Primary decomposition

In mathematics, the Lasker–Noether theorem states that every Noetherian ring is a Lasker ring, which means that every ideal can be decomposed as an intersection, called primary decomposition, of finitely many primary ideals (which are related to, but not quite the same as, powers of prime ideals). The theorem was first proven by EmanuelLasker (1905) for the special case of polynomial rings and convergent power series rings, and was proven in its full generality by EmmyNoether (1921).

The Lasker–Noether theorem is an extension of the fundamental theorem of arithmetic, and more generally the fundamental theorem of finitely generated abelian groups to all Noetherian rings. The theorem plays an important role in algebraic geometry, by asserting that every algebraic set may be uniquely decomposed into a finite union of irreducible components.

It has a straightforward extension to modules stating that every submodule of a finitely generated module over a Noetherian ring is a finite intersection of primary submodules. This contains the case for rings as a special case, considering the ring as a module over itself, so that ideals are submodules. This also generalizes the primary decomposition form of the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain, and for the special case of polynomial rings over a field, it generalizes the decomposition of an algebraic set into a finite union of (irreducible) varieties.

The first algorithm for computing primary decompositions for polynomial rings over a field of characteristic 0^{[Note 1]} was published by Noether's student GreteHermann (1926).^[1]^[2] The decomposition does not hold in general for non-commutative Noetherian rings. Noether gave an example of a non-commutative Noetherian ring with a right ideal that is not an intersection of primary ideals.

Primary decomposition of an ideal

Let $R$ be a Noetherian commutative ring. An ideal $I$ of $R$ is called primary if it is a proper ideal and for each pair of elements $x$ and $y$ in $R$ such that $xy$ is in $I$ , either $x$ or some power of $y$ is in $I$ ; equivalentemente, todo divisor de cero en el cociente $R/I$ es nilpotente. El radical de un ideal primario $Q$ es un ideal primordial y $Q$ Se dice que ${\mathfrak {p}}$ -principal para ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}$ .

Dejar $I$ ser un ideal en $R$ . Entonces $I$ tiene una descomposición primaria irredundante en ideales primarios:

I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\

.

Irresponsabilidad significa:

Eliminar cualquiera de los $Q_{i}$ cambia la intersección, es decir, para cada $i$ tenemos: $\cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}$ .
Los ideales primordiales ${\sqrt {Q_{i}}}$ son todos distintos.

Además, esta descomposición es única en dos aspectos:

El conjunto $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ está determinado de forma única por $I$ , y
Si ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}$ es un elemento mínimo del conjunto anterior, entonces $Q_{i}$ está determinado de forma única por $I$ ; En realidad, $Q_{i}$ es la preimagen de $IR_{\mathfrak {p}}$ bajo el mapa de localización $R\to R_{\mathfrak {p}}$ .

Ideales primarios que corresponden a ideales primos no mínimos sobre $I$ En general, no son únicos (véase un ejemplo más abajo). Para conocer la existencia de la descomposición, véase #Descomposición primaria a partir de primos asociados más abajo.

Los elementos de $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ se llaman divisores primos de $I$ o los primos pertenecientes a $I$ En el lenguaje de la teoría de módulos, como se analiza a continuación, el conjunto $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ es también el conjunto de primos asociados de la $R$ -módulo $R/I$ . Explícitamente, eso significa que existen elementos $g_{1},\dots ,g_{n}$ en $R$ de tal manera que

{\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.

^{[ 3 ]}

A modo de atajo, algunos autores llaman a un primo asociado de $R/I$ simplemente un primo asociado de $I$ (Tenga en cuenta que esta práctica entrará en conflicto con el uso descrito en la teoría del módulo).

Los elementos mínimos de $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ son los mismos que los ideales primos mínimos que contienen $I$ y se denominan primos aislados .
Por otro lado, los elementos no mínimos se denominan primos incrustados .

En el caso del anillo de enteros $\mathbb {Z}$ , el teorema de Lasker-Noether es equivalente al teorema fundamental de la aritmética . Si un entero $n$ tiene factorización prima $n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}$ , entonces la descomposición primaria del ideal $\langle n\rangle$ generado por $n$ en $\mathbb {Z}$ , es

\langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .

De manera similar, en un dominio de factorización única , si un elemento tiene una factorización prima $f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},$ dónde $u$ es una unidad , entonces la descomposición primaria del ideal principal generado por $f$ es

\langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .

