Grupo divisible

En matemáticas , específicamente en el campo de la teoría de grupos , un grupo divisible es un grupo abeliano en el que cada elemento puede, en cierto sentido, ser divisible por enteros positivos, o más precisamente, cada elemento es un múltiplo n -ésimo para cada entero positivo n . Los grupos divisibles son importantes para comprender la estructura de los grupos abelianos, especialmente porque son los grupos abelianos inyectivos .

Un grupo abeliano${\displaystyle (G,+)}$es divisible si, para cada entero positivo${\displaystyle n}$y cada${\displaystyle g\in G}$, existe${\displaystyle y\in G}$de tal manera que${\displaystyle ny=g}$. ^{[ 1 ]} Una condición equivalente es: para cualquier entero positivo${\displaystyle n}$,${\displaystyle nG=G}$, dado que la existencia de${\displaystyle y}$por cada${\displaystyle n}$y${\displaystyle g}$implica que${\displaystyle nG\supseteq G}$y en la otra dirección${\displaystyle nG\subseteq G}$es cierto para cada grupo. Una tercera condición equivalente es que un grupo abeliano${\displaystyle G}$es divisible si y solo si${\displaystyle G}$es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos ; por esta razón, a un grupo divisible a veces se le llama grupo inyectivo .

Un grupo abeliano es${\displaystyle p}$- divisible por un número primo${\displaystyle p}$si por cada${\displaystyle g\in G}$, existe${\displaystyle y\in G}$de tal manera que${\displaystyle py=g}$. De forma equivalente, un grupo abeliano es${\displaystyle p}$-divisible si y solo si${\displaystyle pG=G}$.

• Los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$Formar un grupo divisible bajo la suma.
• De forma más general, el grupo aditivo subyacente de cualquier espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$es divisible.
• Todo cociente de un grupo divisible es divisible. Por lo tanto,${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$es divisible.
• El componente primario p${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$de${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$, que es isomorfo al grupo p - cuasicíclico${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$, es divisible.
• El grupo multiplicativo de los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$es divisible.
• Todo grupo abeliano existencialmente cerrado (en el sentido de la teoría de modelos ) es divisible.

• Si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano, entonces es un sumando directo de ese grupo abeliano. ^{[ 2 ]}
• Todo grupo abeliano puede estar incrustado en un grupo divisible. ^{[ 3 ]} Dicho de otro modo, la categoría de grupos abelianos tiene suficientes inyectivos .
• Los grupos divisibles no triviales no son finitamente generados .
• Además, cada grupo abeliano puede estar incrustado en un grupo divisible como un subgrupo esencial de una manera única. ^{[ 4 ]}
• Un grupo abeliano es divisible si y solo si es p -divisible para todo primo p .
• Dejar${\displaystyle A}$ser un anillo . Si${\displaystyle T}$es un grupo divisible, entonces${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)}$es inyectable en la categoría de${\displaystyle A}$- módulos . ^{[ 5 ]}

Sea G un grupo divisible. Entonces, el subgrupo de torsión Tor( G ) de G es divisible. Dado que un grupo divisible es un módulo inyectivo , Tor( G ) es un sumando directo de G. Por lo tanto,

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

Como cociente de un grupo divisible, G /Tor( G ) es divisible. Además, es libre de torsión . Por lo tanto, es un espacio vectorial sobre Q y, por consiguiente, existe un conjunto I tal que

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

La estructura del subgrupo de torsión es más difícil de determinar, pero se puede demostrar ^{[ 6 ] [ 7 ]} que para todos los números primos p existe${\displaystyle I_{p}}$de tal manera que

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

dónde${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}}$es el componente p -primario de Tor( G ).

Por lo tanto, si P es el conjunto de números primos,

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

Las cardinalidades de los conjuntos I y I _p para p ∈ P están determinadas de forma única por el grupo G.  

Como se indicó anteriormente, cualquier grupo abeliano A puede estar incrustado de forma única en un grupo divisible D como un subgrupo esencial . Este grupo divisible D es la envoltura inyectiva de A , y este concepto es la envoltura inyectiva en la categoría de grupos abelianos.

