Técnicas de prueba de convergencia

Las técnicas de demostración de convergencia son patrones canónicos de demostraciones matemáticas que establecen que las secuencias o funciones convergen a un límite finito cuando el argumento tiende al infinito.

Existen muchos tipos de secuencias y modos de convergencia , y diferentes técnicas de demostración pueden ser más apropiadas que otras para probar cada tipo de convergencia de cada tipo de secuencia. A continuación se presentan algunos de los ejemplos más comunes y típicos. Este artículo pretende ser una introducción destinada a ayudar a los profesionales a explorar las técnicas apropiadas. Los enlaces a continuación brindan detalles sobre las condiciones necesarias y generalizaciones a contextos más abstractos. Las técnicas de demostración para la convergencia de series , un tipo particular de secuencias que corresponden a sumas de muchos términos, se tratan en el artículo sobre pruebas de convergencia .

Convergencia en R ⁿ

Es común querer demostrar la convergencia de una sucesión. $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ o función $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ , dónde $\mathbb {N}$ y $\mathbb {R}$ se refieren a los números naturales y a los números reales , respectivamente, y la convergencia es con respecto a la norma euclidiana , $||\cdot ||_{2}$ .

Los enfoques útiles para esto son los siguientes.

Primeros principios

La definición analítica de convergencia de $f$ hasta un límite $f_{\infty }$ es que ^{[ 1 ]} para todo $\epsilon$ existe un $k_{0}\in \mathbb {N}$ tal para todos $k>k_{0}$ , $\|f(k)-f_{\infty }\|<\epsilon$ . La técnica de prueba más directa a partir de esta definición es encontrar tal $k_{0}$ y demuestre la desigualdad requerida. Si el valor de $f_{\infty }$ Si no se conoce de antemano, las técnicas que se describen a continuación pueden resultar útiles.

Mapeos de contracción

En muchos casos, la función cuya convergencia interesa tiene la forma $f(k+1)=T(f(k))$ para alguna transformación $T$ . Por ejemplo, $T$ podría mapear $f(k)$ a $f(k+1)=Af(k)$ para alguna matriz conforme $A$ , de modo que $f(k)=A^{k}f(0)$ , una generalización matricial de la progresión geométrica . Alternativamente, $T$ puede ser una operación elemento a elemento, como reemplazar cada elemento de $f(k)$ por la raíz cuadrada de su magnitud.

En tales casos, si el problema satisface las condiciones del teorema del punto fijo de Banach (el dominio es un espacio métrico completo no vacío ), entonces es suficiente demostrar la convergencia para probar que $T$ es una aplicación de contracción para demostrar que tiene un punto fijo. Esto requiere que $\|T(x)-T(y)\|<\|\lambda (xy)\|$ por alguna constante $|\lambda |<1$ que es fijo para todos $x$ y $y$ . La composición de dos aplicaciones de contracción es una aplicación de contracción, por lo que si $T=T_{1}\circ T_{2}$ , entonces basta con demostrar que $T_{1}$ y $T_{2}$ son ambos mapeos de contracción.

Ejemplo

Ejemplos famosos de aplicaciones de este enfoque incluyen:

Si $T$ tiene la forma $T(x)=Ax+B$ para algunas matrices $A$ y $B$ , entonces $T^{k}(x)$ converge a $(IA)^{-1}B$ si las magnitudes de todos los valores propios de $A$ son menores que 1 .

Mapeos sin expansión

Si ambas desigualdades anteriores en la definición de una aplicación contractiva se debilitan de "estrictamente menor que" a "menor o igual que", la aplicación es una aplicación no expansiva. No es suficiente probar la convergencia para probar que $T$ es una asignación no expansiva. Por ejemplo, $T(x)=-x$ es un mapeo sin expansión, pero la secuencia $T^{n}(x)$ no converge para ningún $x\neq 0$ Sin embargo, la composición de una aplicación de contracción y una aplicación de no expansión (o viceversa) es una aplicación de contracción.

Mapeos de contracción en dominios limitados

Si $T$ No es una aplicación de contracción en todo su dominio, sino en su codominio (la imagen del dominio), lo cual también es suficiente para la convergencia. Esto también se aplica a las descomposiciones. Por ejemplo, consideremos $T(x)=\cos(\sin(x))$ . La función $\cos$ no es una aplicación de contracción, pero está en el dominio restringido. $[-1,1]$ , que es el codominio de $\sin$ para argumentos reales. Desde $\sin$ es una aplicación no expansiva, esto implica $T$ es un mapeo de contracción.

