Aproximación de dipolo discreto

La función de Green diádica en el espacio libre utilizada en la aproximación de dipolo discreto (DDA) puede expresarse como la acción de un operador diferencial sobre la función de Green escalar:

${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=\left[\nabla \nabla +k^{2}\mathbf {I} \right]{\frac {e^{ikr}}{r}},}$

dónde${\displaystyle k}$es el número de onda ,${\displaystyle \mathbf {I} }$es la matriz identidad y${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector desde el dipolo fuente hasta el punto de observación. La evaluación de las derivadas conduce a la forma explícita:

${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\frac {e^{ikr}}{r^{3}}}\left[k^{2}r^{2}\left(\mathbf {I} -{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)+(1-ikr)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {I} \right)\right],}$

dónde${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /|\mathbf {r} |}$es el vector unitario que apunta desde la fuente hasta el punto de observación.

Este tensor de Green describe el campo eléctrico generado por un dipolo en un medio homogéneo. Se utiliza para calcular los bloques fuera de la diagonal de la matriz de interacción en DDA, es decir, la interacción entre distintos dipolos.${\displaystyle j\neq k}$. El término singular auto-término${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} =0)}$se excluye y se reemplaza por un término local prescrito que involucra el tensor de polarizabilidad inversa.${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}}$.

Por lo tanto, el campo eléctrico en el dipolo${\displaystyle j}$debido al dipolo${\displaystyle k}$es dado por

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left[k^{2}r_{jk}^{2}\left(\mathbf {I} -{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}\right)+\left(1-ikr_{jk}\right)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}-\mathbf {I} \right)\right],}$

dónde${\displaystyle \mathbf {r} _{jk}=\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k}}$,${\displaystyle r_{jk}=|\mathbf {r} _{jk}|}$, y${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}=\mathbf {r} _{jk}/r_{jk}}$. Aquí${\displaystyle \mathbf {I} }$es la matriz identidad y${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$es el número de onda del vacío.

Definir

${\displaystyle C_{1}(r_{jk})={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left(k^{2}r_{jk}^{2}+ikr_{jk}-1\right),}$

${\displaystyle C_{2}(r_{jk})={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left(3-3ikr_{jk}-k^{2}r_{jk}^{2}\right).}$

La función diádica de Green${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}}$es:

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}={\begin{pmatrix}C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}^{2}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}{\hat {r}}_{jk,y}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}{\hat {r}}_{jk,z}\\C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}{\hat {r}}_{jk,x}&C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}^{2}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}{\hat {r}}_{jk,z}\\C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}{\hat {r}}_{jk,x}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}{\hat {r}}_{jk,y}&C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}^{2}\end{pmatrix}},}$

Observa que es simétrico:${\displaystyle G_{jk}^{yx}=G_{jk}^{xy},\;G_{jk}^{zx}=G_{jk}^{xz},\;G_{jk}^{zy}=G_{jk}^{yz}}$.

Aquí${\displaystyle \mathbf {r} _{jk}=\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k}}$es el vector de desplazamiento del dipolo${\displaystyle k}$al dipolo${\displaystyle j}$,${\displaystyle r_{jk}=|\mathbf {r} _{jk}|}$es la distancia entre ellos, y${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}=\mathbf {r} _{jk}/r_{jk}}$es el vector unitario que apunta desde${\displaystyle k}$a${\displaystyle j}$. Los componentes de${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}}$se definen como:

${\displaystyle {\hat {r}}_{jk,x}={\frac {r_{j,x}-r_{k,x}}{r_{jk}}},\;{\hat {r}}_{jk,y}={\frac {r_{j,y}-r_{k,y}}{r_{jk}}},\;{\hat {r}}_{jk,z}={\frac {r_{j,z}-r_{k,z}}{r_{jk}}}.}$

En la aproximación de dipolos discretos, la respuesta electromagnética de un objetivo se modela reemplazando el material continuo por una matriz finita de dipolos puntuales. Cada dipolo representa un pequeño volumen del material y actúa como una unidad polarizable que interactúa tanto con el campo incidente como con los campos radiados por todos los demás dipolos. El parámetro clave que describe cómo responde cada dipolo al campo eléctrico local es su polarizabilidad.${\displaystyle \alpha _{j}}$Para un material homogéneo, la polarizabilidad de un dipolo está determinada por la función dieléctrica compleja del material.${\displaystyle \varepsilon (\lambda )}$, que depende de la longitud de onda${\displaystyle \lambda }$de la luz en el vacío. La función dieléctrica está relacionada con el índice de refracción complejo.${\displaystyle n=n'+in''}$a través de${\displaystyle \varepsilon =n^{2}}$El objetivo en DDA es asignar a cada dipolo una polarizabilidad${\displaystyle \alpha _{j}}$de tal manera que la matriz de dipolos reproduzca, con la mayor precisión posible, el comportamiento de dispersión y absorción del medio continuo original. Para materiales isotrópicos, un punto de partida común es la relación de Clausius-Mossotti , que conecta la polarizabilidad con la función dieléctrica:

