Teorema de Fubini

El teorema de Fubini establece las condiciones bajo las cuales una integral doble puede calcularse como una integral iterada , es decir, integrando una variable a la vez. Intuitivamente, al igual que el volumen de una barra de pan es el mismo tanto si se suman rebanadas estándar como rebanadas largas y delgadas, el valor de una integral doble no depende del orden de integración cuando se cumplen las hipótesis del teorema. El teorema recibe su nombre de Guido Fubini , quien demostró un resultado general en 1907; los casos especiales ya se conocían con anterioridad gracias a resultados como el principio de Cavalieri , utilizado por Leonhard Euler .

De forma más formal, el teorema establece que si una función es integrable de Lebesgue en un rectángulo $X\times Y$ , entonces se puede evaluar la integral doble como una integral iterada: $\,\iint \limits _{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,\mathrm {d} x\right)\mathrm {d} y.$

Esta fórmula generalmente no es cierta para la integral de Riemann (sin embargo, es cierta si la función es continua en el rectángulo; en cálculo multivariable , este resultado más débil a veces también se denomina teorema de Fubini).

El teorema de Tonelli , introducido por Leonida Tonelli en 1909, es similar, pero se aplica a una función medible no negativa en lugar de a una función integrable sobre su dominio. Los teoremas de Fubini y Tonelli suelen combinarse y forman el teorema de Fubini-Tonelli , que establece las condiciones bajo las cuales es posible cambiar el orden de integración en una integral iterada.

Un resultado relacionado se suele llamar teorema de Fubini para series infinitas , ^{[ 1 ]} aunque se debe a Alfred Pringsheim . ^{[ 2 ]} Afirma que si ${\textstyle \{a_{m,n}\}_{m=1,n=1}^{\infty }}$ es una secuencia de números reales con doble índice, y si ${\textstyle \displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$ es absolutamente convergente , entonces $\sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_ {m,n}.$

Historia

Un caso especial del teorema de Fubini para funciones continuas en el producto de subconjuntos cerrados y acotados de espacios vectoriales reales era conocido por Leonhard Euler en el siglo XVIII. En 1904, Henri Lebesgue extendió este resultado a funciones medibles acotadas en un producto de intervalos. ^{[ 3 ]} Beppo Levi conjeturó que el teorema podría extenderse a funciones integrables en lugar de acotadas, ^{[ 4 ]} y esto fue demostrado por Fubini en 1907. ^{[ 5 ]} En 1909, Leonida Tonelli dio una variación del teorema de Fubini que se aplica a funciones no negativas en lugar de funciones integrables. ^{[ 6 ]}

Medidas del producto

Si $X$ e $Y$ son espacios de medida , existen varias formas naturales de definir una medida de producto en el producto $X \times Y.$

En el sentido de la teoría de categorías , los conjuntos medibles en el producto $X \times Y$ de espacios de medida son los elementos del σ-álgebra generados por los productos $A \times B$ , donde $A$ es medible en $X$ y $B$ es medible en $Y.$

Una medida $μ$ en $X \times Y$ se denomina « medida producto » si $μ (A \times B) = μ 1 (A) μ 2 (B)$ para subconjuntos medibles $A \subset X$ y $B \subset Y$ y medidas $μ 1$ en $X$ y $μ 2$ en $Y$ . En general, puede haber muchas medidas producto diferentes en $X \times Y$ . Tanto el teorema de Fubini como el de Tonelli requieren condiciones técnicas para evitar esta complicación; el enfoque más común es suponer que todos los espacios de medida son σ-finitos , en cuyo caso hay una única medida producto en $X \times Y$ . Siempre hay una única medida producto maximal en $X \times Y$ , donde la medida de un conjunto medible es el inf de las medidas de los conjuntos que lo contienen que son uniones numerables de productos de conjuntos medibles. La medida producto máxima se puede construir aplicando el teorema de extensión de Carathéodory a la función aditiva $μ$ tal que $μ (A \times B) = μ 1 (A) μ 2 (B)$ en el anillo de conjuntos generado por productos de conjuntos medibles. (El teorema de extensión de Carathéodory proporciona una medida en un espacio de medida que, en general, contiene más conjuntos medibles que el espacio de medida $X \times Y$ ; por lo tanto, estrictamente hablando, la medida debería restringirse al σ-álgebra generada por los productos $A \times B$ de subconjuntos medibles de $X$ e $Y$ ).

