espectro esencial

El espectro esencial de${\displaystyle T}$, generalmente denotado${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$es el conjunto de todos los números reales${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$de tal manera que

${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$

no es un operador de Fredholm , donde${\displaystyle I_{X}}$denota el operador identidad en${\displaystyle X}$, de modo que${\displaystyle I_{X}(x)=x}$, para todos${\displaystyle x\in X}$(Un operador es de Fredholm si es acotado y su núcleo y conúcleo son de dimensión finita).

La definición de espectro esencial${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$permanecerá sin cambios si permitimos que esté compuesto por todos esos números complejos.${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$(en lugar de solo números reales) de manera que se cumpla la condición anterior. Esto se debe a que el espectro de un operador autoadjunto es real.

El espectro esencial siempre está cerrado y es un subconjunto del espectro.${\displaystyle \sigma (T)}$. Como se mencionó anteriormente, desde${\displaystyle T}$es autoadjunto, el espectro está contenido en el eje real.

El espectro se puede dividir en dos partes. Una parte es el espectro esencial. La otra parte es el espectro discreto , que es el conjunto de puntos.${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$de tal manera que sea un punto aislado , y${\displaystyle \ker(\lambda I_{X}-T)}$es un subespacio de dimensión finita. Es decir, es un autovalor aislado de multiplicidad algebraica finita (autovalores normales).

El espectro esencial es invariante bajo perturbaciones compactas. Es decir, si${\displaystyle K}$es un operador autoadjunto compacto en${\displaystyle X}$, entonces los espectros esenciales de${\displaystyle T}$y la de${\displaystyle T+K}$coincidir, es decir${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)=\sigma _{\mathrm {ess} }(T+K)}$. Esto explica por qué se le llama espectro esencial : Weyl (1910) definió originalmente el espectro esencial de un cierto operador diferencial como el espectro independiente de las condiciones de contorno.

El espectro esencial${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$es un subconjunto del espectro${\displaystyle \sigma (T)}$y su complemento se llama espectro discreto , por lo tanto

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$.

Si${\displaystyle T}$es autoadjunto, entonces, por definición, un número${\displaystyle \lambda }$está en el espectro discreto${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }}$de${\displaystyle T}$si se trata de un autovalor aislado de multiplicidad finita, lo que significa que la dimensión del espacio

${\displaystyle \ \mathrm {span} \{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}}$

tiene dimensión finita pero no nula y que hay una${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que${\displaystyle \mu \in \sigma (T)}$y${\displaystyle |\mu -\lambda |<\varepsilon }$implican que${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \lambda }$son iguales. (Para operadores generales no autoadjuntos)${\displaystyle S}$en espacios de Banach , por definición, un número complejo${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$está en el espectro discreto${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(S)}$si se trata de un autovalor normal ; o, equivalentemente, si se trata de un punto aislado del espectro y el rango del proyector de Riesz correspondiente es finito.

Defina lo siguiente:

• Un vector es un vector unitario si y solo si tiene norma 1.
• Una secuencia de vectores${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$convergen (fuertemente) a 0 si y solo si${\displaystyle \lim _{n}\|\psi _{n}\|=0}$Esto está escrito como${\displaystyle \psi _{n}\to 0}$.
• Una secuencia de vectores${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$convergen débilmente a 0 si y solo si${\displaystyle \lim _{n}\langle \psi _{n},v\rangle =0}$para cualquier${\displaystyle v\in X}$Esto está escrito como${\displaystyle \psi _{n}\xrightarrow {w} 0}$.

Bajo estas definiciones, tenemos la siguiente caracterización del espectro.${\displaystyle \sigma (T)}$del operador${\displaystyle T}$:

Un número${\displaystyle \lambda }$está en${\displaystyle \sigma (T)}$si y solo si existe una secuencia de vectores unitarios${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$con${\displaystyle (T-\lambda )\psi _{n}\to 0}$.

