Apolonio de Perga

Algunos fragmentos autobiográficos se encuentran en los prefacios conservados de los libros de Cónicas. Se trata de cartas que Apolonio dirigió a amigos influyentes pidiéndoles que reseñaran el libro que se adjuntaba a la carta. Los dos primeros prefacios están dirigidos a Eudemo de Pérgamo .

Es probable que Eudemo fuera o llegara a ser el director del centro de investigación del Museo de Pérgamo , ciudad conocida por su industria de libros y pergaminos , de la cual deriva el nombre de este último . La investigación en las instituciones matemáticas griegas, que seguían el modelo del Liceo ateniense , formaba parte del esfuerzo educativo al que se unían la biblioteca y el museo. Existía una única escuela de este tipo en el estado, bajo patrocinio real. Los libros eran escasos y caros, y coleccionarlos era una obligación real.

En el prefacio del Libro I, Apolonio le explica a Eudemo que los primeros cuatro libros trataban sobre el desarrollo de los elementos, mientras que los últimos cuatro abordaban temas específicos. Apolonio le recuerda a Eudemo que las Cónicas fueron solicitadas inicialmente por Náucrates, un geómetra y huésped de Alejandría, desconocido para la historia. Apolonio le proporcionó a Náucrates el primer borrador de los ocho libros, pero los describe como «sin una revisión exhaustiva» y con la intención de verificarlos y corregirlos, publicando cada uno a medida que los fuera completando.

Tras escuchar este plan del propio Apolonio, quien visitó Pérgamo, Eudemo insistió en que le enviara cada libro antes de su publicación. En ese momento, Apolonio probablemente era aún un joven geómetra, quien, según Pappus, permaneció en Alejandría con los alumnos de Euclides (mucho después de la época de este último), quizás en la etapa final de su formación. Es posible que Eudemo fuera mentor de Apolonio durante su estancia en Pérgamo.

Existe un lapso entre el primer y el segundo prefacio. Apolonio envió a su hijo, también llamado Apolonio, para entregar el segundo. Habla con mayor seguridad, sugiriendo que Eudemo utilice el libro en grupos de estudio especiales. Apolonio menciona su encuentro con Filónides de Laodicea , un geómetra a quien presentó a Eudemo en Éfeso y que se convirtió en su alumno. Filónides vivió principalmente en Siria durante la primera mitad del siglo II a. C. No se sabe con certeza si este encuentro indica que Apolonio residía entonces en Éfeso; la comunidad intelectual del Mediterráneo era cosmopolita y los eruditos de esta «época dorada de las matemáticas» buscaban empleo internacionalmente, se visitaban, leían las obras de los demás, hacían sugerencias, recomendaban estudiantes y se comunicaban mediante algún tipo de servicio postal. Se conservan numerosas cartas.

Falta el prefacio del Libro III, y durante ese intervalo murió Eudemo, según indica Apolonio en el prefacio del Libro IV. Los prefacios de los Libros IV a VII son más formales, meros resúmenes que omiten información personal. Los cuatro están dirigidos a un misterioso Átalo, elegido, según Apolonio, «debido a tu ferviente deseo de poseer mis obras». Presumiblemente, Átalo era importante para que se le enviaran los manuscritos de Apolonio . Una teoría sugiere que Átalo es Átalo II Filadelfo (220-138 a. C.), general y defensor de Pérgamo, cuyo hermano Eumenes II era rey, y que se convirtió en corregente tras la enfermedad de su hermano en el 160 a. C. y ascendió al trono en el 158 a. C. Ambos hermanos fueron mecenas de las artes, expandiendo la biblioteca hasta convertirla en una obra de renombre internacional. Átalo fue contemporáneo de Filónides, y el motivo de Apolonio concuerda con la iniciativa de Átalo de coleccionar libros.

En el prefacio VII, Apolonio describe el Libro VIII como «un apéndice... que me aseguraré de enviarte lo antes posible». No hay constancia de que se haya enviado, y es posible que Apolonio falleciera antes de terminarlo. Sin embargo, Papo de Alejandría proporcionó lemas para él, por lo que debió de haber estado circulando de alguna forma.

