Unidad ciclotómica

En matemáticas, una unidad ciclotómica (o unidad circular ) es una unidad de un cuerpo numérico algebraico que es el producto de números de la forma (ζ ^a _n − 1) para ζ  _n es^{la raíz enésima}dela unidady 0 <a<n.

Las unidades ciclotómicas forman un subgrupo de índice finito en el grupo de unidades de un cuerpo ciclotómico . El índice de este subgrupo de unidades ciclotómicas reales (aquellas unidades ciclotómicas en el subcuerpo real maximal) dentro del grupo completo de unidades reales es igual al número de clase del subcuerpo real maximal del cuerpo ciclotómico . ^{[ 1 ]}

• Si n es la potencia de un primo, entonces ζ ^a _n − 1 no es una unidad; sin embargo, los números (ζ ^a _n − 1)/(ζ_n − 1)para(a,n) = 1, y ±ζ ^a _n generan el grupo de unidades ciclotómicas.

• Si n es un número compuesto que tiene dos o más factores primos distintos, entonces ζ ^a _n − 1 es una unidad. El subgrupo de unidades ciclotómicas generado por (ζ ^a _n − 1)/(ζ_n − 1)con(a,n) = 1no es de índice finito en general. ^{[ 2 ]}

Las unidades ciclotómicas satisfacen relaciones de distribución . Sea a un número racional primo con p y sea g _a denotar exp(2 πia ) − 1 . Entonces, para a ≠ 0 tenemos${\textstyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}}$. ^{[ 3 ]}

Utilizando estas relaciones de distribución y la relación de simetría ζ ^a _n − 1 = −ζ ^a _n (ζ ^{− a} _n − 1), se puede construir una base B _{n de las unidades ciclotómicas con la propiedad de que} B _d ⊆ B _n para d | n . ^{[ 4 ]}

• Unidad elíptica
• Unidad modular

• Lang, Serge (1990). Campos ciclotómicos I y II . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  121 (segunda  edición combinada). Springer Verlag . ISBN 3-540-96671-4. Zbl 0704.11038 . 
• Narkiewicz, Władysław (1990). Teoría elemental y analítica de los números (Segunda edición, sustancialmente revisada y ampliada  ). Springer-Verlag . ISBN 3-540-51250-0. Zbl 0717.11045 . 
• Washington, Lawrence C. (1997). Introducción a los campos ciclotómicos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  83 (2.ª  ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047 .