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Articulo de referencia

Distribución (teoría de números)

En álgebra y teoría de números , una distribución es una función en un sistema de conjuntos finitos en un grupo abeliano que es análoga a una integral: es, por lo tanto, el anál...

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En álgebra y teoría de números , una distribución es una función en un sistema de conjuntos finitos en un grupo abeliano que es análoga a una integral: es, por lo tanto, el análogo algebraico de una distribución en el sentido de función generalizada .

Los ejemplos originales de distribuciones aparecen, sin nombre, como funciones φ en Q / Z que satisfacen [ 1 ].

∑r=0norte−1ϕ(incógnita+rnorte)=ϕ(norteincógnita) .{\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .}

Estas distribuciones se denominan distribuciones ordinarias. [ 2 ] También aparecen en la teoría de integración p -ádica en la teoría de Iwasawa . [ 3 ]

Sea ... → X n +1 → X n → ... un sistema proyectivo de conjuntos finitos con sobreyecciones, indexados por los números naturales, y sea X su límite proyectivo . Damos a cada X n la topología discreta , de modo que X sea compacto . Sea φ = (φ n ) una familia de funciones en X n que toman valores en un grupo abeliano V y son compatibles con el sistema proyectivo:

w(metro,norte)∑y↦incógnitaϕ(y)=ϕ(incógnita){\displaystyle w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)}

para alguna función de peso w . La familia φ es entonces una distribución en el sistema proyectivo X.

Una función f en X es "localmente constante" o una " función escalonada " si se factoriza a través de algún X n . Podemos definir una integral de una función escalonada con respecto a φ como

∫Fdϕ=∑incógnita∈incógnitanorteF(incógnita)ϕnorte(incógnita) .{\displaystyle \int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .}

La definición se extiende a sistemas proyectivos más generales, como aquellos indexados por los enteros positivos ordenados por divisibilidad. Como caso especial importante, consideremos el sistema proyectivo Z / n ‌ Z indexado por los enteros positivos ordenados por divisibilidad. Lo identificamos con el sistema (1/ n ) Z / Z con límite Q / Z .

Para x en R , sea ⟨ x ⟩ la parte fraccionaria de x normalizada a 0 ≤ ⟨ x ⟩ < 1, y sea { x } la parte fraccionaria normalizada a 0  <  { x }  ≤  1.

Ejemplos

Función zeta de Hurwitz

El teorema de multiplicación para la función zeta de Hurwitz

ζ(s,a)=∑norte=0∞(norte+a)−s{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _ {n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}}

proporciona una relación de distribución

∑pag=0q−1ζ(s,a+pag/q)=qsζ(s,qa) .{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .}

Por lo tanto, para un s dado , el mapat↦ζ(s,{t}){\displaystyle t\mapsto \zeta (s,\{t\})}es una distribución en Q / Z .

Distribución de Bernoulli

Recordemos que los polinomios de Bernoulli B n se definen por

Bnorte(incógnita)=∑k=0norte(nortenorte−k)bkincógnitanorte−k ,{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _ {k=0}^{n}{n \choose nk}b_{k}x^{nk}\ ,}

para n ≥ 0, donde b k son los números de Bernoulli , con función generadora

tmiincógnitatmit−1=∑norte=0∞Bnorte(incógnita)tnortenorte¡ .{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\ .}

Satisfacen la relación de distribución

Bk(incógnita)=nortek−1∑a=0norte−1bk(incógnita+anorte) .{\displaystyle B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .}

Así pues, el mapa

ϕnorte:1norteZ/Z→Q{\displaystyle \phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} }

definido por

ϕnorte:incógnita↦nortek−1Bk(⟨incógnita⟩){\displaystyle \phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )}

es una distribución. [ 4 ]

Unidades ciclotómicas

Las unidades ciclotómicas satisfacen relaciones de distribución . Sea a un elemento de Q / Z primo a p y sea g a denotar exp(2πi a )−1. Entonces, para a ≠ 0 tenemos [ 5 ]

∏pagb=agramob=gramoa .{\displaystyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .}

Distribución universal

Se consideran las distribuciones de Z con valores en algún grupo abeliano V y se busca la distribución "universal" o más general posible.

Distribuciones de Stickelberger

Sea h una distribución ordinaria en Q / Z que toma valores en un cuerpo F. Sea G ( N ) el grupo multiplicativo de Z / N ‌ Z , y para cualquier función f en G ( N ) extendemos f a una función en Z / N ‌ Z tomando f igual a cero fuera de G ( N ). Definimos un elemento del álgebra de grupo F [ G ( N )] mediante

gramonorte(r)=1|GRAMO(norte)|∑a∈GRAMO(norte)h(⟨ranorte⟩)σa−1 .{\displaystyle g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .}

Las álgebras de grupo forman un sistema proyectivo con límite X. Entonces las funciones g N forman una distribución en Q / Z con valores en X , la distribución de Stickelberger asociada con h .

medidas p-ádicas

Consideremos el caso especial en que el grupo de valores V de una distribución φ en X toma valores en un cuerpo local K , finito sobre Q p , o más generalmente, en un espacio de Banach p -ádico de dimensión finita W sobre K , con valuación |·|. Llamamos a φ una medida si |φ| está acotada en subconjuntos abiertos compactos de X. [ 6 ] Sea D el anillo de enteros de K y L un retículo en W , es decir, un D -submódulo libre de W con K ⊗ L = W. Salvo escalamiento, una medida puede tomarse para tener valores en L.

Operadores y medidas de Hecke

Sea D un entero fijo primo con p y consideremos Z D , el límite del sistema Z / p n D . Consideremos cualquier autofunción del operador de Hecke T p con autovalor λ p primo con p . Describimos un procedimiento para derivar una medida de Z D .

Fijemos un entero N primo con p y con D. Sea F el D -módulo de todas las funciones sobre números racionales con denominador coprimo con N. Para cualquier primo l que no divida a N, definimos el operador de Hecke T l mediante

(TlF)(ab)=F(lab)+∑k=0l−1F(a+kblb)−∑k=0l−1F(kl) .{\displaystyle (T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .}

Sea f una autofunción para T p con autovalor λ p en D . La ecuación cuadrática X 2  −  λ p X  + p = 0 tiene raíces π 1 , π 2 con π 1 a unidad y π 2 divisible por p . Definimos una sucesión a 0 = 2, a 1 = π 1 +π 2 = λ p y       

ak+2=λpagak+1−pagak ,{\displaystyle a_{k+2}=\lambda _ {p}a_ {k+1}-pa_ {k}\ ,}

de modo que

ak=π1k+π2k .{\displaystyle a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .}

Referencias

  1. ↑ Kubert y Lang (1981) pág. 1
  2. ↑ Lang (1990) pág. 53
  3. ↑ Mazur y Swinnerton-Dyer (1972) pág. 36
  4. ↑ Lang (1990) pág. 36
  5. ↑ Lang (1990) pág. 157
  6. ↑ Mazur y Swinnerton-Dyer (1974) pág. 37