El texto griego de las Cónicas utiliza la disposición euclidiana de definiciones, figuras y sus partes; es decir, los «datos» seguidos de proposiciones «por demostrar». Los libros I-VII presentan 387 proposiciones. Este tipo de disposición se puede observar en cualquier libro de texto moderno de geometría tradicional. Como en cualquier curso de matemáticas, el material es muy denso y su estudio, necesariamente lento. Apolonio tenía un plan para cada libro, que se describe parcialmente en los Prefacios . Los títulos, o referencias al plan, son algo escasos, ya que Apolonio dependía más del flujo lógico de los temas.

Libro I

El Libro I presenta 58 proposiciones. Su contenido más destacado son todas las definiciones básicas relativas a conos y secciones cónicas. Estas definiciones no son exactamente iguales a las modernas de las mismas palabras. Etimológicamente, las palabras modernas derivan de las antiguas, pero el étimo a menudo difiere en significado de su reflejo .

Una superficie cónica se genera mediante un segmento de línea que gira alrededor de su bisectriz , de manera que sus extremos describan círculos , cada uno en su propio plano . Un cono , una rama de la superficie cónica doble, es la superficie con un vértice ( ápice o vértice ), una base circular y un eje que une el vértice con el centro de la base.

Una sección (del latín sectio , del griego tome ) es un "corte" imaginario de un cono realizado por un plano .

• Proposición I.3: “Si un cono es cortado por un plano que pasa por el vértice, la sección es un triángulo”. En el caso de un cono doble, la sección son dos triángulos tales que los ángulos en el vértice son ángulos opuestos por el vértice .
• La proposición I.4 afirma que las secciones de un cono paralelas a la base son círculos con centros en el eje. ^{[ b ]}
• La proposición I.13 define la elipse, concebida como el corte de un cono por un plano inclinado respecto al plano de la base, que lo interseca en una línea perpendicular al diámetro de la base extendido hacia fuera del cono (no se muestra). El ángulo del plano inclinado debe ser mayor que cero, pues de lo contrario la sección sería un círculo. Debe ser menor que el ángulo correspondiente de la base del triángulo axial, en cuyo caso la figura se convierte en una parábola.
• La proposición I.11 define una parábola. Su plano es paralelo a un lado de la superficie cónica del triángulo axial.
• La proposición I.12 define una hipérbola. Su plano es paralelo al eje. Corta ambos conos del par, adquiriendo así dos ramas distintas (solo se muestra una).

La "aplicación de áreas" pregunta implícitamente, dado un área y un segmento de línea, ¿se aplica esta área; es decir, es igual al cuadrado del segmento? Si es así, se ha establecido una aplicabilidad (parábola). Apolonio siguió a Euclides al preguntar si un rectángulo en la abscisa de cualquier punto de la sección se aplica al cuadrado de la ordenada . ^{[ 7 ]} Si es así, su ecuación verbal es el equivalente de${\textstyle y^{2}=kx}$que es una forma moderna de la ecuación de una parábola . El rectángulo tiene lados${\displaystyle k}$y${\displaystyle x}$Fue él quien, en consecuencia, denominó a la figura, parábola, "aplicación".

El caso de "no aplicabilidad" se divide además en dos posibilidades. Dada una función,${\textstyle f(x)}$, de tal manera que, en el caso de aplicabilidad,${\textstyle y^{2}=g(x)}$, en el caso de no aplicabilidad, tampoco${\textstyle y^{2}>g(x)}$o${\textstyle y^{2}<g(x)}$. En el primero,${\displaystyle g(x)}$se queda corto${\textstyle y^{2}}$por una cantidad denominada elipsis , "déficit". En este último,${\displaystyle g(x)}$se excede en una cantidad denominada hipérbole , "exceso".