El producto de dos espacios de medida completos no suele ser completo. Por ejemplo, el producto de la medida de Lebesgue en el intervalo unitario $I$ consigo mismo no es la medida de Lebesgue en el cuadrado $I \times I.$ Existe una variación del teorema de Fubini para medidas completas, que utiliza la completitud del producto de medidas en lugar del producto incompleto.

Para funciones integrables

Supongamos que $X$ e $Y$ son espacios de medida σ-finitos y supongamos que $X \times Y$ tiene dada la medida producto (que es única ya que $X$ e $Y$ son σ-finitos). El teorema de Fubini establece que si $f$ es integrable en $X \times Y$ , lo que significa que $f$ es una función medible y $\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,\mathrm {d} (x,y)<\infty,$ entonces $\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y).$

Las dos primeras integrales son integrales iteradas con respecto a dos medidas, respectivamente, y la tercera es una integral con respecto a la medida producto. Las integrales parciales ${\textstyle \int _ {Y}f(x,y)\,\mathrm {d} y}$ y ${\textstyle \int _ {X}f(x,y)\,\mathrm {d} x}$ No es necesario que estén definidos en todas partes, pero esto no importa ya que los puntos donde no están definidos forman un conjunto de medida 0.

Si la integral anterior del valor absoluto no es finita, entonces las dos integrales iteradas pueden tener valores diferentes .

La condición de que $X$ e $Y$ sean σ-finitos suele ser inofensiva porque casi todos los espacios de medida para los que se desea usar el teorema de Fubini son σ-finitos. El teorema de Fubini tiene algunas extensiones bastante técnicas para el caso en que no se supone que $X$ e $Y$ sean σ-finitos. ^{[ 7 ]} La principal complicación adicional en este caso es que puede haber más de una medida producto en $X \times Y.$ El teorema de Fubini sigue siendo válido para la medida producto máxima, pero puede fallar para otras medidas producto. Por ejemplo, hay una medida producto y una función medible no negativa $f$ para la cual la integral doble de $| f |$ es cero, pero las dos integrales iteradas tienen valores diferentes . El teorema de Tonelli y el teorema de Fubini-Tonelli ( ) pueden fallar en espacios no σ-finitos, incluso para la medida producto máxima.

Teorema de Tonelli para funciones medibles no negativas

El teorema de Tonelli , que recibe su nombre deLeonida Tonelli, es una continuación del teorema de Fubini. La conclusión del teorema de Tonelli es idéntica a la del teorema de Fubini, pero la suposición de que $| f |$ tiene una integral finita se reemplaza por la suposición de que $f$ es una función medible no negativa.

El teorema de Tonelli establece que si $(X, A, μ)$ y $(Y, B, ν)$ son espacios de medida σ-finitos , mientras que ${\textstyle f:X\times Y\to [0,\infty ]}$ es una función medible no negativa, entonces $\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y).$

Un caso especial del teorema de Tonelli se encuentra en el intercambio de las sumas, como en ${\textstyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}$ donde $a y xy$ son no negativos para todo $x$ e $y$ . La clave del teorema reside en que el intercambio del orden de suma se mantiene incluso si la serie diverge. En efecto, la única forma en que un cambio en el orden de suma puede modificar la suma es cuando existen subsecuencias que divergen a + $\infty$ y otras que divergen a $-\infty$ . Dado que todos los elementos son no negativos, esto no ocurre en el ejemplo planteado.

Sin la condición de que los espacios de medida sean σ-finitos, estas tres integrales pueden tener valores diferentes. Algunos autores generalizan el teorema de Tonelli a algunos espacios de medida que no son σ-finitos, pero estas generalizaciones suelen añadir condiciones que reducen inmediatamente el problema al caso σ-finito. Por ejemplo, se podría considerar que la σ-álgebra en $A \times B$ es la generada por el producto de subconjuntos de medida finita, en lugar de la generada por todos los productos de subconjuntos medibles, aunque esto tiene la consecuencia indeseable de que las proyecciones del producto a sus factores $A$ y $B$ no son medibles. Otra forma es añadir la condición de que el soporte de $f$ esté contenido en una unión numerable de productos de conjuntos de medidas finitas. D. H. Fremlin ofrece algunas extensiones bastante técnicas del teorema de Tonelli a algunos espacios no σ-finitos. Ninguna de estas generalizaciones ha encontrado aplicaciones significativas fuera de la teoría abstracta de la medida, en gran parte porque casi todos los espacios de medida de interés práctico son σ-finitos. ^{[ 7 ]}

