Contracción tensorial

En álgebra multilineal , una contracción tensorial es una operación sobre un tensor que surge del emparejamiento canónico de un espacio vectorial y su dual .

Este ejemplo con dos matrices pequeñas (tensores) muestra cómo funciona. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 5+2\cdot 7&1\cdot 6+2\cdot 8\\3\cdot 5+4\cdot 7&3\cdot 6+4\cdot 8\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}}}$$

Al realizar cálculos con matrices o tensores, a menudo resulta útil desplazar el segundo tensor hacia arriba y colocar el resultado debajo, simplemente para fines de cálculo. De esta forma, cada fila de la primera matriz (1234) y cada columna de la segunda (5678) apuntan a la celda del resultado que producen. Por supuesto, estas matrices pueden ser mayores que 2x2; frecuentemente se utilizan matrices de 3x3 o 4x4, pero se admite cualquier tamaño.

En notación de índice simple, esto se escribe${\textstyle \sum _{j=1}^{2}a_{ij}\times b_{jk}=c_{ik}}$donde i, j y k varían entre 1 y 2. Observe cómo el índice j, en el medio, desaparece; esta es la esencia de la contracción tensorial.

En notación de Einstein , esto sería${\textstyle a_{i}{}^{j}\times b_{j}{}^{k}=c_{i}{}^{k}}$Los superíndices funcionan igual que los subíndices, pero con un significado diferente. Solo se suman los índices repetidos, tanto los que se han aumentado como los que se han disminuido. Los objetos también pueden tener más de dos índices.

La contracción tensorial puede verse como una generalización de la traza .

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k . El núcleo de la operación de contracción, y el caso más simple, es el emparejamiento canónico de V con su espacio vectorial dual V ^∗ . El emparejamiento es la aplicación lineal del producto tensorial de estos dos espacios al cuerpo k :

$${\displaystyle C:V\otimes V^{*}\rightarrow k}$$

correspondiente a la forma bilineal

$${\displaystyle \langle v,f\rangle =f(v)}$$

donde f está en V ^∗ y v está en V . El mapa C define la operación de contracción en un tensor de tipo (1, 1) , que es un elemento de${\displaystyle V\otimes V^{*}}$. Nótese que el resultado es un escalar (un elemento de k ). En dimensiones finitas , utilizando el isomorfismo natural entre${\displaystyle V\otimes V^{*}}$y el espacio de aplicaciones lineales de V a V , ^{[ 1 ]} se obtiene una definición de la traza sin base .

En general, un tensor de tipo ( m , n ) (con m ≥ 1 y n ≥ 1 ) es un elemento del espacio vectorial

$${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$$

(donde hay m factores V y n factores V ^∗ ). ^{[ 2 ] [ 3 ]} Al aplicar el emparejamiento canónico al k th factor V y al l th factor V ^∗ , y usar la identidad en todos los demás factores, se define la operación de contracción ( k , l ), ​​que es un mapeo lineal que produce un tensor de tipo ( m − 1, n − 1) . ^{[ 2 ]} Por analogía con el caso (1, 1) , la operación de contracción general a veces se denomina traza.

En la notación de índice tensorial , la contracción básica de un vector y un vector dual se denota por

$${\displaystyle {\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma },}$$

que es una forma abreviada de la suma de coordenadas explícita ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}$$

(donde v ⁱ son los componentes de v en una base particular y f _i son los componentes de f en la base dual correspondiente).

Dado que un tensor diádico mixto general es una combinación lineal de tensores descomponibles de la forma${\displaystyle f\otimes v}$, la fórmula explícita para el caso diádico es la siguiente:

$${\displaystyle \mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$$

sea ​​un tensor diádico mixto. Entonces su contracción es

$${\displaystyle T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}}$$.

