ {2} \ to V_ {2}}Las matrices diádicas tienen q 2 filas y q columnas. Las matrices que ejecutan estas operaciones diádicas se basan en las propiedades del producto de Kronecker . Dos propiedades de este producto son esenciales para el formalismo de la lógica vectorial:

  1. La propiedad de producto mixto Si A , B , C y D son matrices de tal tamaño que se pueden formar los productos matriciales AC y BD , entonces
    (A⊗B)(do⊗D)=Ado⊗BD{\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD}
  2. Transposición distributiva La operación de transposición es distributiva sobre el producto de Kronecker:
    (A⊗B)T=AT⊗BT.{\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}

Utilizando estas propiedades, se pueden obtener expresiones para funciones de lógica diádica:

  • Conjunción . La conjunción ( p ∧ q ) se ejecuta mediante una matriz que actúa sobre dos vectores de valores de verdad:do(tú⊗v){\displaystyle C(u\otimes v)}Esta matriz reproduce las características de la tabla de verdad de la conjunción clásica en su formulación:
do=s(s⊗s)T+norte(s⊗norte)T+norte(norte⊗s)T+norte(norte⊗norte)T{\displaystyle C=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}}
y verifica
do(s⊗s)=s,{\displaystyle C(s\otimes s)=s,}y
do(s⊗norte)=do(norte⊗s)=do(norte⊗norte)=norte.{\displaystyle C(s\otimes n)=C(n\otimes s)=C(n\otimes n)=n.}
  • Disyunción . La disyunción ( p ∨ q ) se realiza mediante la matriz.
D=s(s⊗s)T+s(s⊗norte)T+s(norte⊗s)T+norte(norte⊗norte)T,{\displaystyle D=s(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}Resultando en
D(s⊗s)=D(s⊗norte)=D(norte⊗s)=s{\displaystyle D(s\otimes s)=D(s\otimes n)=D(n\otimes s)=s}y
D(norte⊗norte)=norte.{\displaystyle D(n\otimes n)=n.}
  • Implicación . La implicación corresponde en lógica clásica a la expresión p  → q ≡¬ p ∨ q . La versión en lógica vectorial de esta equivalencia conduce a una matriz que representa esta implicación en lógica vectorial:     L=D(norte⊗I){\displaystyle L=D(N\otimes I)}La expresión explícita para esta implicación es:
L=s(s⊗s)T+norte(s⊗norte)T+s(norte⊗s)T+s(norte⊗norte)T,{\displaystyle L=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T},}
y se satisfacen las propiedades de la implicación clásica:
L(s⊗s)=L(norte⊗s)=L(norte⊗norte)=s{\displaystyle L(s\otimes s)=L(n\otimes s)=L(n\otimes n)=s}y
L(s⊗norte)=norte.{\displaystyle L(s\otimes n)=n.}
mi=s(s⊗s)T+norte(s⊗norte)T+norte(norte⊗s)T+s(norte⊗norte)T{\displaystyle E=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T}}con
mi(s⊗s)=mi(norte⊗norte)=s{\displaystyle E(s\otimes s)=E(n\otimes n)=s}y
mi(s⊗norte)=mi(norte⊗s)=norte.{\displaystyle E(s\otimes n)=E(n\otimes s)=n.}
La disyunción exclusiva es la negación de la equivalencia, ¬( p ≡ q ); corresponde con la matrizincógnita=nortemi{\displaystyle X=NE}dado por
incógnita=norte(s⊗s)T+s(s⊗norte)T+s(norte⊗s)T+norte(norte⊗norte)T,{\displaystyle X=n(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}
conincógnita(s⊗s)=incógnita(norte⊗norte)=norte{\displaystyle X(s\otimes s)=X(n\otimes n)=n}y
incógnita(s⊗norte)=incógnita(norte⊗s)=s.{\displaystyle X(s\otimes n)=X(n\otimes s)=s.}

Las matrices S y P corresponden a las operaciones de Sheffer (NAND) y Peirce (NOR), respectivamente:

S=nortedo{\displaystyle S=NC}
PAG=norteD{\displaystyle P=ND}

Ejemplos numéricos

Aquí se muestran ejemplos numéricos de algunas compuertas lógicas básicas implementadas como matrices para dos conjuntos diferentes de vectores ortonormales bidimensionales para s y n .

