ecuación de Duffing

{\displaystyle \alpha =-1} — Diagrama del oscilador de Duffing, que contiene diagrama de fase, trayectoria, atractor extraño , sección de Poincaré y diagrama de potencial de doble pozo. Los parámetros son $\alpha =-1$ , $\beta =0.25$ , $\delta =0.1$ , $\gamma =2.5$ , y $\omega =2$ .

{\displaystyle \beta =0.25} — Diagrama del oscilador de Duffing, que contiene diagrama de fase, trayectoria, atractor extraño , sección de Poincaré y diagrama de potencial de doble pozo. Los parámetros son $\alpha =-1$ , $\beta =0.25$ , $\delta =0.1$ , $\gamma =2.5$ , y $\omega =2$ .

{\displaystyle 8\pi } — El extraño atractor del oscilador de Duffing, a través de 4 períodos ( $8\pi$ tiempo). La coloración muestra cómo fluyen los puntos. ( $\alpha =-1$ , $\beta =1$ , $\delta =0.02$ , $\gamma =3$ , $\omega =1$ . La animación tiene un desfase temporal, por lo que la fuerza motriz es $\sin(\omega t)$ en vez de $\cos(\omega t)$ .)

La ecuación de Duffing (o oscilador de Duffing ), que recibe su nombre de Georg Duffing (1861-1944), es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que se utiliza para modelar ciertos osciladores amortiguados y forzados . La ecuación viene dada por: ${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t),$ donde la función (desconocida) $x=x(t)$ es el desplazamiento en el instante $t$ , ${\dot {x}}$ es la primera derivada de $x$ con respecto al tiempo, es decir, la velocidad y ${\ddot {x}}$ es la segunda derivada temporal de $x,$ es decir, aceleración . Los números $\delta ,$ $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ y $\omega$ se dan constantes.

La ecuación describe el movimiento de un oscilador amortiguado con un potencial más complejo que en el movimiento armónico simple (que corresponde al caso $\beta =\delta =0$ ); en términos físicos, modela, por ejemplo, un péndulo elástico cuya rigidez del resorte no obedece exactamente la ley de Hooke .

La ecuación de Duffing es un ejemplo de sistema dinámico que presenta comportamiento caótico . Además, el sistema de Duffing muestra en su respuesta en frecuencia el fenómeno de resonancia de salto, que es una especie de comportamiento de histéresis de frecuencia .

Parámetros

Los parámetros de la ecuación anterior son:

$\delta$ controla la cantidad de amortiguación ,
$\alpha$ controla la rigidez lineal ,
$\beta$ controla la cantidad de no linealidad en la fuerza restauradora; si $\beta =0,$ La ecuación de Duffing describe un oscilador armónico simple amortiguado y forzado .
$\gamma$ es la amplitud de la fuerza impulsora periódica; si $\gamma =0$ El sistema carece de una fuerza impulsora y
$\omega$ es la frecuencia angular de la fuerza impulsora periódica.

La ecuación de Duffing puede considerarse como una descripción de las oscilaciones de una masa unida a un resorte no lineal y un amortiguador lineal. La fuerza restauradora proporcionada por el resorte no lineal es entonces $\alpha x+\beta x^{3}.$

Cuando $\alpha >0$ y $\beta >0$ El resorte se llama resorte endurecible . Por el contrario, para $\beta <0$ es un resorte que se ablanda (todavía con $\alpha >0$ ). En consecuencia, los adjetivos endurecimiento y ablandamiento se utilizan con respecto a la ecuación de Duffing en general, dependiendo de los valores de $\beta$ (y $\alpha$ ). ^{[ 1 ]}

El número de parámetros en la ecuación de Duffing se puede reducir en dos mediante escalamiento (de acuerdo con el teorema π de Buckingham ), por ejemplo, la excursión. $x$ y tiempo $t$ se puede escalar como: ^{[ 2 ]} $\tau =t{\sqrt {\alpha }}$ y $y=x\alpha /\gamma ,$ arrogante $\alpha$ es positivo (son posibles otras escalas para diferentes rangos de los parámetros o para diferentes énfasis en el problema estudiado). Entonces: ^{[ 3 ]} ${\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),$ dónde

$\eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},$
$\varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}},$ y
$\sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.$

Los puntos denotan diferenciación de $y(\tau )$ con respecto a $\tau .$ Esto demuestra que las soluciones a la ecuación de Duffing forzada y amortiguada pueden describirse en términos de los tres parámetros ( $\varepsilon$ , $\eta$ , y $\sigma$ ) y dos condiciones iniciales (es decir, para $y(t_{0})$ y ${\dot {y}}(t_{0})$ ).