Teorema de Fubini-Tonelli

La combinación del teorema de Fubini con el teorema de Tonelli da como resultado el " teorema de Fubini-Tonelli ". A menudo llamado simplemente teorema de Fubini, establece que si $X$ e $Y$ son espacios de medida σ-finita , y si $f$ es una función medible, entonces $\int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x=\int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} y=\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,\mathrm {d} (x,y)$ Además, si alguna de estas integrales es finita, entonces $\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y).$

En las condiciones anteriores , el valor absoluto de $f$ puede sustituirse por la parte positiva o negativa de $f$ ; estas formas incluyen el teorema de Tonelli como caso particular, ya que la parte negativa de una función no negativa es cero y, por lo tanto, tiene una integral finita. En términos generales, todas estas condiciones indican que la integral doble de $f$ está bien definida, aunque posiblemente sea infinita.

La ventaja del teorema de Fubini-Tonelli sobre el teorema de Fubini radica en que las integrales repetidas de $| f |$ pueden ser más fáciles de estudiar que la integral doble. Al igual que en el teorema de Fubini, las integrales simples pueden no estar definidas en un conjunto de medida cero.

Para obtener medidas completas

Las versiones de los teoremas de Fubini y Tonelli mencionadas anteriormente no se aplican a la integración sobre el producto de la recta real. $\mathbb {R}$ con sí misma con la medida de Lebesgue. El problema es que la medida de Lebesgue en $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ no es producto de la medida de Lebesgue en $\mathbb {R}$ con sí mismo, sino más bien la culminación de esto: un producto de dos espacios de medida completos $X$ y $Y$ En general, no es completa. Por esta razón, a veces se utilizan versiones del teorema de Fubini para medidas completas: en términos generales, se reemplazan todas las medidas por sus completaciones. Las distintas versiones del teorema de Fubini son similares a las versiones anteriores, con las siguientes pequeñas diferencias:

En lugar de tomar un producto $X\times Y$ De dos espacios de medida, uno toma la finalización del producto.
Si $f$ es medible al finalizar $X\times Y$ Entonces, sus restricciones a líneas verticales u horizontales pueden ser inmensurables para un subconjunto de líneas de medida cero, por lo que hay que contemplar la posibilidad de que las integrales verticales u horizontales no estén definidas en un conjunto de medida cero porque implican la integración de funciones no medibles. Esto no supone una gran diferencia, ya que pueden estar indefinidas precisamente porque las funciones no son integrables.
Generalmente también se supone que las medidas sobre $X$ y $Y$ son completas, de lo contrario las dos integrales parciales a lo largo de líneas verticales u horizontales pueden estar bien definidas pero no ser medibles. Por ejemplo, si $f$ es la función característica de un producto de un conjunto medible y un conjunto no medible contenido en un conjunto de medida 0 entonces su integral única está bien definida en todas partes excepto en los conjuntos no medibles.

Pruebas

Las demostraciones de los teoremas de Fubini y Tonelli son necesariamente algo técnicas, ya que deben utilizar una hipótesis relacionada con la σ-finitud . La mayoría de las demostraciones implican construir los teoremas completos demostrándolos para funciones cada vez más complejas, siguiendo los pasos que se describen a continuación.

Utilice el hecho de que la medida del producto es multiplicativa para los rectángulos para demostrar los teoremas de las funciones características de los rectángulos.
Utilice la condición de que los espacios sean σ-finitos (o alguna condición relacionada) para demostrar el teorema de las funciones características de conjuntos medibles. Esto también abarca el caso de funciones medibles simples (funciones medibles que toman solo un número finito de valores).
Utilice la condición de que las funciones sean medibles para demostrar los teoremas de funciones medibles positivas, aproximándolas mediante funciones medibles simples. Esto demuestra el teorema de Tonelli.
Utilizando la condición de que las funciones sean integrables, exprésalas como la diferencia de dos funciones integrables positivas y aplica el teorema de Tonelli a cada una de ellas. Esto demuestra el teorema de Fubini.

Riemann integrals

For Riemann integrals, Fubini's theorem is proven by refining the partitions along the $x$ -axis and $y$ -axis as to create a joint partition of the form $[x i, x i +1] \times [y j, y j +1]$ , which is a partition over $X \times Y$ . This is used to show that the double integrals of either order are equal to the integral over $X \times Y$ .