Conjunto 1 :s=[10]norte=[01]{\displaystyle s={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad n={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}

En este caso, los operadores de identidad y negación son las matrices identidad y antidiagonal identidad:

I=[1001],norte=[0110]{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}

y las matrices para conjunción, disyunción e implicación son

do=[10000111],D=[11100001],L=[10110100]{\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}respectivamente.

Conjunto 2 :s=12[11]norte=12[1−1]{\displaystyle s={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad n={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}

Aquí el operador identidad es la matriz identidad, pero el operador negación ya no es la matriz identidad antidiagonal  :

I=[1001],norte=[100−1]{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}

Las matrices resultantes para la conjunción, la disyunción y la implicación son:

do=12[2000−1111],D=12[2000111−1],L=[200011−11]{\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\-1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&1&-1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&-1&1\end{bmatrix}}}respectivamente.

Ley de De Morgan

En la lógica bivaluada, las operaciones de conjunción y disyunción satisfacen la ley de De Morgan : p ∧ q ≡¬(¬ p ∨¬ q ), y su dual: p ∨ q ≡¬(¬ p ∧¬ q )). Para la lógica vectorial bivaluada, esta ley también se verifica:

do(tú⊗v)=norteD(nortetú⊗nortev){\displaystyle C(u\otimes v)=ND(Nu\otimes Nv)}donde u y v son dos vectores lógicos.

El producto de Kronecker implica la siguiente factorización:

do(tú⊗v)=norteD(norte⊗norte)(tú⊗v).{\displaystyle C(u\otimes v)=ND(N\otimes N)(u\otimes v).}

Entonces se puede demostrar que en la lógica vectorial bidimensional la ley de De Morgan es una ley que involucra operadores, y no solo una ley que se refiere a operaciones: [ 6 ]

do=norteD(norte⊗norte){\displaystyle C=ND(N\otimes N)}

Ley de contraposición

En el cálculo proposicional clásico, la ley de contraposición p  → q ≡ ¬ q → ¬ p se demuestra porque la equivalencia se cumple para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de p y q . [ 7 ] En cambio, en la lógica vectorial, la ley de contraposición surge de una cadena de igualdades dentro de las reglas del álgebra matricial y los productos de Kronecker, como se muestra a continuación:     

L(tú⊗v)=D(norte⊗I)(tú⊗v)=D(nortetú⊗v)=D(nortetú⊗nortenortev)={\displaystyle L(u\otimes v)=D(N\otimes I)(u\otimes v)=D(Nu\otimes v)=D(Nu\otimes NNv)=}
D(nortenortev⊗nortetú)=D(norte⊗I)(nortev⊗nortetú)=L(nortev⊗nortetú){\displaystyle D(NNv\otimes Nu)=D(N\otimes I)(Nv\otimes Nu)=L(Nv\otimes Nu)}

Este resultado se basa en el hecho de que D , la matriz de disyunción, representa una operación conmutativa.

Lógica bidimensional multivaluada

La lógica multivaluada fue desarrollada por muchos investigadores, en particular por Jan Łukasiewicz , y permite extender las operaciones lógicas a valores de verdad que incluyen incertidumbres. [ 8 ] En el caso de la lógica vectorial bivaluada, las incertidumbres en los valores de verdad pueden introducirse utilizando vectores con s y n ponderados por probabilidades.

DejarF=ϵs+δnorte{\displaystyle f=\epsilon s+\delta n}, conϵ,δ∈[0,1],ϵ+δ=1{\displaystyle \epsilon ,\delta \in [0,1],\epsilon +\delta =1}sean este tipo de vectores "probabilísticos". Aquí, el carácter multivaluado de la lógica se introduce a posteriori a través de las incertidumbres introducidas en las entradas. [ 1 ]

Proyecciones escalares de salidas vectoriales

Las salidas de esta lógica multivaluada pueden proyectarse sobre funciones escalares y generar una clase particular de lógica probabilística con similitudes con la lógica multivaluada de Reichenbach. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] Dados dos vectorestú=αs+βnorte{\displaystyle u=\alpha s+\beta n}yv=α′s+β′norte{\displaystyle v=\alpha 's+\beta 'n}y una matriz lógica diádicaGRAMO{\displaystyle G}, la proyección sobre el vector s proporciona una lógica probabilística escalar : 

