Modelo existencialmente cerrado

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , la noción de un modelo existencialmente cerrado (o modelo existencialmente completo ) de una teoría generaliza las nociones de campos algebraicamente cerrados (para la teoría de campos ), campos reales cerrados (para la teoría de campos ordenados ), grupos existencialmente cerrados (para la teoría de grupos ) y órdenes lineales densos sin puntos finales (para la teoría de órdenes lineales).

Se dice que una subestructura M de una estructura N está existencialmente cerrada en (o existencialmente completa en ).${\displaystyle N}$Si para cada fórmula libre de cuantificadores φ( x ₁ ,…, x _n , y ₁ ,…, y _n ) y todos los elementos b ₁ ,…, b _n de M tales que φ( x ₁ ,…, x _n , b ₁ ,…, b _n ) se realiza en N , entonces φ( x ₁ ,…, x _n , b ₁ ,…, b _n ) también se realiza en M . En otras palabras: Si hay una tupla a ₁ ,…, a _n en N tal que φ( a ₁ ,…, a _n , b ₁ ,…, b _n ) se cumple en N , entonces tal tupla también existe en M . Esta noción se denota a menudo${\displaystyle M\prec _{1}N}$.

Un modelo M de una teoría T se denomina existencialmente cerrado en T si es existencialmente cerrado en toda superestructura N que sea a su vez un modelo de T. De forma más general, una estructura M se denomina existencialmente cerrada en una clase K de estructuras (en la que está contenida como miembro) si M es existencialmente cerrada en toda superestructura N que sea a su vez un miembro de K.

El cierre existencial en K de un miembro M de K , cuando existe, es, salvo isomorfismo , la superestructura existencialmente cerrada menos de M. Más precisamente, es cualquier superestructura extensionalmente cerrada M ^∗ de M tal que para toda superestructura existencialmente cerrada N de M , M ^∗ es isomorfa a una subestructura de N mediante un isomorfismo que es la identidad en M.

Sea σ = (+, × ,0,1) la signatura de los cuerpos, es decir, + y × son símbolos de funciones binarias y 0 y 1 son símbolos de constantes. Sea K la clase de estructuras de signatura σ que son cuerpos. Si A es un subcuerpo de B , entonces A es existencialmente cerrado en B si y solo si todo sistema de polinomios sobre A que tiene una solución en B también tiene una solución en A. De ello se deduce que los miembros existencialmente cerrados de K son precisamente los cuerpos algebraicamente cerrados.

De manera similar, en la clase de cuerpos ordenados , las estructuras existencialmente cerradas son los cuerpos reales cerrados . En la clase de órdenes lineales , las estructuras existencialmente cerradas son aquellas que son densas sin puntos extremos, mientras que el cierre existencial de cualquier orden lineal numerable (incluido el vacío ) es, salvo isomorfismo, el orden total denso numerable sin puntos extremos, es decir, el tipo de orden de los racionales .

• Prueba de Tarski-Vaught

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Teoría de modelos , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª  ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas