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Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo

En el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo, se utiliza la "red de Yee" para discretizar espacialmente las ecuaciones de Maxwell . Este esquema implica la dispo...

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En el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo, se utiliza la "red de Yee" para discretizar espacialmente las ecuaciones de Maxwell . Este esquema implica la disposición de los campos eléctricos y magnéticos en una cuadrícula escalonada.

El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo ( FDTD ) o método de Yee (llamado así en honor al matemático aplicado chino-estadounidense Kane S. Yee , nacido en 1934) es una técnica de análisis numérico utilizada para modelar la electrodinámica computacional .

Historia

Los esquemas de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales (EDP) dependientes del tiempo se han empleado durante muchos años en problemas de dinámica de fluidos computacional , [ 1 ] incluyendo la idea de usar operadores de diferencias finitas centrados en mallas escalonadas en el espacio y el tiempo para lograr una precisión de segundo orden. [ 1 ] La novedad del esquema FDTD de Yee, presentado en su artículo seminal de 1966, [ 2 ] fue aplicar operadores de diferencias finitas centrados en mallas escalonadas en el espacio y el tiempo para cada componente del campo vectorial eléctrico y magnético en las ecuaciones de rotacional de Maxwell. El descriptor "dominio temporal de diferencias finitas" y su correspondiente acrónimo "FDTD" fueron originados por Allen Taflove en 1980. [ 3 ] Desde aproximadamente 1990, las técnicas FDTD han surgido como medios primarios para modelar computacionalmente muchos problemas científicos y de ingeniería que tratan con interacciones de ondas electromagnéticas con estructuras materiales. Las aplicaciones actuales de modelado FDTD abarcan desde la corriente continua cercana ( geofísica de frecuencia ultrabaja que involucra toda la guía de ondas Tierra- ionosfera ) hasta las microondas (tecnología de firma de radar, antenas , dispositivos de comunicaciones inalámbricas, interconexiones digitales, imágenes/tratamientos biomédicos) y la luz visible ( cristales fotónicos , nanoplasmónica , solitones y biofotónica ) . [ 4 ] En 2006, se estima que aparecieron 2000 publicaciones relacionadas con FDTD en la literatura científica y de ingeniería (ver Popularidad ). A partir de 2013, hay al menos 25 proveedores de software FDTD comerciales/propietarios; 13 proyectos de software FDTD de software libre/ de código abierto ; y 2 ​​proyectos de software FDTD de software libre/de código cerrado, algunos no para uso comercial (ver Enlaces externos ).

Desarrollo de las ecuaciones FDTD y de Maxwell

Para comprender los fundamentos, el desarrollo técnico y el posible futuro de las técnicas numéricas FDTD para las ecuaciones de Maxwell, es necesario considerar primero su historia. A continuación, se enumeran algunas de las publicaciones clave en este campo.

Modelos y métodos FDTD

Al examinar las ecuaciones diferenciales de Maxwell , se observa que la variación del campo eléctrico en el tiempo (la derivada temporal) depende de la variación del campo magnético en el espacio (el rotacional ). Esto da lugar a la relación básica de discretización temporal FDTD, según la cual, en cualquier punto del espacio, el valor actualizado del campo eléctrico en el tiempo depende del valor almacenado del campo eléctrico y del rotacional numérico de la distribución local del campo magnético en el espacio. [ 2 ]

El campo H se actualiza en el tiempo de forma similar. En cualquier punto del espacio, el valor actualizado del campo H depende del valor almacenado del campo H y del rotacional numérico de la distribución local del campo E en el espacio. La iteración de las actualizaciones de los campos E y H da como resultado un proceso de avance en el tiempo en el que análogos de datos muestreados de las ondas electromagnéticas continuas consideradas se propagan en una cuadrícula numérica almacenada en la memoria del ordenador.

Ilustración de una celda de Yee cartesiana estándar utilizada en FDTD, alrededor de la cual se distribuyen los componentes vectoriales de los campos eléctrico y magnético. [ 2 ] Visualizada como un vóxel cúbico , los componentes del campo eléctrico forman las aristas del cubo, y los componentes del campo magnético forman las normales a las caras del cubo. Una red espacial tridimensional consta de múltiples celdas de Yee de este tipo. Una estructura de interacción de ondas electromagnéticas se mapea en la red espacial asignando valores apropiados de permitividad a cada componente del campo eléctrico y de permeabilidad a cada componente del campo magnético.

