Mapeo de contracciones

En matemáticas , una aplicación de contracción , o contracción o contratista , en un espacio métrico ( M , d ) es una función f de M en sí mismo, con la propiedad de que existe algún número real${\displaystyle 0\leq k<1}$de tal manera que para todo x e y en M ,

$${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$$ El valor más pequeño de k se denomina constante de Lipschitz de f . Las aplicaciones contractivas a veces se denominan aplicaciones lipschitzianas . Si la condición anterior se cumple para k  ≤  1, entonces se dice que la aplicación es una aplicación no expansiva .

De forma más general, la idea de una aplicación contractiva puede definirse para aplicaciones entre espacios métricos. Así, si ( M , d ) y ( N , d' ) son dos espacios métricos, entonces${\displaystyle f:M\rightarrow N}$es una aplicación contractiva si existe una constante${\displaystyle 0\leq k<1}$de tal manera que $${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$$ para todo x e y en M.

Cada aplicación de contracción es Lipschitz continua y, por lo tanto , uniformemente continua (para una función Lipschitz continua, la constante k ya no es necesariamente menor que 1).

Una aplicación de contracción tiene como máximo un punto fijo . Además, el teorema del punto fijo de Banach establece que toda aplicación de contracción en un espacio métrico completo no vacío tiene un único punto fijo, y que para cualquier x en M la secuencia de funciones iteradas x , f ( x ), f ( f ( x )), f ( f ( f ( x ))), ... converge al punto fijo. Este concepto es muy útil para sistemas de funciones iteradas donde se utilizan con frecuencia aplicaciones de contracción . El teorema del punto fijo de Banach también se aplica para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y se utiliza en una demostración del teorema de la función inversa . ^{[ 1 ]}

Las aplicaciones de contracción juegan un papel importante en los problemas de programación dinámica . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Un mapeo no expansivo con${\displaystyle k=1}$puede generalizarse a una aplicación firmemente no expansiva en un espacio de Hilbert${\displaystyle {\mathcal {H}}}$si se cumple lo siguiente para todos los x e y en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$: $${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|^{2}\leq \,\langle xy,f(x)-f(y)\rangle ,}$$ dónde $${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|.}$$ Este es un caso especial de${\displaystyle \alpha }$operadores no expansivos promedio con${\displaystyle \alpha =1/2}$. ^{[ 4 ]} Una aplicación firmemente no expansiva es siempre no expansiva, a través de la desigualdad de Cauchy-Schwarz .

La clase de mapas firmemente no expansivos es cerrada bajo combinaciones convexas , pero no composiciones. ^{[ 5 ]} Esta clase incluye aplicaciones proximales de funciones propias, convexas y semicontinuas inferiores, por lo tanto, también incluye proyecciones ortogonales sobre conjuntos convexos cerrados no vacíos . La clase de operadores firmemente no expansivos es igual al conjunto de resolventes de operadores máximamente monótonos . ^{[ 6 ]} Sorprendentemente, mientras que iterar mapas no expansivos no garantiza encontrar un punto fijo (por ejemplo, multiplicación por -1), la firme no expansividad es suficiente para garantizar la convergencia global a un punto fijo, siempre que exista un punto fijo. Más precisamente, si $${\displaystyle \operatorname {Fix} f:=\{x\in {\mathcal {H}}\ |\ f(x)=x\}\neq \varnothing ,}$$ entonces para cualquier punto inicial${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {H}}}$iterando $${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad \forall n\in \mathbb {N} }$$ produce convergencia a un punto fijo${\displaystyle x_{n}\to z\in \operatorname {Fix} f}$Esta convergencia podría ser débil en un entorno de dimensión infinita. ^{[ 5 ]}

Un mapa de subcontratación o subcontratista es un mapa f en un espacio métrico ( M , d ) tal que $${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y);}$$$${\displaystyle d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{a menos que}}\quad x=f(x).}$$ Si la imagen de un subcontratista f es compacta , entonces f tiene un punto fijo. ^{[ 7 ]}

En un espacio localmente convexo ( E , P ) con topología dada por un conjunto P de seminormas , se puede definir para cualquier p ∈ P una p -contracción como una aplicación f tal que existe algún k _p < 1 tal que p ( f ( x ) − f ( y )) ≤ k _p p ( x − y ) . Si f es una p -contracción para todo p ∈ P y ( E , P ) es secuencialmente completo, entonces f tiene un punto fijo, dado como límite de cualquier sucesión x _{n +1} = f ( x _n ), y si ( E , P ) es Hausdorff , entonces el punto fijo es único. ^{[ 8 ]}

• Mapa corto
• Contracción (teoría de operadores)
• Transformación
• Ecuación comparativa
• Teorema de contracción de Blackwell
• Propiedad CLRg

• Istratescu, Vasile I. (1981). Teoría del punto fijo: una introducción . Holanda: D. Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0.Proporciona una introducción a nivel de pregrado.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teoría del punto fijo . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
• Kirk, William A.; Sims, Brailey (2001). Manual de teoría del punto fijo métrico . Londres: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
• Naylor, Arch W.; Sell, George R. (1982). Teoría de operadores lineales en ingeniería y ciencia . Ciencias matemáticas aplicadas. Vol.  40 (Segunda  edición). Nueva York: Springer. págs. 125–134 . ISBN  978-0-387-90748-2.

• Bullo, Francesco (2022). Teoría de la contracción para sistemas dinámicos . Kindle Direct Publishing. ISBN 979-8-8366-4680-6.