Ejemplos

Los ejemplos de esta sección están diseñados para ilustrar algunas propiedades de las descomposiciones primarias, que pueden parecer sorprendentes o contraintuitivas. Todos los ejemplos son ideales en un anillo de polinomios sobre un cuerpo $k$ .

Intersección vs. producto

La descomposición primaria en $k[x,y,z]$ del ideal $I=\langle x,yz\rangle$ es

I=\langle x,yz\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,z\rangle .

Debido al generador de grado uno, $I$ no es el producto de dos ideales mayores. Un ejemplo similar se da en dos indeterminadas por

I=\langle x,y(y+1)\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,y+1\rangle .

Potencia primaria frente a potencia principal

En $k[x,y]$ , el ideal $\langle x,y^{2}\rangle$ es un ideal primario que tiene $\langle x,y\rangle$ como primo asociado. No es una potencia de su primo asociado.

No unicidad y primo incrustado

Para cada entero positivo $n$ , una descomposición primaria en $k[x,y]$ del ideal $I=\langle x^{2},xy\rangle$ es

I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .

Los números primos asociados son

\langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .

Ejemplo: Sea N = R = k [ x , y ] para algún campo k , y sea M el ideal ( xy , y ² ). Entonces M tiene dos descomposiciones primarias mínimas diferentes M = ( y ) ∩ ( x , y ² ) = ( y ) ∩ ( x + y , y ² ). El primo mínimo es ( y ) y el primo incrustado es ( x , y ).

Primo no asociado entre dos primos asociados

En $k[x,y,z],$ el ideal $I=\langle x^{2},xy,xz\rangle$ tiene la descomposición primaria (no única)

I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .

Los ideales primordiales asociados son $\langle x\rangle \subset \langle x,y,z\rangle ,$ y $\langle x,y\rangle$ es un ideal primo no asociado tal que

\langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle \subset \langle x,y,z\rangle .

Un ejemplo complicado

Salvo en ejemplos muy sencillos, una descomposición primaria puede ser difícil de calcular y generar un resultado muy complejo. El siguiente ejemplo se ha diseñado para proporcionar precisamente un resultado complejo, sin dejar de ser accesible mediante cálculos manuales.

Dejar

{\begin{aligned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aligned}}

sean dos polinomios homogéneos en $x, y$ , cuyos coeficientes $a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}$ son polinomios en otras indeterminadas $z_{1},\ldots ,z_{h}$ sobre un campo $k$ . Es decir, $P$ y $Q$ pertenecen a $R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],$ y es en este anillo donde se produce una descomposición primaria del ideal $I=\langle P,Q\rangle$ se busca. Para calcular la descomposición primaria, suponemos primero que 1 es el máximo común divisor de $P$ y $Q.$

Esta condición implica que $I$ no tiene ningún componente primario de altura uno. Como $I$ está generado por dos elementos, esto implica que es una intersección completa (más precisamente, define un conjunto algebraico que es una intersección completa) y, por lo tanto, todos los componentes primarios tienen altura dos . En consecuencia, los primos asociados de $I$ son precisamente los ideales primos de altura dos que contienen $a I.$

Resulta que $\langle x,y\rangle$ es un primo asociado de $I.$

Dejar $D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}]$ Sea I el resultante homogéneo en $x, y$ de $P$ y $Q.$ Como el máximo común divisor de $P$ y $Q$ es una constante, el resultante $D$ no es cero, y la teoría de resultantes implica que $I$ contiene todos los productos de $D$ por un monomio en $x, y$ de grado $m + n - 1.$ Como $D\not \in \langle x,y\rangle ,$ todos estos monomios pertenecen al componente primario contenido en $\langle x,y\rangle .$ Este componente primario contiene $P$ y $Q$ , y el comportamiento de las descomposiciones primarias bajo localización muestra que este componente primario es

\{t|\exists e,D^{e}t\in I\}.

En resumen, tenemos un componente primario, con el primo asociado muy simple. $\langle x,y\rangle ,$ Todos sus conjuntos generadores involucran todas las indeterminadas.

