Unidad elíptica

En matemáticas , las unidades elípticas son ciertas unidades de extensiones abelianas de campos cuadráticos imaginarios construidos usando valores singulares de funciones modulares o valores de división de funciones elípticas . Fueron introducidas por Gilles Robert en 1973 y fueron utilizadas por John Coates y Andrew Wiles en su trabajo sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . Las unidades elípticas son un análogo de los campos cuadráticos imaginarios de unidades ciclotómicas . Forman un ejemplo de un sistema de Euler .

Se puede construir un sistema de unidades elípticas para una curva elíptica E con multiplicación compleja por el anillo de enteros R de un cuerpo cuadrático imaginario F . Para simplificar, suponemos que F tiene la clase número uno. Sea a un ideal de R con generador α. Para un modelo de Weierstrass de E , definamos

${\displaystyle \Theta _{\mathbf {a} }(P)=\alpha ^{-12}\Delta _{E}^{N\mathbf {a} -1}\prod _{\mathbf {a} P=0,P\neq 0}(xx(P))^{-6}\ .}$

donde P es un punto en E , Δ es el discriminante y x es la coordenada X en el modelo de Weierstrass. La función Θ es independiente de la elección del modelo y se define sobre el campo de definición de E .

Sea b un ideal de R coprimo a a y Q un R -generador de la b -torsión. Entonces Θ _a ( Q ) está definido sobre el campo de clase de rayos K ( b ), y si b no es una potencia prima entonces Θ _a ( Q ) es una unidad global: si b es una potencia de un primo p entonces Θ _a ( Q ) está a una unidad de p .

La función Θ _a satisface una relación de distribución para b = (β) coprimo con a :

${\displaystyle \prod_{b}Q=0}\Theta_{a}(P+R)=\Theta_{a}(\beta P)\ .}$

• Unidad modular

• Coates, JH ; Greenberg, R.; Ribet, KA ; Rubin, K. (1999). Teoría aritmética de curvas elípticas . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1716. Springer-Verlag . ISBN. 3-540-66546-3.
• Coates, John ; Wiles, Andrew (1977). "Sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer". Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223–251. doi :10.1007/BF01402975. Zbl  0359.14009.
• Kubert, Daniel S.; Lang, Serge (1981). Unidades modulares . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 244. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90517-4.MR  0648603.Zbl 0492.12002  .​
• Robert, Gilles Unidades elípticas. (Unidades elípticas) Toro. Soc. Matemáticas. Francia, Supp. Mém. No 36. Toro. Soc. Matemáticas. Francia, Tomo 101. Société Mathématique de France, París, 1973. 77 págs.