Subsecuencias convergentes

Cada secuencia acotada en $\mathbb {R} ^{n}$ tiene una subsecuencia convergente, por el teorema de Bolzano-Weierstrass . Si todas estas subsecuencias tienen el mismo límite, entonces la secuencia original también converge a ese límite. Si se puede demostrar que todas las subsecuencias de $f$ debe tener el mismo límite, por ejemplo, demostrando que existe un único punto fijo de la transformación. $T$ y que no existen conjuntos invariantes de $T$ que no contienen puntos fijos de $T$ , entonces la secuencia inicial también debe converger a ese límite.

Monotonicidad (funciones de Lyapunov)

Toda secuencia monótona acotada en $\mathbb {R} ^{n}$ converge a un límite .

Este hecho puede utilizarse directamente y también para demostrar la convergencia de secuencias que no son monótonas utilizando técnicas y teoremas que llevan el nombre de Aleksandr Lyapunov . En estos casos, se define una función. $V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ de tal manera que $V(f(k))$ es monótono en $k$ y por lo tanto $V(f(k))$ converge. Si $V$ Si satisface las condiciones para ser una función de Lyapunov , entonces el teorema de Lyapunov implica que $f$ También es convergente. El teorema de Lyapunov se suele enunciar para ecuaciones diferenciales ordinarias , pero también se puede aplicar a secuencias de iteraciones sustituyendo las derivadas por diferencias discretas.

Los requisitos básicos en $V$ para ser una función de Lyapunov son que

$V(x)>0$ a pesar de $x\neq 0$ y $V(0)=0$
$V(f(k+1))-V(f(k))<0$ para $f(k)\neq 0$ (caso discreto) o ${\dot {V}}(x)<0$ para $x\neq 0$ (caso continuo)
$V$ es "radialmente ilimitado", es decir, que ${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }V(f(k))=\infty }$ para cualquier secuencia con ${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }||f(k)||=\infty }$ .

En muchos casos, una función de Lyapunov cuadrática de la forma $V(x)=x^{T}Ax$ Se pueden encontrar, aunque también son comunes formas más complejas, por ejemplo las entropías en el estudio de la convergencia de las distribuciones de probabilidad .

Para ecuaciones diferenciales con retardo , se aplica un enfoque similar, reemplazando las funciones de Lyapunov por funcionales de Lyapunov, también llamados funcionales de Lyapunov-Krasovskii .

Si la desigualdad en la condición 2 es débil, se puede utilizar el principio de invariancia de LaSalle .

Convergencia de secuencias de funciones

Para considerar la convergencia de secuencias de funciones, ^{[ 2 ]} es necesario definir una distancia entre funciones para reemplazar la norma euclidiana. Estas a menudo incluyen

Convergencia en la norma (convergencia fuerte) : una norma de función, como por ejemplo ${\textstyle \|g\|_{f}=\int _{x\in A}\|g(x)\|dx}$ está definido, y la convergencia ocurre si $||f(n)-f_{\infty }||_{f}\rightarrow 0$ En este caso, todas las técnicas anteriores se pueden aplicar con esta norma de función.
Convergencia puntual : la convergencia se produce si para cada $x$ , $f_{n}(x)\rightarrow f_{\infty }(x)$ Para este caso, las técnicas anteriores se pueden aplicar para cada punto. $x$ con la norma apropiada para $f(x)$ .
Convergencia uniforme : en la convergencia puntual, algunas regiones (abiertas) pueden converger arbitrariamente lento. Con la convergencia uniforme, existe una tasa de convergencia fija tal que todos los puntos convergen al menos a esa velocidad. Formalmente, $\lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f_{\infty }(x)\right|:x\in A\,\}=0,$ dónde $A$ es el dominio de cada $f_{n}$ .

Véase también

Convergencia de series de Fourier

Convergencia de variables aleatorias

Las variables aleatorias ^{[ 3 ]} son más complicadas que los elementos simples de $\mathbb {R} ^{n}$ . (Formalmente, una variable aleatoria es una función de mapeo $x:\Omega \rightarrow V$ desde un espacio para eventos $\Omega$ a un espacio de valor $V$ El espacio de valores puede ser $\mathbb {R} ^{n}$ , como el lanzamiento de un dado, y a menudo se habla informalmente de tal variable aleatoria como si estuviera en $\mathbb {R} ^{n}$ pero la convergencia de una secuencia de variables aleatorias corresponde a la convergencia de la secuencia de funciones , o de las distribuciones , en lugar de la secuencia de valores .

Existen varios tipos de convergencia , dependiendo de cómo se mida la distancia entre las funciones.

Convergencia en distribución : convergencia puntual de las funciones de distribución de las variables aleatorias al límite.
Convergencia en probabilidad
Convergencia casi segura : convergencia puntual de las aplicaciones. $x_{n}:\Omega \rightarrow V$ hasta el límite, excepto en un conjunto en $\Omega$ con medida 0 en el límite.
Convergencia en la media

Cada una tiene sus propias técnicas de demostración, las cuales están fuera del alcance de este artículo.