El otro componente primario contiene $D.$ Se puede demostrar que si $P$ y $Q$ son suficientemente genéricos (por ejemplo, si los coeficientes de $P$ y $Q$ son indeterminadas distintas), entonces solo hay otro componente primario, que es un ideal primo, y está generado por $P$ , $Q$ y $D.$

Interpretación geométrica

En geometría algebraica , un conjunto algebraico afín $V (I)$ se define como el conjunto de los ceros comunes de un ideal $I$ de un anillo de polinomios. $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$

Una descomposición primaria irredundante

I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}

de $I$ define una descomposición de $V (I)$ en una unión de conjuntos algebraicos $V (Q i)$ , que son irreducibles, como no ser la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños.

Si $P_{i}$ es el primo asociado de $Q_{i}$ , entonces $V(P_{i})=V(Q_{i}),$ y el teorema de Lasker-Noether muestra que $V (I)$ tiene una descomposición irredundante única en variedades algebraicas irreducibles.

V(I)=\bigcup V(P_{i}),

donde la unión se restringe a los primos asociados mínimos. Estos primos asociados mínimos son los componentes primarios del radical de $I.$ Por esta razón, la descomposición primaria del radical de $I$ a veces se denomina descomposición prima de $I.$

Los componentes de una descomposición primaria (así como de la descomposición de conjuntos algebraicos) que corresponden a primos mínimos se denominan aislados , y los demás se denominanincorporado .

Para la descomposición de variedades algebraicas, solo los primos mínimos son interesantes, pero en la teoría de la intersección y, más generalmente, en la teoría de esquemas , la descomposición primaria completa tiene un significado geométrico.

Descomposición primaria a partir de primos asociados

Actualmente, es común realizar la descomposición primaria de ideales y módulos dentro de la teoría de los números primos asociados . El influyente libro de texto de Bourbaki , Álgebra conmutativa , en particular, adopta este enfoque.

Dejar $R$ ser un anillo y $M$ un módulo sobre él. Por definición, un primo asociado es un ideal primo que es el anulador de un elemento no nulo de $M$ ; eso es, ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)$ para algunos $m\in M$ (esto implica $m\neq 0$ ). De forma equivalente, un ideal primordial ${\mathfrak {p}}$ es un primo asociado de $M$ si hay una inyección de $R$ -módulos $R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M$ .

Un elemento maximal del conjunto de anuladores de elementos no nulos de $M$ se puede demostrar que es un ideal primo y, por lo tanto, cuando $R$ es un anillo noetheriano, existe un primo asociado de $M$ si y solo si $M$ es distinto de cero.

El conjunto de primos asociados de $M$ se denota por $\operatorname {Ass} _{R}(M)$ o $\operatorname {Ass} (M)$ . Directamente de la definición,

Si $M=\bigoplus _{i}M_{i}$ , entonces $\operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})$ .
Para una secuencia exacta $0\to N\to M\to L\to 0$ , $\operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)$ . ^{[ 4 ]}
Si $R$ es un anillo noetheriano, entonces $\operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)$ dónde $\operatorname {Supp}$ se refiere al soporte . ^{[ 5 ]} Además, el conjunto de elementos mínimos de $\operatorname {Ass} (M)$ es lo mismo que el conjunto de elementos mínimos de $\operatorname {Supp} (M)$ . ^{[ 5 ]}

Si $M$ es un módulo generado finitamente sobre $R$ , entonces hay una secuencia ascendente finita de submódulos

0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,

de tal manera que cada cociente $M_{i}/M_{i-1}$ es isomorfo a $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ por algunos ideales primordiales ${\mathfrak {p}}_{i}$ , cada uno de los cuales está necesariamente en apoyo de $M$ . ^{[ 6 ]} Además, cada primo asociado de $M$ aparece entre el conjunto de números primos ${\mathfrak {p}}_{i}$ ; es decir,

\operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)

. ^{[ 7 ]}

(En general, estas inclusiones no son las igualdades.) En particular, $\operatorname {Ass} (M)$ es un conjunto finito cuando $M$ es generado de forma finita.

Dejar $M$ ser un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano $R$ y $N$ un submódulo de $M$ . Dado $\operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}$ , el conjunto de primos asociados de $M/N$ , existen submódulos $Q_{i}\subset M$ de tal manera que $\operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}$ y

N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.

^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Un submódulo $N$ de $M$ se llama ${\mathfrak {p}}$ -primario si $\operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}$ . Un submódulo del $R$ -módulo $R$ es ${\mathfrak {p}}$ -primario como submódulo si y solo si es un ${\mathfrak {p}}$ -ideal primario; por lo tanto, cuando $M=R$ La descomposición anterior es precisamente una descomposición primaria de un ideal.