Counterexamples

The following examples show how Fubini's theorem and Tonelli's theorem can fail if any of their hypotheses are omitted.

Failure of Tonelli's theorem for non σ-finite spaces

Suppose that $X$ is the unit interval with the Lebesgue measurable sets and Lebesgue measure, and $Y$ is the unit interval with all the subsets measurable and the counting measure, so that $Y$ is not σ-finite. If $f$ is the characteristic function of the diagonal of $X \times Y$ , then integrating $f$ along $X$ gives the $0$ function on $Y$ , but integrating $f$ along $Y$ gives the function $1$ on $X$ . So, the two iterated integrals are different. This shows that Tonelli's theorem can fail for spaces that are not σ-finite no matter which product measure is chosen. The measures are both decomposable, showing that Tonelli's theorem fails for decomposable measures (which are slightly more general than σ-finite measures).

Failure of Fubini's theorem for non-maximal product measures

Fubini's theorem holds for spaces even if they are not assumed to be σ-finite provided one uses the maximal product measure. In the example above, for the maximal product measure, the diagonal has infinite measure so the double integral of $| f |$ is infinite, and Fubini's theorem holds vacuously.

However, if we give $X \times Y$ the product measure such that the measure of a set is the sum of the Lebesgue measures of its horizontal sections, then the double integral of $| f |$ is zero, but the two iterated integrals still have different values. This gives an example of a product measure where Fubini's theorem fails.

This gives an example of two different product measures on the same product of two measure spaces. For products of two σ-finite measure spaces, there is only one product measure.

Fallo del teorema de Tonelli para funciones no medibles.

Supongamos que $X$ es el primer ordinal no numerable, con medida finita, donde los conjuntos medibles son numerables (con medida 0) o conjuntos de complemento numerable (con medida 1). El subconjunto (no mensurable) $E$ de $X \times X,$ dado por pares $(x, y)$ con $x < y,$ es numerable en cada línea horizontal y tiene complemento numerable en cada línea vertical. Si $f$ es la función característica de $E$ , entonces las dos integrales iteradas de $f$ están definidas y tienen valores distintos de 1 y 0. La función $f$ no es mensurable. Esto demuestra que el teorema de Tonelli puede fallar para funciones no medibles.

Fallo del teorema de Fubini para funciones no medibles.

Una variación del ejemplo anterior muestra que el teorema de Fubini puede fallar para funciones no medibles incluso si $| f |$ es integrable y ambas integrales repetidas están bien definidas: si tomamos $f$ como 1 en $E$ y –1 en el complemento de $E$ , entonces $| f |$ es integrable en el producto con integral 1, y ambas integrales repetidas están bien definidas, pero tienen valores diferentes 1 y –1.

Wacław Sierpiński demostró que, asumiendo la hipótesis del continuo, se puede identificar $X$ con el intervalo unitario $I$ , por lo que existe una función acotada no negativa en $I \times I$ cuyas dos integrales iteradas (usando la medida de Lebesgue) están definidas pero son diferentes. ^{[ 8 ]} Las versiones más fuertes del teorema de Fubini sobre un producto de dos intervalos unitarios con la medida de Lebesgue, donde ya no se asume que la función sea medible sino simplemente que las dos integrales iteradas están bien definidas y existen, son independientes de los axiomas estándar de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos con el axioma de elección (ZFC). La hipótesis del continuo y el axioma de Martin implican que existe una función en el cuadrado unitario cuyas integrales iteradas no son iguales, mientras que Harvey Friedman demostró que es consistente con ZFC que un teorema fuerte de tipo Fubini para $[0, 1]$ se cumple, y siempre que existan las dos integrales iteradas son iguales. ^{[ 9 ]}

Fallo del teorema de Fubini para funciones no integrables

El teorema de Fubini nos dice que (para funciones medibles en un producto de espacios de medida σ-finita) si la integral del valor absoluto es finita, entonces el orden de integración no importa; si integramos primero con respecto a $x$ y luego con respecto a $y$ , obtenemos el mismo resultado que si integramos primero con respecto a $y$ y luego con respecto a $x$ . La suposición de que la integral del valor absoluto es finita se denomina " integrabilidad de Lebesgue ", y sin ella las dos integrales repetidas pueden tener valores diferentes.