Val(sdoalars)=sTGRAMO(vmidotors){\displaystyle Val(\mathrm {scalars} )=s^{T}G(\mathrm {vectors} )}

Estos son los principales resultados de estas proyecciones:

norteOT(α)=sTnortetú=1−α{\displaystyle NOT(\alpha )=s^{T}Nu=1-\alpha }
OR(α,α′)=sTD(tú⊗v)=α+α′−αα′{\displaystyle OR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}D(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-\alpha \alpha '}
AnorteD(α,α′)=sTdo(tú⊗v)=αα′{\displaystyle AND(\alpha ,\alpha ')=s^{T}C(u\otimes v)=\alpha \alpha '}
IMETROPAGL(α,α′)=sTL(tú⊗v)=1−α(1−α′){\displaystyle IMPL(\alpha ,\alpha ')=s^{T}L(u\otimes v)=1-\alpha (1-\alpha ')}
incógnitaOR(α,α′)=sTincógnita(tú⊗v)=α+α′−2αα′{\displaystyle XOR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}X(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-2\alpha \alpha '}

Las negaciones asociadas son:

norteOR(α,α′)=1−OR(α,α′){\displaystyle NOR(\alpha ,\alpha ')=1-OR(\alpha ,\alpha ')}
norteAnorteD(α,α′)=1−AnorteD(α,α′){\displaystyle NAND(\alpha ,\alpha ')=1-AND(\alpha ,\alpha ')}
miQUI(α,α′)=1−incógnitaOR(α,α′){\displaystyle EQUI(\alpha ,\alpha ')=1-XOR(\alpha ,\alpha ')}

Si los valores escalares pertenecen al conjunto {0, 1/2 , 1}, esta lógica escalar multivaluada es , para muchos de los operadores , casi idéntica a la lógica trivaluada de Łukasiewicz. Además, se ha demostrado que cuando los operadores monádicos o diádicos actúan sobre vectores probabilísticos pertenecientes a este conjunto, la salida también es un elemento de este conjunto. [ 6 ]

raíz cuadrada de NO

Este operador se definió originalmente para cúbits en el marco de la computación cuántica . [ 12 ] [ 13 ] En lógica vectorial, este operador puede extenderse para valores de verdad ortonormales arbitrarios. [ 2 ] [ 14 ] De hecho, existen dos raíces cuadradas de NOT:

A=(norte)1=12(1+i)I+12(1−i)norte{\displaystyle A=({\sqrt {N}})_{1}={\frac {1}{2}}(1+i)I+{\frac {1}{2}}(1-i)N}, y
B=(norte)2=12(1−i)I+12(1+i)norte{\displaystyle B=({\sqrt {N}})_{2}={\frac {1}{2}}(1-i)I+{\frac {1}{2}}(1+i)N},

coni=−1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}.A{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}son conjugados complejos:B=A∗{\displaystyle B=A^{*}}y tenga en cuenta queA2=B2=norte{\displaystyle A^{2}=B^{2}=N}, yAB=BA=I{\displaystyle AB=BA=I}Otro punto interesante es la analogía con las dos raíces cuadradas de -1. La raíz positiva+(−1){\displaystyle +({\sqrt {-1}})}corresponde a(norte)1=IA{\displaystyle ({\sqrt {N}})_{1}=IA}y la raíz negativa−(−1){\displaystyle -({\sqrt {-1}})}corresponde a(norte)2=norteA{\displaystyle ({\sqrt {N}})_{2}=NA}; como consecuencia,norteA=B{\displaystyle NA=B}.

Historia

Los primeros intentos de utilizar el álgebra lineal para representar operaciones lógicas pueden remitirse a Peirce y Copilowish , [ 15 ] particularmente en el uso de matrices lógicas para interpretar el cálculo de relaciones .