Esta descripción es válida para las técnicas FDTD unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Al considerar múltiples dimensiones, el cálculo del rotacional numérico puede resultar complejo. El artículo fundamental de Kane Yee de 1966 propuso escalonar espacialmente las componentes vectoriales del campo E y el campo H alrededor de celdas unitarias rectangulares de una cuadrícula computacional cartesiana, de modo que cada componente vectorial del campo E se encuentre a medio camino entre un par de componentes vectoriales del campo H, y viceversa. [ 2 ] Este esquema, ahora conocido como retículo de Yee , ha demostrado ser muy robusto y sigue siendo la base de muchas construcciones de software FDTD actuales.

Además, Yee propuso un esquema de salto de rana para avanzar en el tiempo en el que las actualizaciones del campo E y del campo H se escalonan de manera que las actualizaciones del campo E se realizan a la mitad durante cada paso de tiempo entre actualizaciones sucesivas del campo H, y viceversa. [ 2 ] Como ventaja, este esquema explícito de avance temporal evita la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas y, además, produce una propagación numérica de ondas sin disipación. Como desventaja, este esquema exige un límite superior en el paso de tiempo para garantizar la estabilidad numérica. [ 9 ] Como resultado, ciertas clases de simulaciones pueden requerir muchos miles de pasos de tiempo para completarse.

Utilizando el método FDTD

Para implementar una solución FDTD de las ecuaciones de Maxwell, primero se debe establecer un dominio computacional. El dominio computacional es simplemente la región física sobre la cual se realizará la simulación. Los campos E y H se determinan en cada punto del espacio dentro de dicho dominio. Se debe especificar el material de cada celda dentro del dominio computacional. Por lo general, el material puede ser aire, metal o dieléctrico . Se puede utilizar cualquier material siempre que se especifiquen la permeabilidad , la permitividad y la conductividad .

La permitividad de los materiales dispersivos en forma tabular no puede sustituirse directamente en el esquema FDTD. En su lugar, puede aproximarse mediante términos de Debye, Drude, Lorentz o de punto crítico. Esta aproximación puede obtenerse mediante programas de ajuste de código abierto [ 67 ] y no necesariamente tiene significado físico.

Una vez establecidos el dominio computacional y los materiales de la malla, se especifica una fuente. Esta fuente puede ser una corriente en un cable, un campo eléctrico aplicado o una onda plana incidente. En este último caso, FDTD puede utilizarse para simular la dispersión de la luz en objetos de forma arbitraria, estructuras periódicas planas con diversos ángulos de incidencia, [ 68 ] [ 69 ] y la estructura de bandas fotónicas de estructuras periódicas infinitas. [ 70 ] [ 71 ]

Dado que los campos E y H se determinan directamente, el resultado de la simulación suele ser el campo E o H en un punto o una serie de puntos dentro del dominio computacional. La simulación hace evolucionar los campos E y H a lo largo del tiempo.

El procesamiento de los campos E y H obtenidos mediante la simulación puede realizarse. El procesamiento de datos también puede llevarse a cabo mientras la simulación está en curso.

Si bien la técnica FDTD calcula campos electromagnéticos dentro de una región espacial compacta, los campos lejanos dispersos y/o radiados pueden obtenerse mediante transformaciones de campo cercano a campo lejano. [ 14 ]

Estabilidad

Debido a la linealidad del método FDTD, la región de estabilidad de este método puede determinarse mediante el análisis de estabilidad de Von Neumann . Este método supone que los campos eléctricos y magnéticos son proporcionales a una exponencial compleja monocromática. Tras un único paso de tiempo, la magnitud de los campos estables debe permanecer igual o menor. Esto conduce a la condición de Courant-Friedrichs-Lewy , que describe la relación de los parámetros FDTD para garantizar la estabilidad. [ 4 ]

Ventajas del modelado FDTD

Cada técnica de modelado tiene sus puntos fuertes y débiles, y el método FDTD no es una excepción.