En la aproximación de dipolo discreto, el volumen total del objetivo se divide en pequeñas celdas cúbicas de volumen${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }=d^{3}}$, dónde${\displaystyle d}$es el espaciado de la red. La polarizabilidad de Clausius-Mossotti para cada dipolo es

${\displaystyle \alpha _{j}={\frac {3V_{\mathrm {dipole} }}{4\pi }}{\frac {\varepsilon _{j}-1}{\varepsilon _{j}+2}},}$

dónde${\displaystyle \varepsilon _{j}}$es la permitividad relativa del material en la posición del dipolo. El volumen del dipolo${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }}$es constante en todos los dipolos.

Esta fórmula supone que cada dipolo ocupa un volumen incrustado en un medio dieléctrico uniforme. En la mayoría de las implementaciones de DDA, la formulación se expresa en unidades gaussianas (CGS). En estas unidades, la polarizabilidad${\displaystyle \alpha _{j}}$tiene dimensiones de volumen (cm³ ⁾ . En la aproximación de dipolo discreto, el volumen total del objetivo se divide en${\displaystyle N}$pequeñas celdas cúbicas de volumen${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }=d^{3}}$, dónde${\displaystyle d}$es el espaciado de la red y${\displaystyle N}$es el número total de dipolos. El volumen total del objetivo es, por lo tanto,

${\displaystyle V_{\mathrm {target} }=Nd^{3}.}$

Para mejorar la precisión del método, se realizaron varias correcciones.${\displaystyle \alpha _{j}}$se aplican. Estos incluyen: la polarizabilidad de la relación de dispersión de la red (LDR) (Draine y Goodman, 1993), que ajusta${\displaystyle \alpha _{j}}$para asegurar que la relación de dispersión de una red infinita de dipolos coincida con la del material continuo; la corrección de reacción radiativa (RR), que compensa el hecho de que cada dipolo irradia energía y está influenciado por su propio campo de radiación.

El parámetro de tamaño es una magnitud adimensional que se utiliza en la teoría de la dispersión para caracterizar el tamaño de una partícula en relación con la longitud de onda de la luz incidente. Para una esfera, se define como:

${\displaystyle x={\frac {2\pi r}{\lambda }}=kr}$

dónde:${\displaystyle x}$es el parámetro de tamaño (adimensional),${\displaystyle a}$es el radio de la esfera,${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda de la luz en el vacío,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$es el número de onda.

En el caso de una esfera, el parámetro de tamaño determina el régimen de dispersión:

• Si${\displaystyle x\ll 1}$La dispersión de Rayleigh predomina.
• Si${\displaystyle x\sim 1}$, la dispersión se encuentra en el régimen de dispersión de Mie .
• Si${\displaystyle x\gg 1}$, la aproximación de óptica geométrica se vuelve válida.

Para objetivos no esféricos con el mismo volumen que una esfera, el radio efectivo${\displaystyle r_{\text{eff}}}$se usa a menudo en lugar de${\displaystyle r}$, con:

${\displaystyle r_{\text{eff}}=\left({\frac {3V_{\text{tot}}}{4\pi }}\right)^{1/3}=\left({\frac {3Nd^{3}}{4\pi }}\right)^{1/3}}$

dónde:${\displaystyle N}$es el número total de dipolos,${\displaystyle d}$es el espaciado del dipolo,${\displaystyle V_{\text{tot}}=Nd^{3}}$es el volumen total representado por los dipolos. Esto da como resultado el parámetro de tamaño efectivo.

${\displaystyle x_{\text{eff}}={\frac {2\pi r_{\text{eff}}}{\lambda }}}$

Un truco conveniente en ciertas pruebas de precisión DDA es definir la longitud de onda como${\displaystyle 2\pi }$En tal caso, el radio efectivo es el mismo que el parámetro de tamaño efectivo.

