Subgrupo puro

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra que estudia la teoría de grupos abelianos , un subgrupo puro es una generalización de un sumando directo . Se le han encontrado muchos usos en la teoría de grupos abelianos y áreas relacionadas.

Se dice que un subgrupo de un grupo (típicamente abeliano ) es puro si siempre que un elemento de tiene una raíz en , necesariamente tiene una raíz en . Formalmente: , la existencia de un en G tal que la existencia de un en S tal que . ^[1]${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle n^{\text{ésimo}}}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle n^{\text{ésimo}}}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \para todo n\en \mathbb {Z} ,a\en S}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x^{n}=a\Flecha derecha}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle y^{n}=a}$

Los subgrupos puros también se denominan subgrupos aislados o subgrupos servidores y se investigaron por primera vez en el artículo de Prüfer de 1923, ^[2] que describió las condiciones para la descomposición de grupos abelianos primarios como sumas directas de grupos cíclicos utilizando subgrupos puros. El trabajo de Prüfer fue complementado por Kulikoff ^[3] donde se demostraron nuevamente muchos resultados utilizando subgrupos puros sistemáticamente. En particular, se dio una prueba de que los subgrupos puros de exponente finito son sumandos directos. Una discusión más completa de los subgrupos puros, su relación con la teoría de grupos abelianos infinitos y un estudio de su literatura se encuentra en el pequeño libro rojo de Irving Kaplansky . ^[4]

• Cada sumando directo de un grupo es un subgrupo puro.
• Todo subgrupo puro de un subgrupo puro es puro.
• Un subgrupo divisible de un grupo abeliano es puro.
• Si el grupo cociente está libre de torsión, el subgrupo es puro.
• El subgrupo de torsión de un grupo abeliano es puro.
• La unión dirigida de subgrupos puros es un subgrupo puro.

Dado que en un grupo abeliano finitamente generado el subgrupo de torsión es un sumando directo, uno podría preguntarse si el subgrupo de torsión es siempre un sumando directo de un grupo abeliano. Resulta que no siempre es un sumando, pero es un subgrupo puro. Bajo ciertas condiciones suaves, los subgrupos puros son sumandos directos. Por lo tanto, uno todavía puede recuperar el resultado deseado bajo esas condiciones, como en el artículo de Kulikoff. Los subgrupos puros pueden usarse como una propiedad intermedia entre un resultado sobre sumandos directos con condiciones de finitud y un resultado completo sobre sumandos directos con condiciones de finitud menos restrictivas. Otro ejemplo de este uso es el artículo de Prüfer, donde el hecho de que "los grupos abelianos de torsión finitos son sumas directas de grupos cíclicos" se extiende al resultado de que "todos los grupos abelianos de torsión de exponente finito son sumas directas de grupos cíclicos" a través de una consideración intermedia de subgrupos puros.

Los subgrupos puros se generalizaron de varias maneras en la teoría de grupos y módulos abelianos. Los submódulos puros se definieron de diversas maneras, pero finalmente se estableció la definición moderna en términos de productos tensoriales o sistemas de ecuaciones; las definiciones anteriores eran generalmente generalizaciones más directas, como la ecuación única utilizada anteriormente para las raíces n-ésimas. Los módulos inyectivos puros y proyectivos puros se derivan estrechamente de las ideas del artículo de Prüfer de 1923. Si bien los módulos proyectivos puros no han encontrado tantas aplicaciones como los inyectivos puros, están más estrechamente relacionados con el trabajo original: un módulo es proyectivo puro si es un sumando directo de una suma directa de módulos finitamente presentados. En el caso de los números enteros y los grupos abelianos, un módulo proyectivo puro equivale a una suma directa de grupos cíclicos.

• Phillip A. Griffith (1970). Teoría de grupos abelianos infinitos . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. pp. 9–16. ISBN 0-226-30870-7. Capítulo III.