Una contracción general se denota etiquetando un índice covariante y un índice contravariante con la misma letra, y la suma sobre ese índice está implícita en la convención de suma . El tensor contraído resultante hereda los índices restantes del tensor original. Por ejemplo, contraer un tensor T de tipo (2,2) en los índices segundo y tercero para crear un nuevo tensor U de tipo (1,1) se escribe como

$${\displaystyle T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.}$$

Por el contrario, dejemos

$${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$$

sea ​​un tensor diádico no mezclado. Este tensor no se contrae; si sus vectores base son punteados, el resultado es el tensor métrico contravariante ,

$${\displaystyle g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j},}$$

cuyo rango es 2.

Como en el ejemplo anterior, la contracción en un par de índices que son ambos contravariantes o ambos covariantes no es posible en general. Sin embargo, en presencia de un producto interno (también conocido como métrica ) g , tales contracciones son posibles. Se utiliza la métrica para elevar o disminuir uno de los índices, según sea necesario, y luego se aplica la operación de contracción habitual. La operación combinada se conoce como contracción métrica . ^{[ 5 ]}

La contracción se aplica a menudo a campos tensoriales sobre espacios (por ejemplo, el espacio euclidiano , variedades o esquemas ). Dado que la contracción es una operación puramente algebraica, se puede aplicar punto por punto a un campo tensorial; por ejemplo, si T es un campo tensorial (1,1) en el espacio euclidiano, entonces en cualquier sistema de coordenadas, su contracción (un campo escalar) U en un punto x viene dada por

$${\displaystyle U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)}$$

Dado que el papel de x no es complicado en este caso, a menudo se omite, y la notación para campos tensoriales se vuelve idéntica a la de los tensores puramente algebraicos.

Sobre una variedad riemanniana , se dispone de una métrica (un campo de productos internos), y tanto las contracciones métricas como las no métricas son cruciales para la teoría. Por ejemplo, el tensor de Ricci es una contracción no métrica del tensor de curvatura de Riemann , y la curvatura escalar es la única contracción métrica del tensor de Ricci.

También se puede ver la contracción de un campo tensorial en el contexto de módulos sobre un anillo apropiado de funciones en la variedad ^{[ 5 ]} o en el contexto de haces de módulos sobre el haz de estructura; ^{[ 6 ]} véase la discusión al final de este artículo.

Se puede generalizar la operación de contracción del núcleo (vector con vector dual) de una manera ligeramente diferente, considerando un par de tensores T y U. El producto tensorial${\displaystyle T\otimes U}$es un nuevo tensor que, si tiene al menos un índice covariante y uno contravariante, puede contraerse. El caso en que T es un vector y U es un vector dual es precisamente la operación central introducida al principio de este artículo.

En la notación de índices tensoriales, para contraer dos tensores, se colocan uno al lado del otro (yuxtapuestos) como factores del mismo término. Esto implementa el producto tensorial, dando como resultado un tensor compuesto. Al contraer dos índices en este tensor compuesto, se logra la contracción deseada de los dos tensores.

Por ejemplo, las matrices pueden representarse como tensores de tipo (1,1) donde el primer índice es contravariante y el segundo índice es covariante. Sea${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$sean los componentes de una matriz y sea${\displaystyle \mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }}$Sean los componentes de una segunda matriz. Entonces, su multiplicación viene dada por la siguiente contracción, un ejemplo de la contracción de un par de tensores:

$${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }.}$$

Además, el producto interior de un vector con una forma diferencial es un caso especial de la contracción de dos tensores entre sí.

Sea R un anillo conmutativo y M un módulo libre finito sobre R. Entonces, la contracción opera sobre el álgebra tensorial completa (mixta) de M exactamente igual que en el caso de los espacios vectoriales sobre un cuerpo. (Lo fundamental es que el emparejamiento canónico sigue siendo perfecto en este caso).

De forma más general, sea O _X un haz de anillos conmutativos sobre un espacio topológico X ; por ejemplo, O _X podría ser el haz de estructura de una variedad compleja , un espacio analítico o un esquema . Sea M un haz localmente libre de módulos sobre O _X de rango finito. Entonces, el dual de M sigue siendo bien comportado ^{[ 6 ]} y las operaciones de contracción tienen sentido en este contexto.

• producto tensorial
• Traza parcial
• Producto de interior
• Subida y bajada de índices
• isomorfismo musical
• cálculo de Ricci