Tomando $N=0$ La descomposición anterior indica que el conjunto de primos asociados de un módulo finitamente generado es... $M$ es lo mismo que $\{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})\mid i\}$ cuando $0=\cap _{1}^{n}Q_{i}$ (Sin generación finita, puede haber infinitos números primos asociados).

Propiedades de los números primos asociados

Dejar $R$ ser un anillo noetheriano. Entonces

El conjunto de divisores de cero en $R$ es lo mismo que la unión de los primos asociados de $R$ (esto se debe a que el conjunto de divisores de cero de $R$ es la unión del conjunto de anuladores de elementos distintos de cero, cuyos elementos máximos son primos asociados). ^{[ 10 ]}
Por la misma razón, la unión de los primos asociados de un $R$ -módulo $M$ es exactamente el conjunto de divisores de cero en $M$ , es decir, un elemento $r$ de tal manera que el endomorfismo $m\mapsto rm,M\to M$ no es inyectivo. ^{[ 11 ]}
Dado un subconjunto $\Phi \subset \operatorname {Ass} (M)$ , $M$ un $R$ -módulo, existe un submódulo $N\subset M$ de tal manera que $\operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi$ y $\operatorname {Ass} (M/N)=\Phi$ . ^{[ 12 ]}
Dejar $S\subset R$ ser un subconjunto multiplicativo, $M$ un $R$ -módulo y $\Phi$ el conjunto de todos los ideales primordiales de $R$ no se cruzan $S$ . Entonces ${\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)$ es una biyección . ^{[ 13 ]} Además, $\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)$ . ^{[ 14 ]}
Cualquier ideal primordial mínimo con respecto a contener un ideal $J$ está en $\mathrm {Ass} _{R}(R/J).$ Estos números primos son precisamente los números primos aislados.
Un módulo $M$ encima $R$ tiene longitud finita si y solo si $M$ es finitamente generado y $\mathrm {Ass} (M)$ consta de ideales maximales. ^{[ 15 ]}
Dejar $A\to B$ ser un homomorfismo de anillos entre anillos noetherianos y $F$ a $B$ -módulo que es plano sobre $A$ . Luego, para cada $A$ -módulo $E$ ,

\operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)

. ^{[ 16 ]}

Caso no noetheriano

El siguiente teorema proporciona condiciones necesarias y suficientes para que un anillo tenga descomposiciones primarias para sus ideales.

Teorema — Sea $R$ Sea un anillo conmutativo. Entonces las siguientes expresiones son equivalentes.

Cada ideal en $R$ tiene una descomposición primaria.
$R$ $R$ tiene las siguientes propiedades:
- (L1) Para cada ideal propio $I$ y un ideal primordial ${\mathfrak {p}}$ , existe un $x$ en $R-{\mathfrak {p}}$ de tal manera que $(I:x)$ es la preimagen de $I\,R_{\mathfrak {p}}$ bajo el mapa de localización $R\to R_{\mathfrak {p}}$ .
- (L2) Para cada ideal $I$ , el conjunto de todas las preimágenes de $I\,S^{-1}R$ bajo el mapa de localización $R\to S^{-1}R$ , con $S$ recorriendo todos los subconjuntos multiplicativamente cerrados de $R$ , es finito.

La demostración se presenta en el capítulo 4 de Atiyah–Macdonald como una serie de ejercicios. ^{[ 17 ]}

Existe el siguiente teorema de unicidad para un ideal que tiene una descomposición primaria.

Teorema — Sea $R$ sea un anillo conmutativo y $I$ un ideal. Supongamos $I$ tiene una descomposición primaria mínima $I=\bigcap _{i=1}^{r}{\mathfrak {q}}_{i}$ (nota: "mínimo" implica ${\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}$ son distintos.) Entonces

El conjunto $E=\left\{{\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}\mid 1\leq i\leq r\right\}$ es el conjunto de todos los ideales primos en el conjunto $\left\{{\sqrt {(I:x)}}\mid x\in R\right\}$ .
El conjunto de elementos mínimos de $E$ es lo mismo que el conjunto de ideales primos mínimos sobre $I$ Además, el ideal primario corresponde a un primo mínimo. ${\mathfrak {p}}$ es la preimagen de $I$ $R_{\mathfrak {p}}$ y por lo tanto está determinado de forma única por $I$ .

