Función de distribución acumulativa

A veces, es útil estudiar la pregunta opuesta y preguntar con qué frecuencia la variable aleatoria está por encima de un nivel particular. Esto se llamafunción de distribución acumulativa complementaria (ccdf ) o simplemente eldistribución de cola osuperación , y se define como $${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=\operatorname {P} (X>x)=1-F_{X}(x).}$$

This has applications in statisticalhypothesis testing, for example, because the one-sided p-value is the probability of observing a test statistic at least as extreme as the one observed. Thus, provided that the test statistic, T, has a continuous distribution, the one-sided p-value is simply given by the ccdf: for an observed value ${\displaystyle t}$ of the test statistic $${\displaystyle p=\operatorname {P} (T\geq t)=\operatorname {P} (T>t)=1-F_{T}(t).}$$

In survival analysis, ${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)}$ is called the survival function and denoted ${\displaystyle S(x)}$, while the term reliability function is common in engineering.

Properties

• For a non-negative continuous random variable having an expectation, Markov's inequality states that^[6]$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{x}}.}$$
• As ${\displaystyle x\to \infty ,{\bar {F}}_{X}(x)\to 0}$, and in fact ${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=o(1/x)}$ provided that ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ is finite. Proof: Assuming ${\displaystyle X}$ has a density function ${\displaystyle f_{X}}$, for any ${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\geq \int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx+c\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$ Then, on recognizing $${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(c)=\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$ and rearranging terms, $${\displaystyle 0\leq c{\bar {F}}_{X}(c)\leq \operatorname {E} (X)-\int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx\to 0{\text{ as }}c\to \infty }$$ as claimed.
• For a random variable having an expectation, $${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(x)\,dx-\int _{-\infty }^{0}F_{X}(x)\,dx}$$ and for a non-negative random variable the second term is 0. If the random variable can only take non-negative integer values, this is equivalent to $${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{n=0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(n).}$$

While the plot of a cumulative distribution ${\displaystyle F}$ often has an S-like shape, an alternative illustration is the folded cumulative distribution or mountain plot, which folds the top half of the graph over,^[7][8] that is

${\displaystyle F_{\text{fold}}(x)=F(x)1_{\{F(x)\leq 0.5\}}+(1-F(x))1_{\{F(x)>0.5\}}}$

where ${\displaystyle 1_{\{A\}}}$ denotes the indicator function and the second summand is the survivor function, thus using two scales, one for the upslope and another for the downslope. This form of illustration emphasises the median, dispersion (specifically, the mean absolute deviation from the median^[9]) and skewness of the distribution or of the empirical results.

If the CDF F is strictly increasing and continuous then ${\displaystyle F^{-1}(p),p\in [0,1],}$ is the unique real number ${\displaystyle x}$ such that ${\displaystyle F(x)=p}$. This defines the inverse distribution function or quantile function.

Some distributions do not have a unique inverse (for example if ${\displaystyle f_{X}(x)=0}$ for all ${\displaystyle a<x<b}$, causing ${\displaystyle F_{X}}$(para ser constante). En este caso, se puede utilizar la función de distribución inversa generalizada , que se define como

${\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq p\},\quad \forall p\in [0,1].}$

• Ejemplo 1: La mediana es${\displaystyle F^{-1}(0.5)}$.
• Ejemplo 2: Poner${\displaystyle \tau =F^{-1}(0.95)}$. Entonces llamamos${\displaystyle \tau }$el percentil 95.

Algunas propiedades útiles de la función de distribución acumulada inversa (que también se conservan en la definición de la función de distribución inversa generalizada ) son:

1. ${\displaystyle F^{-1}}$es no decreciente ^{[ 10 ]}
2. ${\displaystyle F^{-1}(F(x))\leq x}$
3. ${\displaystyle F(F^{-1}(p))\geq p}$
4. ${\displaystyle F^{-1}(p)\leq x}$si y solo si${\displaystyle p\leq F(x)}$
5. Si${\displaystyle Y}$tiene un${\displaystyle U[0,1]}$distribución entonces${\displaystyle F^{-1}(Y)}$se distribuye como${\displaystyle F}$Esto se utiliza en la generación de números aleatorios mediante el método de muestreo de transformación inversa .
6. Si${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$es una colección de independientes${\displaystyle F}$-variables aleatorias distribuidas definidas en el mismo espacio muestral , entonces existen variables aleatorias${\displaystyle Y_{\alpha }}$de tal manera que${\displaystyle Y_{\alpha }}$se distribuye como${\displaystyle U[0,1]}$y${\displaystyle F^{-1}(Y_{\alpha })=X_{\alpha }}$con probabilidad 1 para todos${\displaystyle \alpha }$.