La aplicabilidad podría lograrse agregando el déficit,${\textstyle y^{2}=f(x)=g(x)+d,}$o restando el exceso,${\displaystyle g(x)-s.}$La figura que compensaba un déficit se denominaba elipse; para un exceso, hipérbola. ^{[ c ]} Los términos de la ecuación moderna dependen de la traslación y rotación de la figura desde el origen, pero la ecuación general para una elipse,

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=C}$

se puede colocar en el formulario

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}}$

dónde${\displaystyle C/B}$es el déficit, mientras que una ecuación para la hipérbola,

${\displaystyle Ax^{2}-By^{2}=C}$

se convierte

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|-{\frac {C}{B}}}$

dónde${\displaystyle C/B}$es el exceso. ^{[ d ]}

El problema de la razón de corte buscaba resolver un problema simple: dadas dos líneas rectas y un punto en cada una, trazar una línea recta que pase por un tercer punto dado y corte las dos líneas fijas de tal manera que las partes interceptadas entre los puntos dados en ellas y los puntos de intersección con esta tercera línea tengan una razón dada. ^{[ 8 ]}

El texto «Cutting off a Ratio» se conserva en un manuscrito inédito en árabe, en la Biblioteca Bodleiana de Oxford. Fue descubierto y traducido parcialmente por Edward Bernard, pero su trabajo quedó interrumpido por su muerte. Halley se lo entregó a Edmond Halley , profesor, astrónomo, matemático y explorador, de quien posteriormente recibió su nombre el cometa Halley . Incapaz de descifrar el texto corrupto, lo abandonó. Posteriormente, David Gregory (matemático) restauró el texto árabe para Henry Aldrich , quien se lo devolvió a Halley. Se desconoce la identidad del autor del manuscrito árabe. Basándose en la afirmación de que fue escrito bajo los «auspicios» de Al-Ma'mun , Almamon (en latín), astrónomo y califa de Bagdad en 825, Halley lo fecha en 820 en su «Praefatio ad Lectorem».

Además de Cónicas y Corte de una Ratio, Pappus menciona otros tratados de Apolonio:

• Cortar un área ( griego antiguo : Χωρίου ἀποτομή , latín : De Spatii Sección )
• Sección determinada ( griego antiguo : Διωρισμένη τομή , latín : De Sección Determinata )
• Tangencias ( griego antiguo : Ἐπαφαί , latín : De Tactionibus ) ^{[ 13 ]}
• Neusis ( griego antiguo : Νεύσεις , latín : De Inclinationibus )
• Plane Loci ( griego antiguo : Τόποι ἐπίπεδοι , latín : De Locis Planis )

Cada una de estas obras se dividió en dos libros y, junto con los Datos , los Porismos y los Lugares de Superficie de Euclides y las Cónicas de Apolonio, fueron incluidas, según Pappus, en el cuerpo del análisis antiguo. ^{[ 8 ]} A continuación se describen las seis obras mencionadas anteriormente.

Los escritores antiguos hacen referencia a otras obras de Apolonio que ya no existen:

• Περὶ τοῦ πυρίου, Sobre el cristal ardiente , un tratado que probablemente explora las propiedades focales de la parábola.
• Περὶ τοῦ κοχλίου, Sobre la hélice cilíndrica (mencionada por Proclo)
• Una comparación del dodecaedro y el icosaedro inscritos en la misma esfera.
• Ἡ καθόλου πραγματεία, una obra sobre los principios generales de las matemáticas que quizás incluía las críticas y sugerencias de Apolonio para mejorar los Elementos de Euclides.
• Ὠκυτόκιον ("Rápido nacimiento"), en el que, según Eutocio, Apolonio demostró cómo hallar límites más precisos para el valor de π que los de Arquímedes , quien calculó 3 + 1/7 como límite superior y 3 + 10/71 como límite inferior .
• una obra aritmética mencionada por Pappus sobre un sistema tanto para expresar grandes números en un lenguaje más cotidiano que el del Calculador de Arena de Arquímedes como para multiplicar estos grandes números.
• una gran extensión de la teoría de los irracionales expuesta en Euclides, Libro X, desde los binomiales a los multinomiales y desde los irracionales ordenados a los desordenados (véanse extractos del comentario de Pappus sobre Euclides X, conservado en árabe y publicado por Woepke , 1856). ^{[ 8 ]}

La equivalencia de dos descripciones de los movimientos planetarios, una que utiliza excéntricas y otra deferentes y epiciclos , se atribuye a Apolonio. Ptolomeo describe esta equivalencia en el Almagesto .

Heath continúa utilizando el término álgebra geométrica para referirse a los métodos de toda la edad de oro. ^{[ h ]} El término había sido definido por Henry Burchard Fine en 1890 o antes, quien lo aplicó a La Géométrie de René Descartes , la primera obra completa de geometría analítica . ^{[ 16 ]} Estableciendo como condición previa que “dos álgebras son formalmente idénticas cuyas operaciones fundamentales son formalmente las mismas”, Fine dice que la obra de Descartes “no es  ... mera álgebra numérica, sino lo que, a falta de un nombre mejor, puede llamarse álgebra de segmentos de línea. Su simbolismo es el mismo que el del álgebra numérica;  ...”.

Por ejemplo, en Apollonius, el segmento de recta AB (la recta entre el punto A y el punto B) también representa la longitud numérica del segmento. Puede tener cualquier longitud. Por lo tanto, AB se convierte en una variable algebraica , como x (la incógnita), a la que se le puede asignar cualquier valor; por ejemplo, x = 3.

En Apolonio, las variables se definen mediante enunciados como «sea AB la distancia desde cualquier punto de la sección hasta el diámetro», una práctica que se mantiene en el álgebra actual. Todo estudiante de álgebra básica debe aprender a convertir problemas verbales en variables y ecuaciones algebraicas, a las que se aplican las reglas del álgebra para despejar x . Apolonio no tenía tales reglas. Sus soluciones son geométricas.

Las relaciones que no se prestaban fácilmente a soluciones pictóricas escapaban a su comprensión; sin embargo, su repertorio de soluciones pictóricas provenía de un conjunto de soluciones geométricas complejas que generalmente se desconocen (o se requieren) hoy en día. Una excepción bien conocida es el indispensable teorema de Pitágoras , que aún hoy se representa mediante un triángulo rectángulo con cuadrados en sus lados que ilustra una expresión como a² ⁺ b² ⁼ c² ^. Los geómetras griegos llamaban a esos términos «el cuadrado sobre AB», etc. De manera similar, el área de un rectángulo formado por AB y CD era «el rectángulo sobre AB y CD».

Estos conceptos proporcionaron a los geómetras griegos acceso algebraico a las funciones lineales y cuadráticas , entre las que se encuentran las secciones cónicas. Estas contienen potencias de 1 o 2, respectivamente. Apolonio no le daba mucha utilidad a los cubos (presentes en la geometría del espacio ), a pesar de que un cono es un sólido. Su interés radicaba en las secciones cónicas, que son figuras planas. Las potencias de 4 y superiores escapaban a la visualización, requiriendo un grado de abstracción que no se encuentra en la geometría, pero sí en el álgebra.

Toda medición ordinaria de longitud en unidades públicas, como pulgadas, utilizando dispositivos públicos estándar, como una regla, implica el reconocimiento público de una cuadrícula cartesiana ; es decir, una superficie dividida en cuadrados unitarios, como una pulgada cuadrada, y un espacio dividido en cubos unitarios, como una pulgada cúbica. Las antiguas unidades de medida griegas habían proporcionado dicha cuadrícula a los matemáticos griegos desde la Edad del Bronce. Antes de Apolonio, Menaechmus y Arquímedes ya habían comenzado a ubicar sus figuras en una ventana implícita de la cuadrícula común al referirse a distancias concebidas para ser medidas desde una línea vertical izquierda que marcaba una medida baja y una línea horizontal inferior que marcaba una medida baja, siendo las direcciones rectilíneas, o perpendiculares entre sí. ^{[ 17 ]} Estos bordes de la ventana se convierten, en el sistema de coordenadas cartesianas , en los ejes. Se especifican las distancias rectilíneas de cualquier punto a los ejes como las coordenadas . Los antiguos griegos no tenían esa convención. Simplemente se referían a distancias.

