Función de supervivencia

La función de supervivencia es una función que proporciona la probabilidad de que un paciente, dispositivo u otro objeto de interés sobreviva más allá de un tiempo determinado. ^{[ 1 ]} La función de supervivencia también se conoce como función de supervivencia ^{[ 2 ]} o función de fiabilidad . ^{[ 3 ]} El término función de fiabilidad es común en ingeniería , mientras que el término función de supervivencia se utiliza en un rango más amplio de aplicaciones, incluida la mortalidad humana. La función de supervivencia es la función de distribución acumulativa complementaria de la vida útil. En ocasiones, las funciones de distribución acumulativa complementarias se denominan funciones de supervivencia en general.

Definición

Deja que la vida $T$ sea una variable aleatoria continua que describa el tiempo hasta el fallo. $T$ tiene función de distribución acumulativa $F(t)$ y función de densidad de probabilidad $f(t)$ en el intervalo $[0,\infty )$ , entonces la función de supervivencia o función de confiabilidad es:

$S(t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=\Pr(T>t)=1-F(t)=1-\int _{0}^{t}f(u)\,du$

Ejemplos de funciones de supervivencia

Los gráficos que aparecen a continuación muestran ejemplos de funciones de supervivencia hipotéticas. El eje $x$ representa el tiempo. El eje $y$ representa la proporción de sujetos que sobreviven. Los gráficos muestran la probabilidad de que un sujeto sobreviva más allá del tiempo $t$ .

Por ejemplo, para la función de supervivencia 1, la probabilidad de sobrevivir más de $t = 2$ meses es $0,37$ . Es decir, el 37% de los sujetos sobreviven más de 2 meses.

Para la función de supervivencia 2, la probabilidad de sobrevivir más de $t = 2$ meses es $0,97$ . Es decir, el 97% de los sujetos sobreviven más de 2 meses.

La mediana de supervivencia se puede determinar a partir de la función de supervivencia: La mediana de supervivencia es el punto donde la función de supervivencia interseca el valor $0,5$ . ^{[ 4 ]} Por ejemplo, para una función de supervivencia de 2, el 50 % de los sujetos sobreviven 3,72 meses. Por lo tanto, la mediana de supervivencia es de $3,72$ meses.

La mediana de supervivencia no siempre se puede determinar solo a partir del gráfico. Por ejemplo, en la función de supervivencia 4, más del 50 % de los sujetos sobreviven más allá del período de observación de 10 meses.

La función de supervivencia es una de las varias formas de describir y mostrar datos de supervivencia. Otra forma útil de mostrar datos es un gráfico que muestra la distribución de los tiempos de supervivencia de los sujetos. Olkin, ^{[ 5 ]} página 426, da el siguiente ejemplo de datos de supervivencia. Se registró el número de horas entre fallas sucesivas de un sistema de aire acondicionado (AC). El tiempo en horas, $t$ , entre fallas sucesivas es 1, 3, 5, 7, 11, 11, 11, 12, 14, 14, 14, 16, 16, 20, 21, 23, 42, 47, 52, 62, 71, 71, 87, 90, 95, 120, 120, 225, 246 y 261. El tiempo medio entre fallas es 59,6. La figura siguiente muestra la distribución del tiempo entre fallas. Las marcas azules debajo del gráfico representan las horas reales transcurridas entre fallos sucesivos del aire acondicionado.

En este ejemplo, una curva que representa la distribución exponencial se superpone a la distribución de los tiempos de falla del aire acondicionado; la distribución exponencial se aproxima a la distribución de los tiempos de falla del aire acondicionado. Esta curva exponencial en particular se especifica mediante el parámetro lambda, $λ$ :

λ = 1/(tiempo medio entre fallos) = 1/59,6 = 0,0168

.

La distribución de los tiempos de falla es la función de densidad de probabilidad (FDP), ya que el tiempo puede tomar cualquier valor positivo. En las ecuaciones, la FDP se especifica como $f T$ . Si el tiempo solo puede tomar valores discretos (como 1 día, 2 días, etc.), la distribución de los tiempos de falla se denomina función de masa de probabilidad . La mayoría de los métodos de análisis de supervivencia asumen que el tiempo puede tomar cualquier valor positivo, y $f T$ es la FDP. Si el tiempo entre fallas de CA observadas se aproxima mediante la función exponencial, entonces la curva exponencial proporciona la función de densidad de probabilidad, $f T$ , para los tiempos de falla de CA.