Cada punto polarizable (dipolo) ocupa un volumen cúbico con longitud de lado${\displaystyle d}$. Análogo al parámetro de tamaño global${\displaystyle x=2\pi r/\lambda }$Utilizado para partículas completas, se puede definir un parámetro de tamaño local para cada dipolo:

${\displaystyle x_{d}=|m|kd={\frac {2\pi |m|d}{\lambda }}}$

Este parámetro local cuantifica la relación entre el tamaño del dipolo y la longitud de onda de la luz dentro del material. Para que el DDA sea preciso, el campo debe variar lentamente en función del tamaño de cada dipolo. Esta condición se cumple cuando:

${\displaystyle x_{d}=|m|kd\lesssim 0.5}$

Esto garantiza que cada dipolo sea ópticamente pequeño, que los campos varíen lentamente a lo largo del dipolo y que la fórmula de polarizabilidad utilizada para cada dipolo sea precisa. Nótese que un parámetro similar desempeña un papel crucial en la teoría de difracción anómala de van de Hulst, donde el desplazamiento de fase total experimentado por los rayos de luz que viajan a través o alrededor de la partícula viene dado por:

${\displaystyle \delta =2\pi (m-1){\frac {r}{\lambda }}}$

Esto describe la diferencia de trayectoria óptica introducida por la partícula (o, en el caso de DDA, por un dipolo).

El sistema lineal de aproximación de dipolo discreto (DDA) se expresa como:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {E} _{\mathrm {inc} }}$

dónde${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$es la matriz del sistema,${\displaystyle \mathbf {P} \in \mathbb {C} ^{3N}}$es el vector de polarización desconocido,${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {inc} }\in \mathbb {C} ^{3N}}$es el vector del campo eléctrico incidente. Tenemos

${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {G} +\mathrm {diag} ({\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1},\dots ,{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1})}$.

${\displaystyle \mathbf {G} }$codifica las interacciones entre dipolos a través del tensor de Green (no local) y${\displaystyle \mathrm {diag} ({\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1},\dots ,{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1})}$es una matriz diagonal por bloques donde cada bloque${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$.

Sea N el número de dipolos. Cada dipolo tiene un vector de polarización.${\displaystyle \mathbf {P} _{j}\in \mathbb {C} ^{3}}$. El sistema total es una ecuación matricial de tamaño${\displaystyle 3N\times 3N}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1}&-\mathbf {G} _{12}&-\mathbf {G} _{13}&\cdots &-\mathbf {G} _{1N}\\-\mathbf {G} _{21}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}^{-1}&-\mathbf {G} _{23}&\cdots &-\mathbf {G} _{2N}\\-\mathbf {G} _{31}&-\mathbf {G} _{32}&{\boldsymbol {\alpha }}_{3}^{-1}&\cdots &-\mathbf {G} _{3N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-\mathbf {G} _{N1}&-\mathbf {G} _{N2}&-\mathbf {G} _{N3}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{1}\\\mathbf {P} _{2}\\\vdots \\\mathbf {P} _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,1}\\\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,2}\\\vdots \\\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,N}\end{bmatrix}}}$

Cada bloque${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}}$es un${\displaystyle 3\times 3}$matriz compleja, definida por:

${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}={\begin{cases}{\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3},&{\text{if }}j=k\\-\mathbf {G} _{jk}\in \mathbb {C} ^{3\times 3},&{\text{if }}j\neq k\end{cases}}}$

Entonces${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$está compuesto de${\displaystyle N\times N}$bloques, cada uno de tamaño${\displaystyle 3\times 3}$.${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$es el tensor de polarizabilidad inverso,${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$es el tensor de Green diádico para la interacción entre dipolos${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$,${\displaystyle \mathbf {P} _{j},\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,j}\in \mathbb {C} ^{3}}$son la polarización del dipolo y el campo eléctrico incidente en el dipolo${\displaystyle j}$, respectivamente.

Normalmente, los dipolos se disponen en una cuadrícula regular. Esto implica invariancia traslacional:

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}=\mathbf {G} (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k})=\mathbf {G} _{|j-k|}}$

Porque${\displaystyle \mathbf {G} _{|j-k|}=\mathbf {G} _{|k-j|}}$, la matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$es simétrico:

${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}=\mathbf {A} _{kj}\quad {\text{for all }}j,k}$

Cada dipolo tiene tres componentes vectoriales (${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$), por lo que podemos reorganizar el vector desconocido${\displaystyle \mathbf {P} }$Agrupando todos los componentes x, luego los componentes y, y finalmente los componentes z:

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{x}\\\mathbf {P} _{y}\\\mathbf {P} _{z}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{3N}\quad {\text{where}}\quad \mathbf {P} _{x}={\begin{bmatrix}P_{1x}\\P_{2x}\\\vdots \\P_{Nx}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{y}={\begin{bmatrix}P_{1y}\\P_{2y}\\\vdots \\P_{Ny}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{z}={\begin{bmatrix}P_{1z}\\P_{2z}\\\vdots \\P_{Nz}\end{bmatrix}}}$

De manera similar, el campo de incidentes se puede agrupar de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {inc} }={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{3N}}$