Un ejemplo sencillo para demostrar que las integrales repetidas pueden ser diferentes en general es tomar los dos espacios de medida como los enteros positivos, y tomar la función $f (x, y)$ como $1$ si $x = y$ , $-1$ si $x = y + 1$ , y $0$ en caso contrario. Entonces las dos integrales repetidas tienen valores diferentes $0$ y $1$ .

Otro ejemplo es el siguiente para la función ${\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}\arctan(y/x).$

Las integrales iteradas ${\begin{aligned}\int _ {x=0}^{1}\left(\int _ {y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x&={\frac {\pi }{4}}\\\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} y&=-{\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}$ tienen valores diferentes. La integral doble correspondiente no converge absolutamente (en otras palabras, la integral del valor absoluto no es finita): $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right|\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\infty .$

Teorema de Fubini en multiplicaciones de integrales

Producto de dos integrales

Para el producto de dos integrales con límite inferior cero y un límite superior común, tenemos la siguiente fórmula:

$\left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Prueba

Sean $V (x)$ y $W (x)$ funciones primitivas de las funciones $v (x)$ y $w (x)$ respectivamente, que pasan por el origen: $\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x=V(u),\quad \quad \int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x=W(u).$

Por lo tanto, tenemos $\left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=V(u)W(u)$

Según la regla del producto , la derivada del lado derecho es ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[V(x)W(x)\right]=V(x)w(x)+v(x)W(x)$

y al integrar tenemos: $\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x=V(u)W(u)$

Así, de la ecuación inicial obtenemos: $\left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x$

Ahora introducimos un segundo parámetro de integración $y$ para la descripción de las antiderivadas $V (x)$ y $W (x)$ : ${\begin{alignedat}{3}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y&=\left[V(xy)\right]_{y=0}^{y=1}&&=V(x)\\\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y&=\left[W(xy)\right]_{y=0}^{y=1}&&=W(x)\end{alignedat}}$

Al insertar, aparece una integral doble: $\left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\left[\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y\right]w(x)+v(x)\left[\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y\right]\,\mathrm {d} x$

Las funciones que son ajenas al parámetro de integración en cuestión pueden importarse a la función interna como un factor: $\left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\left[\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)\,\mathrm {d} y\right]+\left[\int _{0}^{1}x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\right]\,\mathrm {d} x$

En el siguiente paso, se aplica la regla de la suma a las integrales: $\left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x$

Y finalmente, utilizamos el teorema de Fubini. $\left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Ejemplos de cálculo

Integral del arcoseno

Los valores de la integral del seno inverso se pueden determinar intercambiando el orden de integración mediante el teorema de Fubini. Al expandir el integrando e intercambiar las variables de integración, se puede encontrar una antiderivada elemental:

${\begin{aligned}\operatorname {Si} _{2}(1)&=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y\\&=\left\{{\frac {\pi }{2}}\ln \left[2\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]\right\}_{y=0}^{y=1}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)\end{aligned}}$

Función eta de Dirichlet

La serie de Dirichlet define la función eta de Dirichlet de la siguiente manera: $\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}\pm \cdots$

El valor $\eta (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}$ puede demostrarse utilizando el teorema de Fubini. La condición de convergencia absoluta requerida para intercambiar la suma y la integral se satisface porque $\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n-1}\right|\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}<\infty$ La evaluación se desarrolla de la siguiente manera: $\eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(x+1)}{x}}\,\mathrm {d} x$

La integral del producto de la función recíproca y el logaritmo natural es una integral polilogarítmica . El teorema de Fubini permite evaluarla traduciendo el integrando a una combinación de fracciones racionales: ${\begin{aligned}&\int _{0}^{1}{\frac {\ln(x+1)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}{\frac {2\arccos(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y=\left[{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {1}{3}}\arccos(y)^{2}\right]_{y=0}^{y=1}\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}={\frac {\pi ^{2}}{12}}\end{aligned}}$

Este método de cálculo de la integral fue descubierto por James Harper. ^{[ 10 ]}

Integrales de integrales elípticas completas

La integral impropia de la integral elíptica completa de primera especie , $K(x)$ , se evalúa al doble de la constante de Catalan , $C$ Esto se puede demostrar utilizando el teorema de Fubini para relacionar la expresión con la integral arcotangente : ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}K(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(y)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\\&=\left\{2\,\mathrm {Ti} _{2}\left[y\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]\right\}_{y=0}^{y=1}\\&=2\,\mathrm {Ti} _{2}(1)=2\beta (2)=2\,C\end{aligned}}$