Otra forma útil de mostrar los datos de supervivencia es mediante un gráfico que muestre las fallas acumuladas hasta cada punto temporal. Estos datos pueden mostrarse como el número acumulado o la proporción acumulada de fallas hasta cada momento. El siguiente gráfico muestra la probabilidad (o proporción) acumulada de fallas en cada momento para el sistema de aire acondicionado. La línea escalonada negra muestra la proporción acumulada de fallas. Para cada escalón, hay una marca azul en la parte inferior del gráfico que indica un tiempo de falla observado. La línea roja continua representa la curva exponencial ajustada a los datos observados.

La gráfica de la probabilidad acumulada de fallos hasta cada punto temporal se denomina función de distribución acumulada (FDA). En el análisis de supervivencia, la función de distribución acumulada proporciona la probabilidad de que el tiempo de supervivencia sea menor o igual a un tiempo específico, $t$ .

Sea $T$ el tiempo de supervivencia, que puede ser cualquier número positivo. Un tiempo particular se designa con la letra minúscula $t$ . La función de distribución acumulativa de $T$ es la función

$F(t)=\Pr(T\leq t),$

donde el lado derecho representa la probabilidad de que la variable aleatoria $T$ sea menor o igual que $t$ . Si el tiempo puede tomar cualquier valor positivo, entonces la función de distribución acumulativa $F (t)$ es la integral de la función de densidad de probabilidad $f (t)$ .

En el ejemplo del aire acondicionado, el gráfico de la función de distribución acumulada (CDF) que se muestra a continuación ilustra que la probabilidad de que el tiempo hasta la falla sea menor o igual a 100 horas es $de 0,81$ , según la estimación realizada mediante el ajuste de la curva exponencial a los datos.

Una alternativa a graficar la probabilidad de que el tiempo de falla sea menor o igual a 100 horas es graficar la probabilidad de que el tiempo de falla sea mayor que 100 horas. La probabilidad de que el tiempo de falla sea mayor que 100 horas debe ser igual a 1 menos la probabilidad de que el tiempo de falla sea menor o igual a 100 horas, ya que la suma de las probabilidades totales debe ser igual a 1.

Esto da como resultado:

${\begin{aligned}\Pr({\text{tiempos de fallo}}>100{\text{ horas}})&=1-\Pr({\text{tiempos de fallo}}\leq 100{\text{ horas}})\\&=1-0.81=0.19\end{aligned}}$

Esta relación se generaliza a todos los momentos de fallo:

$\Pr(T>t)=1-\Pr(T\leq t)={\text{ función de distribución acumulativa.}}$

Esta relación se muestra en los gráficos a continuación. El gráfico de la izquierda representa la función de distribución acumulativa, $Pr(T \leq t)$ . El gráfico de la derecha representa $Pr(T > t) = 1 - Pr(T \leq t)$ . El gráfico de la derecha representa la función de supervivencia, S ( t ). El hecho de que S ( t ) = 1 – CDF es la razón por la que la función de supervivencia también se conoce como función de distribución acumulativa complementaria.

Funciones de supervivencia paramétricas

En algunos casos, como en el ejemplo del aire acondicionado, la distribución de los tiempos de supervivencia puede aproximarse bien mediante una función como la distribución exponencial. Varias distribuciones se utilizan comúnmente en el análisis de supervivencia, incluyendo la exponencial, Weibull, gamma, normal, log-normal y log-logística. ^{[ 3 ]}^{[ 6 ]} Estas distribuciones se definen mediante parámetros. La distribución normal (gaussiana), por ejemplo, se define mediante los parámetros media y desviación estándar. Las funciones de supervivencia definidas por parámetros se denominan paramétricas.

En los cuatro gráficos de función de supervivencia mostrados anteriormente, la forma de la función de supervivencia está definida por una distribución de probabilidad particular: la función de supervivencia 1 está definida por una distribución exponencial, la 2 por una distribución de Weibull, la 3 por una distribución log-logística y la 4 por otra distribución de Weibull.

función de supervivencia exponencial

Para una distribución de supervivencia exponencial, la probabilidad de fallo es la misma en cada intervalo de tiempo, independientemente de la edad del individuo o del dispositivo. Este hecho da lugar a la propiedad de "falta de memoria" de la distribución de supervivencia exponencial: la edad de un sujeto no afecta a la probabilidad de fallo en el siguiente intervalo de tiempo. La distribución exponencial puede ser un buen modelo para la vida útil de un sistema en el que las piezas se reemplazan a medida que fallan. ^{[ 7 ]} También puede ser útil para modelar la supervivencia de organismos vivos en intervalos cortos. No es probable que sea un buen modelo para la vida útil completa de un organismo vivo. ^{[ 8 ]} Como señalan Efron y Hastie ^{[ 9 ]} (p. 134), "Si la vida humana fuera exponencial, no habría personas viejas ni jóvenes, solo afortunadas o desafortunadas".