  • FDTD es una técnica de modelado versátil que se utiliza para resolver las ecuaciones de Maxwell. Es intuitiva, por lo que los usuarios pueden comprender fácilmente cómo usarla y qué esperar de un modelo determinado.
  • FDTD es una técnica en el dominio del tiempo, y cuando se utiliza un pulso de banda ancha (como un pulso gaussiano) como fuente, se puede obtener la respuesta del sistema en un amplio rango de frecuencias con una sola simulación. Esto resulta útil en aplicaciones donde las frecuencias de resonancia no se conocen con exactitud, o siempre que se desee un resultado de banda ancha.
  • Dado que FDTD calcula los campos E y H en todo el dominio computacional a medida que evolucionan en el tiempo, permite generar representaciones animadas del movimiento del campo electromagnético a través del modelo. Este tipo de representación es útil para comprender lo que sucede en el modelo y para asegurar su correcto funcionamiento.
  • La técnica FDTD permite al usuario especificar el material en todos los puntos del dominio computacional. Se puede modelar de forma natural y sencilla una amplia variedad de materiales dieléctricos y magnéticos, tanto lineales como no lineales.
  • El método FDTD permite determinar directamente los efectos de las aperturas. Se pueden encontrar los efectos de apantallamiento y los campos tanto dentro como fuera de una estructura, ya sea de forma directa o indirecta.
  • FDTD utiliza directamente los campos E y H. Dado que la mayoría de las aplicaciones de modelado EMI/EMC están interesadas en los campos E y H, resulta conveniente que no sea necesario realizar conversiones después de que se haya ejecutado la simulación para obtener estos valores.

Debilidades del modelado FDTD

Dispersión numérica de una señal de pulso cuadrado en un esquema FDTD unidimensional simple. Los artefactos de oscilación alrededor de los bordes del pulso se acentúan notablemente ( fenómeno de Gibbs ) y la señal se distorsiona a medida que se propaga, incluso en ausencia de un medio dispersivo . Este artefacto es consecuencia directa del esquema de discretización. [ 4 ]
  • Dado que FDTD requiere que todo el dominio computacional esté discretizado en una malla, y que la discretización espacial de la malla sea lo suficientemente fina para resolver tanto la longitud de onda electromagnética más pequeña como la característica geométrica más pequeña del modelo, se pueden desarrollar dominios computacionales muy grandes, lo que resulta en tiempos de solución muy prolongados. Los modelos con características largas y delgadas (como cables) son difíciles de modelar en FDTD debido al dominio computacional excesivamente grande que se requiere. Métodos como la expansión de modos propios pueden ofrecer una alternativa más eficiente, ya que no requieren una malla fina a lo largo de la dirección z. [ 72 ]
  • No existe forma de determinar valores únicos para la permitividad y la permeabilidad en la interfaz de un material.
  • Los pasos espaciales y temporales deben satisfacer la condición CFL , o es probable que la integración por saltos utilizada para resolver la ecuación diferencial parcial se vuelva inestable.
  • FDTD encuentra los campos E/H directamente en todo el dominio computacional. Si se desean los valores del campo a cierta distancia, es probable que esta distancia obligue a que el dominio computacional sea excesivamente grande. Existen extensiones de campo lejano para FDTD, pero requieren cierto grado de posprocesamiento. [ 4 ]
  • Dado que las simulaciones FDTD calculan los campos E y H en todos los puntos dentro del dominio computacional, este debe ser finito para permitir su almacenamiento en la memoria del ordenador. En muchos casos, esto se logra insertando límites artificiales en el espacio de simulación. Es necesario tener cuidado para minimizar los errores introducidos por dichos límites. Existen varias condiciones de contorno absorbentes (ABC) altamente efectivas para simular un dominio computacional infinito e ilimitado. [ 4 ] La mayoría de las implementaciones modernas de FDTD utilizan un "material" absorbente especial, denominado capa perfectamente adaptada (PML), para implementar límites absorbentes. [ 42 ] [ 47 ]
  • Dado que FDTD se resuelve propagando los campos en el dominio del tiempo, la respuesta temporal electromagnética del medio debe modelarse explícitamente. Para una respuesta arbitraria, esto implica una convolución temporal computacionalmente costosa, aunque en la mayoría de los casos la respuesta temporal del medio (o dispersión (óptica) ) puede modelarse de forma adecuada y sencilla utilizando la técnica de convolución recursiva (RC), la técnica de ecuaciones diferenciales auxiliares (ADE) o la técnica de transformada Z. Una forma alternativa de resolver las ecuaciones de Maxwell que puede tratar fácilmente la dispersión arbitraria es el dominio espacial pseudoespectral (PSSD) , que en cambio propaga los campos en el espacio.