El mismo procedimiento se aplica a la integral elíptica completa de segundo tipo , $E(x)$ : ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}E(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left[{\frac {\arcsin(y)}{2y{\sqrt {1-y^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}\right]\,\mathrm {d} y\\&=\left\{\mathrm {Ti} _{2}\left[y\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]+{\frac {1}{2}}y\right\}_{y=0}^{y=1}\\&=\mathrm {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=\beta (2)+{\frac {1}{2}}=C+{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Doble ejecución para la función integral exponencial

La constante de Euler-Mascheroni , $\gamma$ , surge como la integral impropia de cero a infinito del producto del logaritmo natural negativo y la función de decaimiento exponencial . También puede representarse como una integral impropia de una diferencia relacionada: $\gamma =\int _{0}^{\infty }{\frac {-\ln(x)}{\exp(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}\left[{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x)\right]\,\mathrm {d} x$

La equivalencia de estas dos integrales se puede demostrar aplicando dos veces el teorema de Fubini, relacionando ambas con la función integral exponencial complementaria : $\mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y$

La derivada de la función exponencial integral complementaria es: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-{\frac {1}{x}}\exp(-x)$

Aplicando el teorema de Fubini a la primera forma integral se obtiene: ${\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\left[\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}\right]\,\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Aplicando el teorema de Fubini a la integral intermedia, se la conecta con la segunda forma: ${\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left[\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}\right]\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xz)\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xz)\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{z}}\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} z\end{aligned}}$

Integral de distribución normal

Utilizando la identidad para elevar al cuadrado una integral: $\left[\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\right]^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\,f(x)\,f(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

La integral de la distribución normal se puede evaluar: ${\begin{aligned}\left[\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x\right]^{2}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp \left[-x^{2}(y^{2}+1)\right]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left\{-{\frac {1}{y^{2}+1}}\exp \left[-x^{2}(y^{2}+1)\right]\right\}_{x=0}^{x=\infty }\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y\\&=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}$

Al tomar la raíz cuadrada se obtiene: $\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

Dilogaritmo de uno

Utilizando una fórmula similar para elevar al cuadrado una integral sobre un límite finito: $\left[\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right]^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}2x\,g(x)\,g(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Esto se puede aplicar al problema de Basilea : ${\begin{aligned}{\frac {\pi ^{2}}{4}}&=\left(\arcsin(1)\right)^{2}=\left[\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\right]^{2}\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {2x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left[{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)-{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} \left({\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\right)\right]_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y\\&=\left[2\,\mathrm {Li} _{2}(y)-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(y^{2})\right]_{y=0}^{y=1}\\&={\frac {3}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(1)\end{aligned}}$

Para el dilogaritmo de uno, esto resulta en: $\mathrm {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

La relación de Legendre

Utilizando la fórmula generalizada del producto: $\left[\int _{0}^{1}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{1}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left(x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Las siguientes integrales se pueden calcular utilizando integrales elípticas incompletas de primer y segundo tipo como antiderivadas: ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x&=\left\{-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\\\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x&=\left\{{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]-{\sqrt {2}}\,E\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\left[2\,E\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)-K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\right]\end{aligned}}$

Al insertar estas dos integrales en la fórmula del producto, obtenemos: ${\begin{aligned}&\left[\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}\left\{{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} \left({\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\left[\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2\,y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]_{y=0}^{y=1}\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}$

Para el caso especial lemniscático de la relación de Legendre , se obtiene: $K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\left[2\,E\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)-K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\right]={\frac {\pi }{2}}$

Véase también

Principio de Cavalieri : concepto geométrico que relaciona área y volumen ; un caso particular temprano.
Fórmula de Coarea – Fórmula matemática – generalización a la teoría de la medida geométrica
Teorema de desintegración : teorema de la teoría de la medida, recíproco restringido del teorema de Fubini.
Teorema de Fubini para distribuciones : versión del teorema de Fubini para distribuciones, es decir, funciones generalizadas.
Teorema de Kuratowski-Ulam : análogo del teorema de Fubini para segundos espacios de Baire contables arbitrarios
Simetría de las segundas derivadas : análogo de la diferenciación.
La pesadilla de Fubini : aparente violación del teorema de Fubini