El enfoque se ha inspirado en modelos de redes neuronales basados ​​en el uso de matrices y vectores de alta dimensión. [ 16 ] [ 17 ] La lógica vectorial es una traducción directa a un formalismo matricial-vectorial de los polinomios booleanos clásicos . [ 18 ] Este tipo de formalismo se ha aplicado para desarrollar una lógica difusa en términos de números complejos . [ 19 ] Otros enfoques matriciales y vectoriales para el cálculo lógico se han desarrollado en el marco de la física cuántica , la informática y la óptica . [ 20 ] [ 21 ]

El biofísico indio GN Ramachandran desarrolló un formalismo que utiliza matrices algebraicas y vectores para representar muchas operaciones de la lógica jainista clásica conocida como Syad y Saptbhangi; véase lógica india . [ 22 ] Requiere evidencia afirmativa independiente para cada afirmación en una proposición y no asume la complementación binaria.

Polinomios booleanos

George Boole estableció el desarrollo de las operaciones lógicas como polinomios. [ 18 ] Para el caso de operadores monádicos (como la identidad o la negación ), los polinomios booleanos se ven de la siguiente manera:

F(incógnita)=F(1)incógnita+F(0)(1−incógnita){\displaystyle f(x)=f(1)x+f(0)(1-x)}

Las cuatro operaciones monádicas diferentes resultan de los distintos valores binarios de los coeficientes. La operación de identidad requiere f (1)  =  1 y f (0)  =  0, y la negación ocurre si f (1)  =  0 y f (0)  =  1. Para los 16 operadores diádicos, los polinomios booleanos son de la forma:

F(incógnita,y)=F(1,1)incógnitay+F(1,0)incógnita(1−y)+F(0,1)(1−incógnita)y+F(0,0)(1−incógnita)(1−y){\displaystyle f(x,y)=f(1,1)xy+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(0,0)(1-x)(1-y)}

Las operaciones diádicas pueden traducirse a este formato polinómico cuando los coeficientes f toman los valores indicados en las tablas de verdad correspondientes . Por ejemplo: la operación NAND requiere que:

F(1,1)=0{\displaystyle f(1,1)=0} y F(1,0)=F(0,1)=F(0,0)=1{\displaystyle f(1,0)=f(0,1)=f(0,0)=1}.

Estos polinomios booleanos pueden extenderse inmediatamente a cualquier número de variables, generando una gran variedad potencial de operadores lógicos. En lógica vectorial, la estructura matricial-vectorial de los operadores lógicos es una traducción exacta al formato del álgebra lineal de estos polinomios booleanos, donde x y 1 − x corresponden a los vectores s y n respectivamente (lo mismo para y y 1 − y ). En el ejemplo de NAND, f (1,1)= n y f (1,0)= f (0,1)= f (0,0)= s y la versión matricial se convierte en:

S=norte(s⊗s)T+s[(s⊗norte)T+(norte⊗s)T+(norte⊗norte)T]{\displaystyle S=n(s\otimes s)^{T}+s[(s\otimes n)^{T}+(n\otimes s)^{T}+(n\otimes n)^{T}]}