Métodos de solución

En general, la ecuación de Duffing no admite una solución simbólica exacta. Sin embargo, muchos métodos aproximados funcionan bien:

El desarrollo en serie de Fourier puede proporcionar una ecuación de movimiento con precisión arbitraria.
El $x^{3}$ El término, también llamado término de Duffing , puede aproximarse como pequeño y el sistema puede tratarse como un oscilador armónico simple perturbado .
El método de Frobenius proporciona una solución compleja pero viable.
Se puede utilizar cualquiera de los diversos métodos numéricos , como el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta .
También se ha informado del método de análisis de homotopía (HAM) para obtener soluciones aproximadas de la ecuación de Duffing, incluso para una fuerte no linealidad. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

En el caso especial del no amortiguado ( $\delta =0$ ) y sin impulso ( $\gamma =0$ ) Ecuación de Duffing, se puede obtener una solución exacta utilizando las funciones elípticas de Jacobi . ^{[ 6 ]}

Acotación de la solución para el oscilador no forzado

oscilador no amortiguado

Multiplicación de la ecuación de Duffing sin amortiguación ni forzamiento, $\gamma =\delta =0,$ con ${\dot {x}}$ da: ^{[ 7 ]} ${\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}$ donde $H$ es una constante. El valor de $H$ está determinado por las condiciones iniciales. $x(0)$ y ${\dot {x}}(0).$

La sustitución $y={\dot {x}}$ en H muestra que el sistema es hamiltoniano : ${\begin{aligned}&{\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},\qquad {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[1ex]\Longrightarrow {}&H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.\end{aligned}}$

Cuando ambos $\alpha$ y $\beta$ son positivos, la solución está acotada: ^{[ 7 ]} $|x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}\qquad {\text{ and }}\qquad |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},$ con el hamiltoniano $H$ siendo positivo. Este límite en $x$ proviene de dejar caer el término con $\beta$ Incluirlo da una cota más pequeña pero más complicada, al resolver $(\beta /4)x^{4}+(\alpha /2)x^{2}-H=0$ , una ecuación cuadrática para $x^{2}$ .

oscilador amortiguado

De manera similar, el oscilador amortiguado converge globalmente, mediante el método de la función de Lyapunov ^{[ 8 ].} ${\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}$ desde $\delta \geq 0$ para amortiguación. Sin forzar el oscilador de Duffing amortiguado, terminará en (uno de) sus puntos de equilibrio estables . Los puntos de equilibrio, estables e inestables, se encuentran en $\alpha x+\beta x^{3}=0.$ Si $\alpha >0$ El equilibrio estable se encuentra en $x=0.$ Si $\alpha <0$ y $\beta >0$ Los equilibrios estables se encuentran en ${\textstyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$ y ${\textstyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}$

Respuesta en frecuencia

El oscilador de Duffing forzado con no linealidad cúbica se describe mediante la siguiente ecuación diferencial ordinaria: ${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).$

La respuesta en frecuencia de este oscilador describe la amplitud. $z$ de respuesta en estado estacionario de la ecuación (es decir, $x(t)$ ) a una frecuencia de excitación determinada $\omega .$ Para un oscilador lineal con $\beta =0,$ La respuesta en frecuencia también es lineal. Sin embargo, para un coeficiente cúbico distinto de cero $\beta$ La respuesta en frecuencia se vuelve no lineal. Dependiendo del tipo de no linealidad, el oscilador de Duffing puede mostrar endurecimiento, ablandamiento o una respuesta en frecuencia mixta de endurecimiento-ablandamiento. De todos modos, utilizando el método de análisis de homotopía o el balance armónico , se puede derivar una ecuación de respuesta en frecuencia de la siguiente forma: ^{[ 9 ]}^{[ 5 ]} $\left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\tfrac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.$

Para los parámetros de la ecuación de Duffing, la ecuación algebraica anterior proporciona la amplitud de oscilación en estado estacionario. $z$ a una frecuencia de excitación determinada.

Derivación de la respuesta en frecuencia

Utilizando el método de balance armónico, se busca una solución aproximada a la ecuación de Duffing de la forma: ^{[ 9 ]} $x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi ),$ con $z^{2}=a^{2}+b^{2}$ y $\tan \phi ={\frac {b}{a}}.$

Su aplicación en la ecuación de Duffing conduce a: ${\begin{aligned}&\left(-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}-\gamma \right)\,\cos \left(\omega \,t\right)\\&+\left(-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b\right)\,\sin \left(\omega \,t\right)\\&+\left({\tfrac {1}{4}}\,\beta \,a^{3}-{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}\right)\,\cos \left(3\omega t\right)+\left({\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b-{\tfrac {1}{4}}\,\beta \,b^{3}\right)\,\sin \left(3\omega t\right)=0.\end{aligned}}$

Ignorando los superarmónicos en $3\omega ,$ los dos términos anteriores $\cos(\omega t)$ y $\sin(\omega t)$ tienen que ser cero. Como resultado, ${\begin{aligned}&-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}=\gamma \qquad {\text{and}}\\&-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b=0.\end{aligned}}$

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumándolas se obtiene la respuesta de amplitud en frecuencia: $\left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2},$ como se indicó anteriormente.