función de supervivencia de Weibull

Una suposición clave de la función de supervivencia exponencial es que la tasa de riesgo es constante. En el ejemplo anterior, la proporción de hombres que fallecían cada año era constante (10%), lo que significa que la tasa de riesgo era constante. Sin embargo, esta suposición de riesgo constante puede no ser apropiada. Por ejemplo, en la mayoría de los organismos vivos, el riesgo de muerte es mayor en la vejez que en la mediana edad; es decir, la tasa de riesgo aumenta con el tiempo. En algunas enfermedades, como el cáncer de mama, el riesgo de recurrencia es menor después de 5 años; es decir, la tasa de riesgo disminuye con el tiempo. La distribución de Weibull extiende la distribución exponencial para permitir tasas de riesgo constantes, crecientes o decrecientes.

Otras funciones de supervivencia paramétricas

Existen varias otras funciones de supervivencia paramétricas que pueden proporcionar un mejor ajuste a un conjunto de datos particular, incluidas la normal, la lognormal, la log-logística y la gamma. La elección de la distribución paramétrica para una aplicación particular puede realizarse mediante métodos gráficos o mediante pruebas formales de ajuste. Estas distribuciones y pruebas se describen en libros de texto sobre análisis de supervivencia. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]} Lawless ^{[ 10 ]} ofrece una amplia cobertura de los modelos paramétricos.

Las funciones de supervivencia paramétricas se utilizan habitualmente en aplicaciones de fabricación, en parte porque permiten estimar la función de supervivencia más allá del período de observación. Sin embargo, para un uso adecuado de las funciones paramétricas, es necesario que los datos se ajusten bien a la distribución elegida. Si no se dispone de una distribución apropiada, o si no se puede especificar antes de un ensayo clínico o experimento, las funciones de supervivencia no paramétricas ofrecen una alternativa útil.

Funciones de supervivencia no paramétricas

Un modelo paramétrico de supervivencia puede no ser posible ni deseable. En estos casos, el método más común para modelar la función de supervivencia es el estimador no paramétrico de Kaplan-Meier . Este estimador requiere datos de por vida. Los recuentos periódicos de casos (cohortes) y de fallecimientos (y recuperaciones) son estadísticamente suficientes para realizar estimaciones no paramétricas de máxima verosimilitud y mínimos cuadrados de las funciones de supervivencia, sin necesidad de datos de por vida.

Propiedades

Cada función de supervivencia $S(t)$ $S(t)$ es monótonamente decreciente , es decir $S(u)\leq S(t)$ $S(u)\leq S(t)$ a pesar de $u>t$ $u>t$ .
- Es una propiedad de una variable aleatoria que asigna un conjunto de eventos, generalmente asociados con la mortalidad o la falla de algún sistema, al tiempo .
El tiempo , $t=0$ , representa algún origen, normalmente el comienzo de un estudio o el inicio del funcionamiento de algún sistema. $S(0)$ Suele ser igual a la unidad, pero puede ser menor para representar la probabilidad de que el sistema falle inmediatamente después de su funcionamiento.
Dado que la función de distribución acumulada (CDF) es una función continua por la derecha , la función de supervivencia $S(t)=1-F(t)$ También es continuo por la derecha.
La función de supervivencia puede relacionarse con la función de densidad de probabilidad. $f(t)$ $f(t)$ y la función de riesgo $\lambda (t)$ $\lambda (t)$
- $f(t)=-S'(t)$
- $\lambda (t)=-{\frac {d}{dt}}\log S(t)$

De modo que $S(t)=\exp \left[-\int _{0}^{t}\lambda (t')\,dt'\right]$

El tiempo de supervivencia esperado $\mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }S(t)\,dt$

Véase también

Referencias

1 2 Kleinbaum, David G.; Klein, Mitchel (2012), Análisis de supervivencia: Un texto de autoaprendizaje (Tercera ed.), Springer, ISBN 978-1441966452
↑ Tableman, Mara; Kim, Jong Sung (2003), Análisis de supervivencia usando S (Primera ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1584884088
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↑ Klein, John; Moeschberger, Melvin (2005), Análisis de supervivencia: Técnicas para datos censurados y truncados (Segunda edición), Springer, ISBN 978-0387953991
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↑ Brostrom, Göran (2012), Event History Analysis with R (Primera ed.), Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1439831649
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