Si${\displaystyle \lambda }$está en el espectro discreto, entonces dado que${\displaystyle \lambda }$está aislado en${\displaystyle \sigma (T)}$cualquier secuencia de vectores unitarios${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$con${\displaystyle (T-\lambda )\psi _{n}\to 0}$debe converger a${\displaystyle \ker(\lambda I-T)}$y desde entonces${\displaystyle \ker(\lambda I-T)}$es de dimensión finita,${\displaystyle \psi _{n}}$debe tener una subsecuencia convergente por compacidad de la esfera unitaria de${\displaystyle \ker(\lambda I-T)}$. Por lo tanto,${\displaystyle \psi _{n}\not \xrightarrow {w} 0}$. El criterio de Weyl establece que lo contrario también es cierto: ^{[ 1 ]}

Un número${\displaystyle \lambda }$está en${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)}$si y solo si existe una secuencia de vectores unitarios${\displaystyle (\psi _{n})_{n}}$con${\displaystyle (T-\lambda )\psi _{n}\to 0}$, y${\displaystyle \psi _{n}\xrightarrow {w} 0}$.

Dicha secuencia se denomina secuencia singular o secuencia de Weyl . Al simplificar la secuencia y aplicar el proceso de Gram-Schmidt , se puede lograr que la secuencia sea ortonormal.

Dejar${\displaystyle T:L^{2}[0,1]\to L^{2}[0,1]}$sea ​​el operador de multiplicación (o el operador de posición ) definido por${\displaystyle (Tf)(x)=xf(x)}$. La gama esencial de${\displaystyle x\mapsto x}$es${\displaystyle [0,1]}$, por lo tanto el espectro es${\displaystyle \sigma (T)=[0,1]}$. Para cualquier${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$Podemos construir explícitamente una secuencia singular como una secuencia de funciones rectangulares cada vez más estrechas y agudas que están soportadas en conjuntos disjuntos. Por ejemplo, sea${\displaystyle \lambda =0}$, entonces podemos construir${\displaystyle \psi _{n}}$ser la función rectangular en${\displaystyle [2^{-n},2^{-n+1}]}$de altura${\displaystyle {\sqrt {2^{n}}}}$Son ortonormales, con${\displaystyle \|(T-\lambda )\psi _{n}\|=O(1/2^{2n})\to 0}$Nótese que la secuencia se asemeja cada vez más a la "función" delta de Dirac en 0, aunque no converge.

Dejar${\displaystyle T:L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )}$sea ​​el operador de momento definido extendiendo${\displaystyle T=-i{\frac {d}{dx}}}$para funciones suaves soportadas de forma compacta. Su espectro esencial es toda la línea real. Los físicos dicen que cada${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$es un valor propio de${\displaystyle T}$con autofunción${\displaystyle e^{ikx}}$Sin embargo, esto no es técnicamente correcto, ya que${\displaystyle e^{ikx}}$tiene norma L2 infinita. Sin embargo, es posible hacer una afirmación rigurosa similar. Mientras${\displaystyle e^{ikx}}$no está en${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, se puede abordar mediante una secuencia de Weyl en${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. La construcción es esencialmente la misma, construyendo una secuencia que se aproxima al delta de Dirac en${\displaystyle k}$en el espacio de momentos , y luego realizando una transformada de Fourier al espacio de posiciones.

Dejar${\displaystyle T:H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to H^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ser el operador de Laplace${\displaystyle T=-\Delta }$, dónde${\displaystyle H^{2}}$es el espacio de Sobolev . Su espectro esencial es${\displaystyle [0,\infty )}$. Para cada${\displaystyle \lambda \in [0,\infty )}$y cualquier vector unitario${\displaystyle {\hat {k}}}$, la construcción de la secuencia de Weyl para la "autofunción"${\displaystyle e^{i{\sqrt {\lambda }}{\hat {k}}\cdot x}}$es similar. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio Banach y dejar${\displaystyle T}$ser un operador densamente definido en${\displaystyle X}$. Es decir, es de tipo${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$, dónde${\displaystyle D(T)}$es un subespacio denso de${\displaystyle X}$. Dejemos que el espectro de${\displaystyle T}$ser${\displaystyle \sigma (T)}$, definido por$${\displaystyle \sigma (T)=\{\lambda$$ :(\lambda IT){\text{ no tiene inversa acotada}}\}} El complemento de${\displaystyle \sigma (T)}$es el conjunto resolvente de${\displaystyle T}$.