Se dice que un grupo abeliano es reducido si su único subgrupo divisible es {0}. Todo grupo abeliano es la suma directa de un subgrupo divisible y un subgrupo reducido. De hecho, existe un único subgrupo divisible máximo de cualquier grupo, y este subgrupo divisible es un sumando directo. ^{[ 8 ]} Esta es una característica especial de los anillos hereditarios como los enteros Z : la suma directa de módulos inyectivos es inyectiva porque el anillo es noetheriano , y los cocientes de inyectivos son inyectivos porque el anillo es hereditario, por lo que cualquier submódulo generado por módulos inyectivos es inyectivo. El recíproco es un resultado de ( Matlis 1958 ) : si todo módulo tiene un único submódulo inyectivo maximal, entonces el anillo es hereditario.

El teorema de Ulm proporciona una clasificación completa de los grupos abelianos periódicos reducidos numerables .

Varias definiciones distintas generalizan los grupos divisibles a módulos divisibles. Las siguientes definiciones se han utilizado en la literatura para definir un módulo divisible M sobre un anillo R :

1. rM = M para todo r distinto de cero en R. ^{[ 9 ]} (A veces se requiere que r no sea un divisor de cero, y algunos autores ^{[ 10 ]} requieren que R sea un dominio ).
2. Para cada ideal izquierdo principal Ra , cualquier homomorfismo de Ra en M se extiende a un homomorfismo de R en M. ^{[ 11 ] [ 12 ]} ( Este tipo de módulo divisible también se denomina módulo inyectivo principal ).
3. Para cada ideal izquierdo finitamente generado L de R , cualquier homomorfismo de L en M se extiende a un homomorfismo de R en M.

Las dos últimas condiciones son "versiones restringidas" del criterio de Baer para módulos inyectivos . Dado que los módulos izquierdos inyectivos extienden los homomorfismos de todos los ideales izquierdos a R , los módulos inyectivos son claramente divisibles en los sentidos 2 y 3.

Si R es además un dominio, entonces las tres definiciones coinciden. Si R es un dominio de ideales izquierdos principales, entonces los módulos divisibles coinciden con los módulos inyectivos. ^{[ 13 ]} Por lo tanto, en el caso del anillo de enteros Z , que es un dominio de ideales principales, un Z -módulo (que es precisamente un grupo abeliano) es divisible si y solo si es inyectivo.

Si R es un dominio conmutativo , entonces los módulos inyectivos de R coinciden con los módulos divisibles de R si y solo si R es un dominio de Dedekind . ^{[ 13 ]}

• objeto inyectivo
• Módulo inyectivo
• subgrupo puro

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999), Álgebra homológica , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp.  xvi+390, ISBN 0-691-04991-2, MR 1731415 Con un apéndice de David A. Buchsbaum; reimpresión del original de 1956.
• Feigelstock, Shalom (2006), "Divisible es inyectivo", Soochow J. Math. , 32 (2): 241– 243, ISSN 0250-3255 , MR 2238765  
• Griffith, Phillip A. (1970). Teoría de grupos abelianos infinitos . Conferencias de matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-30870-7.
• Hall, Marshall Jr. (1959). La teoría de los grupos . Nueva York: Macmillan. Capítulo 13.3.
• Kaplansky, Irving (1965). Grupos abelianos infinitos . University of Michigan Press.
• Fuchs, László (1970). Grupos abelianos infinitos Vol 1. Academic Press.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, vol.  189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• Serge Lang (1984). Álgebra, Segunda Edición . Menlo Park, California: Addison-Wesley.
• Matlis, Eben (1958). "Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos" . Pacific Journal of Mathematics . 8 (3): 511– 528. doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730 . MR 0099360 .  
• Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Anillos cuasi-Frobenius , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  158, Cambridge: Cambridge University Press, pp.  xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN 0-521-81593-2, MR 2003785