Debido a que el sistema es lineal, podemos reescribirlo de forma equivalente en forma de matriz de bloques , que describe cómo el${\displaystyle \beta }$-El componente de polarización afecta a la${\displaystyle \alpha }$-componente del campo resultante:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{xx}&\mathbf {A} _{xy}&\mathbf {A} _{xz}\\\mathbf {A} _{yx}&\mathbf {A} _{yy}&\mathbf {A} _{yz}\\\mathbf {A} _{zx}&\mathbf {A} _{zy}&\mathbf {A} _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{x}\\\mathbf {P} _{y}\\\mathbf {P} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{bmatrix}}}$

La forma expandida de las ecuaciones es:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {G} _{xx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{xy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{xz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{x}&=\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\-\mathbf {G} _{yx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{yy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{yz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{y}&=\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\-\mathbf {G} _{zx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{zy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{zz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{z}&=\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{aligned}}}$

Cada bloque${\displaystyle \mathbf {G} _{ij}\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$y el tamaño total del sistema es${\displaystyle 3N\times 3N}$La matriz de interacción${\displaystyle \mathbf {G} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$está compuesto por 9 bloques: ${\displaystyle \mathbf {G} _{xx},\mathbf {G} _{xy},\mathbf {G} _{xz},\mathbf {G} _{yx},\mathbf {G} _{yy},\mathbf {G} _{yz},\mathbf {G} _{zx},\mathbf {G} _{zy},\mathbf {G} _{zz}}$(solo 6 de ellos necesitan ser evaluados debido a la simetría). Cada multiplicación matriz-vector${\displaystyle \mathbf {G} _{\alpha \beta }\mathbf {P} _{\beta }}$se puede calcular como una convolución cuando los dipolos están dispuestos en una cuadrícula regular, lo que permite el uso de transformadas rápidas de Fourier (FFT) para acelerar la solución.

Dejar${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}}$denota el tensor de polarizabilidad inversa para el dipolo${\displaystyle j}$. Cada${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}}$es un valor complejo${\displaystyle 3\times 3}$matriz. Esto da como resultado:

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{x}=\mathrm {diag} (\beta _{1,xx},\dots ,\beta _{N,xx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,xy},\dots ,\beta _{N,xy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,xz},\dots ,\beta _{N,xz})\,\mathbf {P} _{z}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{y}=\mathrm {diag} (\beta _{1,yx},\dots ,\beta _{N,yx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,yy},\dots ,\beta _{N,yy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,yz},\dots ,\beta _{N,yz})\,\mathbf {P} _{z}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{z}=\mathrm {diag} (\beta _{1,zx},\dots ,\beta _{N,zx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,zy},\dots ,\beta _{N,zy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,zz},\dots ,\beta _{N,zz})\,\mathbf {P} _{z}}$

En el caso especial de una partícula isotrópica y homogénea, las polarizabilidades${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}}$son idénticos para todos los dipolos y proporcionales a la matriz identidad:${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}=\alpha \,\mathbf {I} }$. Entonces, lo inverso se convierte en${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}=\alpha ^{-1}\,\mathbf {I} }$, todos los elementos fuera de la diagonal desaparecen y las expresiones se reducen a una simple división elemento a elemento:

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )={\frac {1}{\alpha }}\,\mathbf {P} }$

Nota sobre la implementación práctica. En Fortran y MATLAB, matrices como${\displaystyle \mathbf {P} (n_{x},n_{y},n_{z},3)}$o${\displaystyle \mathbf {E} ^{\mathrm {inc} }(n_{x},n_{y},n_{z},3)}$se almacenan en orden de columna principal, donde el primer índice varía más rápido en la memoria (antilexicográfico). Esto significa que todos los componentes x${\displaystyle \mathbf {P} _{x}=\mathbf {P} (:,:,:,1)}$son contiguos en la memoria, seguidos de todos los componentes y.${\displaystyle \mathbf {P} _{y}=\mathbf {P} (:,:,:,2)}$y luego todos los componentes z${\displaystyle \mathbf {P} _{z}=\mathbf {P} (:,:,:,3)}$. Por el contrario, Python ( NumPy ) utiliza el orden por filas por defecto (lexicográfico, el último índice varía más rápido). Para lograr el mismo diseño contiguo de${\displaystyle \mathbf {P} _{x}}$,${\displaystyle \mathbf {P} _{y}}$,${\displaystyle \mathbf {P} _{z}}$en memoria, el array debe definirse en Python como${\displaystyle \mathbf {P} (3,n_{x},n_{y},n_{z})}$, con el índice del componente vectorial (x, y, z) primero. Esto garantiza que${\displaystyle \mathbf {P} _{x}=\mathbf {P} [0,:,:,:]}$se almacena de forma contigua en la memoria, seguido de${\displaystyle \mathbf {P} _{y}}$y${\displaystyle \mathbf {P} _{z}}$.