Técnicas de truncamiento de cuadrícula

Las técnicas de truncamiento de malla más comúnmente utilizadas para problemas de modelado FDTD de región abierta son la condición de contorno absorbente (ABC) de Mur, [ 13 ] la ABC de Liao, [ 16 ] y varias formulaciones de capa perfectamente adaptada (PML). [ 4 ] [ 43 ] [ 42 ] [ 47 ] Las técnicas de Mur y Liao son más simples que PML. Sin embargo, PML (que técnicamente es una región absorbente en lugar de una condición de contorno propiamente dicha ) puede proporcionar órdenes de magnitud menores reflexiones. El concepto de PML fue introducido por J.-P. Berenger en un artículo seminal de 1994 en el Journal of Computational Physics. [ 42 ] Desde 1994, la implementación original de campo dividido de Berenger ha sido modificada y extendida a la PML uniaxial (UPML), la PML convolucional (CPML) y la PML de orden superior. Las dos últimas formulaciones de PML tienen una mayor capacidad para absorber ondas evanescentes y, por lo tanto, en principio, pueden situarse más cerca de una estructura de dispersión o radiación simulada que la formulación original de Berenger.

Para reducir la reflexión numérica no deseada del PML se puede utilizar la técnica de capas absorbentes posteriores adicionales. [ 73 ]

Popularidad

A pesar del aumento general en la producción de publicaciones académicas durante el mismo período y la expansión general del interés en todas las técnicas de electromagnetismo computacional (CEM), existen siete razones principales para la tremenda expansión del interés en los enfoques de solución computacional FDTD para las ecuaciones de Maxwell:

  1. FDTD no requiere inversión de matriz. Al ser un cálculo totalmente explícito, FDTD evita las dificultades de las inversiones de matriz que limitan el tamaño de los modelos electromagnéticos de ecuaciones integrales y elementos finitos en el dominio de la frecuencia a, generalmente, menos de 10⁹ incógnitas del campo electromagnético. [ 4 ] Se han ejecutado modelos FDTD con hasta 10⁹ incógnitas de campo; no existe un límite superior intrínseco para este número. [ 4 ]
  2. FDTD es preciso y robusto. Las fuentes de error en los cálculos de FDTD se comprenden bien y se pueden acotar para permitir modelos precisos para una gran variedad de problemas de interacción de ondas electromagnéticas. [ 4 ]
  3. FDTD trata el comportamiento impulsivo de forma natural. Al ser una técnica en el dominio del tiempo, FDTD calcula directamente la respuesta impulsional de un sistema electromagnético. Por lo tanto, una sola simulación FDTD puede proporcionar formas de onda temporales de banda ultraancha o la respuesta sinusoidal en estado estacionario a cualquier frecuencia dentro del espectro de excitación. [ 4 ]
  4. FDTD trata el comportamiento no lineal de forma natural. Al ser una técnica en el dominio del tiempo, FDTD calcula directamente la respuesta no lineal de un sistema electromagnético. Esto permite la hibridación natural de FDTD con conjuntos de ecuaciones diferenciales auxiliares que describen las no linealidades desde el punto de vista clásico o semiclasico. [ 4 ] Una frontera de investigación es el desarrollo de algoritmos híbridos que combinan modelos electrodinámicos clásicos de FDTD con fenómenos derivados de la electrodinámica cuántica, especialmente fluctuaciones del vacío, como el efecto Casimir . [ 4 ] [ 74 ]
  5. FDTD es un enfoque sistemático. Con FDTD, especificar una nueva estructura a modelar se reduce a un problema de generación de malla en lugar de la reformulación potencialmente compleja de una ecuación integral. Por ejemplo, FDTD no requiere el cálculo de funciones de Green dependientes de la estructura. [ 4 ]
  6. Las arquitecturas de computadoras de procesamiento paralelo han llegado a dominar la supercomputación. FDTD escala con alta eficiencia en computadoras basadas en CPU de procesamiento paralelo y extremadamente bien en la tecnología de aceleradores basada en GPU de reciente desarrollo. [ 4 ]
  7. Las capacidades de visualización por computadora están aumentando rápidamente. Si bien esta tendencia influye positivamente en todas las técnicas numéricas, resulta particularmente ventajosa para los métodos FDTD, que generan matrices de magnitudes de campo en función del tiempo, adecuadas para su uso en videos en color para ilustrar la dinámica del campo. [ 4 ]
  8. La anisotropía se trata de forma natural mediante el método FDTD. Las celdas de Yee, que tienen componentes en cada dirección cartesiana, pueden configurarse fácilmente con características anisotrópicas. [ 4 ]