Apolonio utiliza una ventana estándar en la que coloca sus figuras. La medición vertical se realiza a partir de una línea horizontal que denomina «diámetro». La palabra es la misma en griego que en inglés, pero el griego tiene un alcance algo más amplio. ^{[ 18 ]} Si la figura de la sección cónica se corta con una cuadrícula de líneas paralelas, el diámetro biseca todos los segmentos de línea comprendidos entre las ramas de la figura. Debe pasar por el vértice (koruphe, «corona»). Un diámetro, por lo tanto, comprende figuras abiertas, como una parábola, así como cerradas, como un círculo. No se especifica que el diámetro deba ser perpendicular a las líneas paralelas, pero Apolonio utiliza únicamente líneas rectilíneas.

La distancia rectilínea desde un punto de la sección hasta el diámetro se denomina en griego tetagmenos, que etimológicamente significa simplemente «extensión». Dado que solo se extiende «hacia abajo» (kata-) o «hacia arriba» (ana-), los traductores la interpretan como ordenada . En ese caso, el diámetro se convierte en el eje x y el vértice en el origen. El eje y se convierte entonces en una tangente a la curva en el vértice. La abscisa se define entonces como el segmento del diámetro entre la ordenada y el vértice.

Utilizando su versión de un sistema de coordenadas, Apolonio logra desarrollar en forma pictórica los equivalentes geométricos de las ecuaciones de las secciones cónicas, lo que plantea la cuestión de si su sistema de coordenadas puede considerarse cartesiano. Existen algunas diferencias. El sistema cartesiano se considera universal, abarcando todas las figuras en todo el espacio, y se aplica antes de realizar cualquier cálculo. Consta de cuatro cuadrantes divididos por dos ejes cruzados. Tres de los cuadrantes incluyen coordenadas negativas, es decir, direcciones opuestas al eje de referencia cero.

Apolonio no tiene números negativos, no tiene explícitamente un número para el cero y no desarrolla el sistema de coordenadas independientemente de las secciones cónicas. Trabaja esencialmente solo en el Cuadrante 1, todas las coordenadas positivas. Carl Boyer, un historiador moderno de las matemáticas, dice por lo tanto: ^{[ 19 ]}

Sin embargo, el álgebra geométrica griega no contemplaba magnitudes negativas; además, el sistema de coordenadas se superponía en todos los casos a posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades... Apolonio, el mayor geómetra de la antigüedad, no logró desarrollar la geometría analítica...

No obstante, según Boyer, el tratamiento que Apolonio da a las curvas es en cierto modo similar al tratamiento moderno, y su obra parece anticipar la geometría analítica . ^{[ 19 ]} Apolonio ocupa una especie de nicho intermedio entre el sistema de cuadrícula de la medición convencional y el sistema de coordenadas cartesianas plenamente desarrollado de la geometría analítica. Al leer a Apolonio, hay que tener cuidado de no atribuir significados modernos a sus términos.

Apolonio utiliza la «Teoría de las Proporciones» tal como se expresa en los Elementos de Euclides , Libros 5 y 6. Ideada por Eudoxo de Cnido , la teoría se sitúa a medio camino entre los métodos puramente gráficos y la teoría moderna de números. Carece de un sistema numérico decimal estándar, así como de un tratamiento estándar de las fracciones. Sin embargo, las proposiciones expresan en palabras reglas para manipular fracciones en aritmética. Heath propone que sustituyan a la multiplicación y la división. ^{[ 20 ]}

Con el término «magnitud», Eudoxo aspiraba a ir más allá de los números y alcanzar una noción general de tamaño, significado que aún conserva. En el caso de las figuras euclidianas, suele referirse a números, siguiendo el enfoque pitagórico. Pitágoras creía que el universo podía caracterizarse mediante cantidades, creencia que se ha convertido en el dogma científico actual. El Libro V de Euclides comienza insistiendo en que una magnitud (megethos, «tamaño») debe ser divisible exactamente en unidades (meros, «parte»). Por lo tanto, una magnitud es un múltiplo de unidades. Estas no tienen por qué ser unidades de medida estándar, como metros o pies. Una unidad puede ser cualquier segmento de línea.