La inversa de la función de distribución acumulada (FDA) se puede utilizar para trasladar los resultados obtenidos para la distribución uniforme a otras distribuciones.

La función de distribución empírica es una estimación de la función de distribución acumulativa que generó los puntos de la muestra. Converge con probabilidad 1 a dicha distribución subyacente. Existen diversos resultados para cuantificar la tasa de convergencia de la función de distribución empírica a la función de distribución acumulativa subyacente. ^{[ 11 ]}

Cuando se trabaja simultáneamente con más de una variable aleatoria, también se puede definir la función de distribución acumulativa conjunta . Por ejemplo, para un par de variables aleatorias.${\displaystyle X,Y}$, el CDF conjunto${\displaystyle F_{XY}}$está dado por ^{[ 2 ] : 89}

donde el lado derecho representa la probabilidad de que la variable aleatoria${\displaystyle X}$toma un valor menor o igual a${\displaystyle x}$y eso${\displaystyle Y}$toma un valor menor o igual a${\displaystyle y}$.

Ejemplo de función de distribución acumulativa conjunta:

Para dos variables continuas X e Y :$${\displaystyle \Pr(a<X<b{\text{ and }}c<Y<d)=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx;}$$

Para dos variables aleatorias discretas, es beneficioso generar una tabla de probabilidades y abordar la probabilidad acumulada para cada rango potencial de X e Y , y aquí está el ejemplo: ^{[ 12 ]}

Dada la función de probabilidad conjunta en forma tabular, determine la función de distribución acumulativa conjunta.

Solución: utilizando la tabla de probabilidades dada para cada rango potencial de X e Y , la función de distribución acumulativa conjunta se puede construir en forma tabular:

Para${\displaystyle N}$variables aleatorias${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$, el CDF conjunto${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}}$es dado por

Interpretando la${\displaystyle N}$variables aleatorias como un vector aleatorio${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}}$produce una notación más corta: $${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})}$$

Cada función de distribución acumulada multivariada es:

1. Monótonamente no decreciente para cada una de sus variables,
2. Continua por la derecha en cada una de sus variables,
3. ${\displaystyle 0\leq F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq 1,}$
4. ${\displaystyle \lim _{x_{1},\ldots ,x_{n}\to +\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$y${\displaystyle \lim _{x_{i}\to -\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$para todos yo .

No toda función que satisface las cuatro propiedades anteriores es una función de distribución acumulada multivariada, a diferencia del caso de una sola dimensión. Por ejemplo, sea${\displaystyle F(x,y)=0}$para${\displaystyle x<0}$o${\displaystyle x+y<1}$o${\displaystyle y<0}$y dejar${\displaystyle F(x,y)=1}$de lo contrario. Es fácil ver que se cumplen las condiciones anteriores y, sin embargo,${\displaystyle F}$no es una función de distribución acumulada (CDF) ya que si lo fuera, entonces${\textstyle \operatorname {P} \left({\frac {1}{3}}<X\leq 1,{\frac {1}{3}}<Y\leq 1\right)=-1}$como se explica a continuación.

La probabilidad de que un punto pertenezca a un hiperrectángulo es análoga al caso unidimensional: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=\operatorname {P} (a<X_{1}\leq b,c<X_{2}\leq d)=\int \cdots }$$

La generalización de la función de distribución acumulativa de variables aleatorias reales a complejas no es obvia porque las expresiones de la forma${\displaystyle P(Z\leq 1+2i)}$no tienen sentido. Sin embargo, expresiones de la forma${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$tiene sentido. Por lo tanto, definimos la distribución acumulativa de una variable aleatoria compleja mediante la distribución conjunta de sus partes real e imaginaria: $${\displaystyle F_{Z}(z)=F_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})=P(\Re {(Z)}\leq \Re {(z)},\Im {(Z)}\leq \Im {(z)}).}$$

La generalización de la ecuación 4 produce $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )&=F_{\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})}}(\Re {(z_{1})},\Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(z_{n})},\Im {(z_{n})})\\[1ex]&=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})\end{aligned}}}$$ como definición para el CDS de un vector aleatorio complejo${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{N})^{T}}$.

La prueba de Kolmogorov-Smirnov se basa en funciones de distribución acumulativa y se puede utilizar para comprobar si dos distribuciones empíricas son diferentes o si una distribución empírica difiere de una distribución ideal. La prueba de Kuiper, estrechamente relacionada , resulta útil si el dominio de la distribución es cíclico, como en el caso del día de la semana. Por ejemplo, la prueba de Kuiper podría utilizarse para determinar si el número de tornados varía a lo largo del año o si las ventas de un producto varían según el día de la semana o el día del mes.