Ahora, para cualquier anillo conmutativo $R$ , un ideal $I$ y un primo mínimo ${\mathfrak {p}}$ encima $I$ , la preimagen de $I\,R_{\mathfrak {p}}$ bajo el mapa de localización es el más pequeño ${\mathfrak {p}}$ -ideal primario que contiene $I$ . ^{[ 18 ]} Así, en el contexto del teorema precedente, el ideal primario ${\mathfrak {q}}$ correspondiente a un primo mínimo ${\mathfrak {p}}$ También es el más pequeño ${\mathfrak {p}}$ -ideal primario que contiene $I$ y se llama el ${\mathfrak {p}}$ -componente principal de $I$ .

Por ejemplo, si la potencia ${\mathfrak {p}}^{n}$ de un primo ${\mathfrak {p}}$ tiene una descomposición primaria, luego su ${\mathfrak {p}}$ -El componente principal es el $n$ -el poder simbólico de ${\mathfrak {p}}$ .

Teoría aditiva de los ideales

Este resultado es el primero en un área ahora conocida como teoría aditiva de ideales, que estudia las formas de representar un ideal como la intersección de una clase especial de ideales. La decisión sobre la "clase especial", por ejemplo, los ideales primarios, es un problema en sí mismo. En el caso de anillos no conmutativos, la clase de ideales terciarios es un sustituto útil para la clase de ideales primarios.

Notas

↑ La descomposición primaria requiere probar la irreducibilidad de los polinomios, lo cual no siempre es algorítmicamente posible en característica no nula.

↑ Ciliberto, Ciro; Hirzebruch, Friedrich; Miranda, Rick; Teicher, Mina , eds. (2001). Aplicaciones de la geometría algebraica a la teoría de la codificación, la física y la computación . Dordrecht: Springer Netherlands. ISBN 978-94-010-1011-5.
^ Hermann, G. (1926). "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale" . Mathematische Annalen (en alemán). 95 : 736– 788. doi : 10.1007/BF01206635 . S2CID 115897210 .
↑ En otras palabras, ${\sqrt {Q_{i}}}=(I:g_{i})$ es el cociente ideal.
↑ Bourbaki , cap. IV, § 1, nº 1, Proposición 3.
1 2 Bourbaki , cap. IV, § 1, n° 3, Corolario 1.
↑ Bourbaki , cap. IV, § 1, n° 4, Teorema 1.
↑ Bourbaki , cap. IV, § 1, n° 4, Teorema 2.
↑ Bourbaki , Cap. IV, § 2, n.º 2. Teorema 1.
↑ Aquí está la prueba de la existencia de la descomposición (siguiendo a Bourbaki). Sea $M$ ser un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano $R$ y $N$ un submódulo. Para mostrar $N$ admite una descomposición primaria, mediante la sustitución $M$ por $M/N$ , basta con demostrar que cuando $N=0$ . Ahora,
$0=\cap Q_{i}\iff \emptyset =\operatorname {Ass} (\cap Q_{i})=\cap \operatorname {Ass} (Q_{i})$
dónde $Q_{i}$ son submódulos primarios de $M$ En otras palabras, 0 tiene una descomposición primaria si, para cada primo asociado $P$ de $M$ , hay un submódulo principal $Q$ de tal manera que $P\not \in \operatorname {Ass} (Q)$ Ahora, consideremos el conjunto $\{N\subseteq M|P\not \in \operatorname {Ass} (N)\}$ (que no está vacío ya que contiene el cero). El conjunto tiene un elemento máximo. $Q$ desde $M$ es un módulo noetheriano. Si $Q$ no lo es $P$ -primario, por ejemplo, $P'\neq P$ está asociado con $M/Q$ , entonces $R/P'\simeq Q'/Q$ para algún submódulo $Q'$ , contradiciendo la maximalidad. Por lo tanto, $Q$ es primaria y la prueba está completa. Observación: La misma prueba muestra que si $R$ , $M$ , $N$ Todos son calificados, entonces $Q_{i}$ En la descomposición también puede considerarse graduada.
↑ Bourbaki , cap. IV, § 1, Corolario 3.
↑ Bourbaki , cap. IV, § 1, Corolario 2.
↑ Bourbaki , cap. IV, § 1, Proposición 4.
↑ Bourbaki , cap. IV, § 1, núm. 2, Proposición 5.
↑ Matsumura 1970 , 7.C Lema
↑ Cohn, PM (2003), Álgebra básica , Springer, Ejercicio 10.9.7, pág. 391, ISBN 9780857294289.
↑ Bourbaki , cap. IV, § 2. Teorema 2.
↑ Atiyah y Macdonald 1994
↑ Atiyah y Macdonald 1994 , Cap. 4. Ejercicio 11