Extensiones

  • La lógica vectorial puede extenderse para incluir muchos valores de verdad, ya que los espacios vectoriales de gran dimensión permiten la creación de muchos valores de verdad ortogonales y las matrices lógicas correspondientes. [ 2 ]
  • Las modalidades lógicas pueden representarse completamente en este contexto, con un proceso recursivo inspirado en modelos neuronales . [ 2 ] [ 23 ]
  • Algunos problemas cognitivos sobre cálculos lógicos pueden analizarse utilizando este formalismo, en particular las decisiones recursivas. Cualquier expresión lógica del cálculo proposicional clásico puede representarse naturalmente mediante una estructura de árbol . [ 7 ] Este hecho se conserva en la lógica vectorial y se ha utilizado parcialmente en modelos neuronales centrados en la investigación de la estructura ramificada de los lenguajes naturales. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]
  • El cálculo mediante operaciones reversibles como la puerta de Fredkin puede implementarse en lógica vectorial. Dicha implementación proporciona expresiones explícitas para los operadores matriciales que producen el formato de entrada y el filtrado de salida necesarios para obtener los cálculos. [ 2 ] [ 6 ]
  • Los autómatas celulares elementales pueden analizarse utilizando la estructura de operadores de la lógica vectorial; este análisis conduce a una descomposición espectral de las leyes que rigen su dinámica. [ 30 ] [ 31 ]
  • Además, basándose en este formalismo, se ha desarrollado un cálculo diferencial e integral discreto. [ 32 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Mizraji, E. (1992). Lógicas vectoriales: la representación matricial-vectorial del cálculo lógico. Fuzzy Sets and Systems, 50, 179–185
  2. 1 2 3 4 5 Mizraji, E. (2008) Lógica vectorial: una representación algebraica natural de las compuertas lógicas fundamentales. Journal of Logic and Computation, 18, 97–121
  3. ↑ Westphal, J. y Hardy, J. (2005) La lógica como sistema vectorial. Journal of Logic and Computation, 751-765
  4. ↑ Westphal, J. Caulfield, HJ Hardy, J. y Qian, L. (2005) Demostración de teoremas de lógica vectorial óptica. Actas de la Conferencia Conjunta sobre Sistemas de Información, División de Fotónica, Redes y Computación.
  5. ↑ Westphal, J (2010). La aplicación de la teoría vectorial a la lógica silogística. Nuevas perspectivas sobre el cuadrado de oposición, Berna, Peter Lang.
  6. 1 2 3 Mizraji, E. (1996) Los operadores de la lógica vectorial. Mathematical Logic Quarterly, 42, 27–39
  7. 1 2 Suppes, P. (1957) Introducción a la lógica, Van Nostrand Reinhold, Nueva York.
  8. ^ Łukasiewicz, J. (1980) Obras seleccionadas. L. Borkowski, ed., págs. 153-178. Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1980
  9. ↑ Rescher, N. (1969) Lógica multivaluada. McGraw-Hill, Nueva York
  10. ^ Blanché, R. (1968) Introducción a la lógica contemporánea, Armand Colin, París
  11. ↑ Klir, GJ , Yuan, G. (1995) Conjuntos difusos y lógica difusa. Prentice–Hall, Nueva Jersey
  12. ↑ Hayes, B. (1995) La raíz cuadrada de NOT. American Scientist, 83, 304–308
  13. ↑ Deutsch, D., Ekert, A. y Lupacchini, R. (2000) Máquinas, lógica y física cuántica. The Bulletin of Symbolic Logic, 6, 265-283.
  14. ↑ Mizraji, E. (2020). La lógica vectorial permite la virtualización contrafactual mediante la raíz cuadrada de NOT, Logic Journal of the IGPL. Versión en línea ( doi : 10.1093/jigpal/jzaa026 )
  15. ↑ Copilowish, IM (1948) Desarrollo matricial del cálculo de relaciones. Journal of Symbolic Logic, 13, 193–203
  16. ↑ Kohonen, T. (1977) Memoria asociativa: un enfoque sistémico-teórico. Springer-Verlag, Nueva York
  17. ↑ Mizraji, E. (1989) Asociaciones dependientes del contexto en memorias distribuidas lineales . Boletín de Biología Matemática, 50, 195–205
  18. 1 2 Boole, G. (1854) Una investigación de las leyes del pensamiento, en las que se fundamentan las teorías de la lógica y las probabilidades. Macmillan, Londres, 1854; Dover, Nueva York. Reedición, 1958.
  19. ↑ Dick, S. (2005) Hacia la lógica difusa compleja. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 15, 405–414, 2005
  20. ^ Mittelstaedt, P. (1968) Philosophische Probleme der Modernen Physik, Bibliographisches Institut, Mannheim
  21. ↑ Stern, A. (1988) Lógica matricial: teoría y aplicaciones. North-Holland, Ámsterdam
  22. ↑ Jain, MK (2011) Lógica de las proposiciones de inferencia basadas en la evidencia, Current Science, 1663–1672, 100
  23. ↑ Mizraji, E. (1994) Modalidades en lógica vectorial . Archivado el 11 de agosto de 2014 en Wayback Machine . Notre Dame Journal of Formal Logic, 35, 272–283
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  27. ↑ en Graben, P., Gerth, S., Vasishth, S. (2008) Hacia modelos de sistemas dinámicos de potenciales cerebrales relacionados con el lenguaje. Cogn. Neurodyn., 2, 229–255
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