Respuesta en frecuencia $z/\gamma$ como función de $\omega /{\sqrt {\alpha }}$ para la ecuación de Duffing, con $\alpha =\gamma =1$ y amortiguación $\delta =0.1$ Las partes punteadas de la respuesta en frecuencia son inestables. ^{[ 3 ]}
$La misma gráfica como un diagrama 3D. La variación de β {\displaystyle \beta } se muestra a lo largo de un eje separado.$
La misma gráfica que un diagrama 3D. Variante $\beta$ se muestra a lo largo de un eje separado.

Resolución gráfica de la respuesta en frecuencia

Podemos resolver gráficamente para $z^{2}$ como la intersección de dos curvas en la $(z^{2},y)$ avión: ${\begin{cases}y=\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\\[1ex]y={\dfrac {\gamma ^{2}}{z^{2}}}\end{cases}}$ Para fijo $\alpha ,\delta ,\gamma$ , la segunda curva es una hipérbola fija en el primer cuadrante. La primera curva es una parábola con forma ${\textstyle y={\tfrac {9}{16}}\beta ^{2}(z^{2})^{2}}$ y el vértice en la ubicación ${\textstyle ({\tfrac {4}{3\beta }}(\omega ^{2}-\alpha ),\delta ^{2}\omega ^{2})}$ Si lo arreglamos $\beta$ y varían $\omega$ , entonces el vértice de la parábola se mueve a lo largo de la línea ${\textstyle y={\tfrac {3}{4}}\beta \delta ^{2}(z^{2})+\delta ^{2}\alpha }$ .

Gráficamente, entonces, vemos que si $\beta$ es un número positivo grande, entonces como $\omega$ varía, la parábola interseca la hipérbola en un punto, luego en tres puntos, y luego en un punto nuevamente. De manera similar podemos analizar el caso cuando $\beta$ es un número negativo grande.

Saltos

{\displaystyle \alpha =\gamma =1,} — Saltos en la respuesta en frecuencia. Los parámetros son: $\alpha =\gamma =1,$ , $\beta =0.04$ , y $\delta =0.1$ . ^{[ 9 ]}

Para ciertos rangos de los parámetros en la ecuación de Duffing, la respuesta en frecuencia puede dejar de ser una función unívoca de la frecuencia de excitación. $\omega .$ Para un oscilador de resorte endurecible ( $\alpha >0$ y suficientemente grande positivo $\beta >\beta _{c+}>0$ ) la respuesta en frecuencia se extiende hacia el lado de alta frecuencia y hacia el lado de baja frecuencia para el oscilador de resorte de ablandamiento ( $\alpha >0$ y $\beta <\beta _{c-}<0$ ). El lado inferior sobresaliente es inestable (es decir, las partes de línea discontinua en las figuras de la respuesta en frecuencia) y no puede mantenerse durante un tiempo prolongado. En consecuencia, se produce el fenómeno de salto:

cuando la frecuencia angular $\omega$ a medida que aumenta lentamente (con otros parámetros fijos), la amplitud de respuesta $z$ cae repentinamente en A hacia B,
si la frecuencia $\omega$ disminuye lentamente, luego en C la amplitud salta hacia D, siguiendo posteriormente la rama superior de la respuesta en frecuencia.

Los saltos A–B y C–D no coinciden, por lo que el sistema muestra histéresis dependiendo de la dirección del barrido de frecuencia. ^{[ 9 ]}

Transición al caos

El análisis anterior asumió que la respuesta en frecuencia fundamental es dominante (necesaria para realizar el balance armónico) y que las respuestas en frecuencias más altas son despreciables. Esta suposición no se cumple cuando la excitación es suficientemente fuerte. Los armónicos de orden superior no pueden despreciarse y la dinámica se vuelve caótica. Existen diferentes transiciones posibles al caos, la más común mediante la duplicación sucesiva del período. ^{[ 10 ]}

Ejemplos

Rastros temporales y retratos de fase

oscilación de período 1 en

\gamma =0.20

oscilación de período 2 en

\gamma =0.28

oscilación de período 4 en

\gamma =0.29

oscilación de período 5 en

\gamma =0.37

caos en

\gamma =0.50

oscilación de período 2 en

\gamma =0.65

En las figuras siguientes se muestran algunos ejemplos típicos de las series temporales y los retratos de fase de la ecuación de Duffing, que muestran la aparición de subarmónicos a través de la bifurcación de duplicación de período , así como el comportamiento caótico . La amplitud de forzamiento aumenta desde $\gamma =0.20$ a $\gamma =0.65$ Los demás parámetros tienen los siguientes valores : $\alpha =-1$ , $\beta =+1$ , $\delta =0.3$ y $\omega =1.2$ Las condiciones iniciales son $x(0)=1$ y ${\dot {x}}(0)=0.$ Los puntos rojos en los retratos de fase son a veces $t$ que son un múltiplo entero del período $T=2\pi /\omega$ . ^{[ 11 ]}

Referencias

Citas

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Bibliografía

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Enlaces externos

Oscilador de Duffing en Scholarpedia
Página de MathWorld
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Vídeo de las secciones del oscilador de Duffing y del Poincaré.

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