Referencias

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Bourbaki, Algèbre conmutativo
Danilov, VI (2001) [1994], "Anillo de Lasker" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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Hermann, Grete (1926), "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale" , Mathematische Annalen (en alemán), 95 : 736– 788, doi : 10.1007/BF01206635 , S2CID 115897210 . Traducción al inglés en Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
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Markov, VT (2001) [1994], "Descomposición primaria" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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Enlaces externos

"¿Sigue siendo importante la descomposición primaria?" . MathOverflow . 21 de agosto de 2012.

[1] La descomposición primaria requiere probar la irreducibilidad de los polinomios, lo cual no siempre es algorítmicamente posible en característica no nula.

[2] Ciliberto, Ciro; Hirzebruch, Friedrich; Miranda, Rick; Teicher, Mina , eds. (2001). Aplicaciones de la geometría algebraica a la teoría de la codificación, la física y la computación . Dordrecht: Springer Netherlands. ISBN 978-94-010-1011-5.

[3] Hermann, G. (1926). "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale" . Mathematische Annalen (en alemán). 95 : 736– 788. doi : 10.1007/BF01206635 . S2CID 115897210 .

[4] En otras palabras, ${\sqrt {Q_{i}}}=(I:g_{i})$ es el cociente ideal.

[5] Bourbaki , cap. IV, § 1, nº 1, Proposición 3.

[Supp-6] 1 2 Bourbaki , cap. IV, § 1, n° 3, Corolario 1.

[7] Bourbaki , cap. IV, § 1, n° 4, Teorema 1.

[8] Bourbaki , cap. IV, § 1, n° 4, Teorema 2.

[9] Bourbaki , Cap. IV, § 2, n.º 2. Teorema 1.

[10] Aquí está la prueba de la existencia de la descomposición (siguiendo a Bourbaki). Sea $M$ ser un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano $R$ y $N$ un submódulo. Para mostrar $N$ admite una descomposición primaria, mediante la sustitución $M$ por $M/N$ , basta con demostrar que cuando $N=0$ . Ahora,
$0=\cap Q_{i}\iff \emptyset =\operatorname {Ass} (\cap Q_{i})=\cap \operatorname {Ass} (Q_{i})$
dónde $Q_{i}$ son submódulos primarios de $M$ En otras palabras, 0 tiene una descomposición primaria si, para cada primo asociado $P$ de $M$ , hay un submódulo principal $Q$ de tal manera que $P\not \in \operatorname {Ass} (Q)$ Ahora, consideremos el conjunto $\{N\subseteq M|P\not \in \operatorname {Ass} (N)\}$ (que no está vacío ya que contiene el cero). El conjunto tiene un elemento máximo. $Q$ desde $M$ es un módulo noetheriano. Si $Q$ no lo es $P$ -primario, por ejemplo, $P'\neq P$ está asociado con $M/Q$ , entonces $R/P'\simeq Q'/Q$ para algún submódulo $Q'$ , contradiciendo la maximalidad. Por lo tanto, $Q$ es primaria y la prueba está completa. Observación: La misma prueba muestra que si $R$ , $M$ , $N$ Todos son calificados, entonces $Q_{i}$ En la descomposición también puede considerarse graduada.

[11] Bourbaki , cap. IV, § 1, Corolario 3.

[12] Bourbaki , cap. IV, § 1, Corolario 2.

[13] Bourbaki , cap. IV, § 1, Proposición 4.

[14] Bourbaki , cap. IV, § 1, núm. 2, Proposición 5.

[15] Matsumura 1970 , 7.C Lema

[16] Cohn, PM (2003), Álgebra básica , Springer, Ejercicio 10.9.7, pág. 391, ISBN 9780857294289.

[17] Bourbaki , cap. IV, § 2. Teorema 2.

[18] Atiyah y Macdonald 1994

[19] Atiyah y Macdonald 1994 , Cap. 4. Ejercicio 11

[Note 1]

[1]

[2]

[ 3 ]

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[ 5 ]

[ 6 ]

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