Existen varias definiciones del espectro esencial de${\displaystyle T}$, que no son necesariamente lo mismo. Cada una de estas definiciones tiene la forma$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(T)=\{\lambda$$ :(\lambda IT){\text{ no es agradable}}\}} Hay al menos 5 niveles diferentes de amabilidad, que aumentan en fuerza. Cada aumento en la fuerza reduce el conjunto de cosas agradables.${\displaystyle \lambda }$, de este modo se amplía el dominio esencial. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle A}$denota un operador de tipo${\displaystyle A:D(T)\to X}$. Dejar${\displaystyle \ker A}$sea ​​su núcleo ,${\displaystyle \operatorname {coker} A}$sea ​​su co-núcleo ,${\displaystyle \operatorname {ran} A}$sea ​​su alcance. Decimos que${\displaystyle A}$es:

1. Normalmente resoluble , si${\displaystyle A}$es un operador cerrado y${\displaystyle \operatorname {ran} A}$es un conjunto cerrado. Esto se puede comprobar mediante el teorema del rango cerrado .
2. Semi-Fredholm, si además,${\displaystyle \ker A}$es inclusivo-o de dimensión finita${\displaystyle \operatorname {coker} A}$es de dimensión finita.
3. Fredholm , si además,${\displaystyle \ker A}$es de dimensión finita y${\displaystyle \operatorname {coker} A}$es de dimensión finita.
4. Fredholm con índice cero, si además,${\displaystyle \ker A}$y${\displaystyle \operatorname {coker} A}$tiene la misma dimensión.
5. Si además existe un vecindario eliminado de cero que sea un subconjunto del conjunto resolvente.
   • En otras palabras, cero no es un punto límite de${\displaystyle \sigma (A)}$.
6. Tiene inversa acotada, si existe un operador lineal acotado.${\displaystyle A^{-1}:X\to D(T)}$, de tal manera que${\displaystyle A,A^{-1}}$son inversas entre sí.

Ahora, listo${\displaystyle A=(\lambda I-T)}$. Entonces, las condiciones 1 a 5 definen 5 espectros esenciales.${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$,${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$y la condición 6 define el espectro${\displaystyle \sigma (T)}$. Es evidente que las condiciones 1 a 5 aumentan en fuerza. También se puede demostrar que la condición 6 es más fuerte que la condición 5. Por lo tanto,$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subseteq \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subseteq \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subseteq \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subseteq \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subseteq \sigma (T)\subseteq \mathbb {C} ,}$$Cualquiera de estas inclusiones puede ser estricta.

Diferentes autores definieron los espectros esenciales de manera diferente, lo que dio como resultado diferentes terminologías. Por ejemplo, Kato utilizó${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}}$Wolf usó${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}}$Schechter usó${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}}$, Browder usó${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}}$. De este modo,${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}}$También se le llama espectro esencial de Browder , etc. ^{[ 3 ]}

Existen incluso más definiciones del espectro esencial. ^{[ 2 ]}

La siguiente definición establece que el espectro esencial es la parte del espectro que es estable bajo perturbación compacta:$${\displaystyle w(T):=\bigcap _{B{\text{ is compact}}}\sigma (T+B)}$$Otra definición establece que:$${\displaystyle \sigma _{l}(T)=\sigma (T)\setminus \{{\text{isolated eigenvalues of }}T{\text{ with finite multiplicity}}\}}$$Dado${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$, es un valor propio aislado de${\displaystyle T}$con multiplicidad finita si y solo si${\displaystyle \ker(\lambda I-T)}$tiene dimensión finita positiva y${\displaystyle \lambda }$es un punto aislado de${\displaystyle \sigma (T)}$.