Referencias

↑ Tao, Terence (2016), Análisis I , Springer, pág. 188, ISBN 9789811017896
↑ Whittaker, ET; Watson, GN (1902), A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press
↑ Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctionsprimitives [ Lecciones sobre integración y búsqueda de funciones primitivas ] (en francés), París: Gauthier-Villars
^ Levi, Beppo (1906). "Sopra la integración delle serie". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 22 : 293– 303. doi : 10.1007/BF03018066 .
↑ Fubini, Guido (1907), "Sugli integrali multipli" [ Sobre las integrales múltiples ] , Rom. Acc. L. Rend. (5) (en italiano), 16 (1): 608– 614, JFM 38.0343.02 ; reimpreso en Fubini, G. (1958), Opere scelte [ Obras escogidas ] (en italiano), vol. 2 , Cremonese, págs. 243-249
↑ Tonelli, Leonida (1909), "Sull'integrazione per parti" [ Sobre la integración por partes ] , Atti della Accademia Nazionale dei Lincei [ Actas de la Academia Nacional Linceana ] , (5) (en italiano), 18 (2): 246– 253
1 2 Fremlin (2003) .
↑ Sierpiński, Wacław (1920), "Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement" [ Sobre un problema relativo a conjuntos superficialmente mensurables ] , Fundamenta Mathematicae (en francés), 1 (1): 112– 115, doi : 10.4064/fm-1-1-112-115
↑ Friedman, Harvey (1980), "Un teorema consistente de Fubini-Tonelli para funciones no medibles" , Illinois Journal of Mathematics , 24 (3): 390–395 , doi : 10.1215/ijm/1256047607 , MR 0573474
↑ Harper, James D. (2003). "Otra prueba sencilla de ${\textstyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ". The American Mathematical Monthly . 110 (6): 540– 541. doi : 10.2307/3647912 . JSTOR 3647912 .

Lecturas adicionales

Billingsley, Patrick (1995), "Product Measure and Fubini's Theorem", Probability and Measure , Nueva York: Wiley, pp. 231–240 , ISBN 0-471-00710-2
DiBenedetto, Emmanuele (2002), Análisis real , Birkhäuser Textos avanzados: Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-1-4612-0117-5 , ISBN 0-8176-4231-5, MR 1897317
Fremlin, DH (2003), Teoría de la medida , vol. 2, Colchester: Torres Fremlin, ISBN 0-9538129-2-8, MR 2462280
Weir, Alan J. (1973), "Teorema de Fubini", Integración y medida de Lebesgue , Cambridge: Cambridge University Press, pp. 83–92 , ISBN 0-521-08728-7

Enlaces externos

Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Teorema de Fubini" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[1] Tao, Terence (2016), Análisis I , Springer, pág. 188, ISBN 9789811017896

[2] Whittaker, ET; Watson, GN (1902), A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press

[3] Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctionsprimitives [ Lecciones sobre integración y búsqueda de funciones primitivas ] (en francés), París: Gauthier-Villars

[4] Levi, Beppo (1906). "Sopra la integración delle serie". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 22 : 293– 303. doi : 10.1007/BF03018066 .

[5] Fubini, Guido (1907), "Sugli integrali multipli" [ Sobre las integrales múltiples ] , Rom. Acc. L. Rend. (5) (en italiano), 16 (1): 608– 614, JFM 38.0343.02 ; reimpreso en Fubini, G. (1958), Opere scelte [ Obras escogidas ] (en italiano), vol. 2 , Cremonese, págs. 243-249

[6] Tonelli, Leonida (1909), "Sull'integrazione per parti" [ Sobre la integración por partes ] , Atti della Accademia Nazionale dei Lincei [ Actas de la Academia Nacional Linceana ] , (5) (en italiano), 18 (2): 246– 253

[FOOTNOTEFremlin2003-7] 1 2 Fremlin (2003) .

[8] Sierpiński, Wacław (1920), "Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement" [ Sobre un problema relativo a conjuntos superficialmente mensurables ] , Fundamenta Mathematicae (en francés), 1 (1): 112– 115, doi : 10.4064/fm-1-1-112-115

[9] Friedman, Harvey (1980), "Un teorema consistente de Fubini-Tonelli para funciones no medibles" , Illinois Journal of Mathematics , 24 (3): 390–395 , doi : 10.1215/ijm/1256047607 , MR 0573474

[10] Harper, James D. (2003). "Otra prueba sencilla de ${\textstyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ". The American Mathematical Monthly . 110 (6): 540– 541. doi : 10.2307/3647912 . JSTOR 3647912 .

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