Taflove ha argumentado que estos factores se combinan para sugerir que FDTD seguirá siendo una de las técnicas dominantes de electrodinámica computacional (así como potencialmente otros problemas multifísicos ). [ 4 ]

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

El siguiente artículo en Nature Milestones: Photons ilustra la importancia histórica del método FDTD en relación con las ecuaciones de Maxwell:

  • David Pile (mayo de 2010). "Hito 2 (1861) Ecuaciones de Maxwell" . Nature Milestones: Photons . doi : 10.1038/nmat2639 . Consultado el 17 de junio de 2010 .

La entrevista a Allen Taflove, titulada "Solución numérica", se publicó en el número especial de enero de 2015 de Nature Photonics, en conmemoración del 150 aniversario de la publicación de las ecuaciones de Maxwell. Esta entrevista aborda cómo el desarrollo de FDTD se relaciona con el siglo y medio de historia de la teoría de la electrodinámica de Maxwell.

  • Entrevista de Nature Photonics

Los siguientes libros de texto de nivel universitario proporcionan una buena introducción general al método FDTD:

  • Karl S. Kunz; Raymond J. Luebbers (1993). El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo para electromagnetismo . CRC Press. ISBN 978-0-8493-8657-2Archivado del original el 10/12/2007 . Consultado el 05/08/2006 .
  • Allen Taflove ; Susan C. Hagness (2005). Electrodinámica computacional: El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo, 3.ª ed . Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9.
  • Wenhua Yu; Raj Mittra; Tao Su; Yongjun Liu; Xiaoling Yang (2006). Método paralelo de diferencias finitas en el dominio del tiempo . Artech House Publishers. ISBN 978-1-59693-085-8.
  • John B. Schneider (2010). Comprensión del método FDTD . Disponible en línea.

Proyectos FDTD de software libre / de código abierto :

  • FDTD++ : software FDTD avanzado y completo, con modelos de materiales sofisticados y ajustes predefinidos, además de foros de discusión/soporte y asistencia por correo electrónico.
  • openEMS (Solucionador EC-FDTD de malla graduada cartesiana y cilíndrica totalmente 3D, escrito en C++, que utiliza una interfaz Matlab / Octave )
  • pFDTD (códigos FDTD 3D en C++ desarrollados por Se-Heon Kim)
  • JFDTD (códigos FDTD en C++ 2D/3D desarrollados para nanofotónica por Jeffrey M. McMahon)
  • WOLFSIM Archivado el 2 de julio de 2008 en Wayback Machine (NCSU) (2-D)
  • Meep ( MIT , FDTD paralelo 2D/3D/cilíndrico)
  • FDTD de radar (geo)
  • bigboy (sin mantenimiento, sin archivos de lanzamiento. Hay que obtener el código fuente de cvs)
  • Códigos FDTD paralelos (MPI y OpenMP) en C++ (desarrollados por Zs. Szabó)
  • Código FDTD en Fortran 90
  • Código FDTD en C para simulación de ondas electromagnéticas 2D
  • Angora (paquete de software FDTD paralelo 3D, mantenido por Ilker R. Capoglu)
  • GSvit (solucionador FDTD 3D con soporte para procesamiento mediante tarjeta gráfica, escrito en C, interfaz gráfica de usuario XSvit disponible)
  • gprMax (Código abierto (GPLv3), código de modelado FDTD 3D/2D en Python/Cython desarrollado para GPR, pero que puede utilizarse para modelado electromagnético general).

Proyectos FDTD gratuitos / de código cerrado (algunos no son para uso comercial):

  • EMTL (Electromagnetic Template Library) (Biblioteca gratuita de C++ para simulaciones electromagnéticas. La versión actual implementa principalmente la FDTD).
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