A continuación, se presenta quizás la definición fundamental más útil jamás concebida en ciencia: la razón (del griego logos , que significa aproximadamente «explicación») es una expresión de magnitud relativa. Dadas dos magnitudes, por ejemplo, de los segmentos AB y CD, la razón entre AB y CD, donde CD se considera la unidad, es el número de CD en AB; por ejemplo, 3 partes de 4, o 60 partes por millón, donde ppm todavía utiliza la terminología de «partes». La razón es la base de la fracción moderna, que también significa «parte» o «fragmento», de la misma raíz latina que fractura. La razón es la base de la predicción matemática en la estructura lógica denominada «proporción» (del griego analogos). La proporción establece que si dos segmentos, AB y CD, tienen la misma razón que otros dos, EF y GH, entonces AB y CD son proporcionales a EF y GH, o, como se diría en Euclides, AB es a CD como EF es a GH.

El álgebra reduce este concepto general a la expresión AB/CD = EF/GH. Dados tres términos cualesquiera, se puede calcular el cuarto como una incógnita. Reordenando la ecuación anterior, se obtiene AB = (CD/GH)•EF, donde, expresada como y = kx, la constante CD/GH se conoce como la «constante de proporcionalidad». Los griegos no tenían mucha dificultad para calcular múltiplos (en griego, pollaplasiein), probablemente mediante sumas sucesivas.

Apolonio utiliza razones casi exclusivamente de segmentos de línea y áreas, que se representan mediante cuadrados y rectángulos. Los traductores se han comprometido a utilizar la notación de dos puntos introducida por Leibniz en Acta Eruditorum , 1684. ^{[ 21 ]} He aquí un ejemplo de Cónicas , Libro I, sobre la Proposición 11:

Traducción literal del griego: Supongamos que el (cuadrado) de BC es al (rectángulo) de BAC como FH es a FA.

Traducción de Taliaferro: “Déjese que sea así: cuadrado BC  : rectángulo BA.AC  :: FH  : FA”

Equivalente algebraico: BC² ^/ BA•BC = FH/FA

En el siglo IV, Serenus de Antinoópolis escribió un comentario sobre las Cónicas , que se ha perdido, junto con dos obras más breves que aún se conservan sobre partes de las Cónicas: Sobre la sección de un cilindro y Sobre la sección de un cono .

En el siglo VI, Eutocio de Ascalón escribió un comentario sobre los libros I-IV de las Cónicas , que aún se conserva.

En el siglo IX, los Banū Mūsā encargaron una traducción al árabe de las Cónicas . ^{[ 4 ]}

Los libros I–IV de las Cónicas de Apolonio se imprimieron por primera vez en latín en 1566. En 1626, Jacobus Golius descubrió una copia superviviente de la traducción árabe de los libros V–VI, que finalmente fue donada a la Biblioteca Bodleiana (originalmente como MS Marsh 607, fechada en 1070). ^{[ 22 ]} Animado por el éxito de su traducción del texto árabe enmendado de David Gregory de Cutting off a Ratio , publicado en 1706, Halley procedió a restaurar y traducir al latín las Cónicas completas de Apolonio , incluyendo una reconstrucción del Libro VIII a partir del resumen de Pappus. En la obra de Halley, los libros I–IV aparecen con el griego en una columna y el latín de Halley en una columna paralela, mientras que solo se da la traducción latina de los libros V–VII. La reconstrucción de Halley está impresa en latín.

Durante los siglos XVI al XVIII, se escribió muy poco sobre las cónicas en inglés, ya que matemáticos ingleses como Edmund Halley e Isaac Newton preferían el neolatín. En siglos posteriores, la geometría se restableció mediante el uso de coordenadas ( geometría analítica ) y los métodos sintéticos cayeron en desuso, por lo que la influencia directa de las cónicas en la investigación matemática disminuyó.

Las presentaciones escritas íntegramente en inglés nativo comienzan a finales del siglo XIX.

• La traducción de Thomas Heath de 1896, titulada Tratado sobre secciones cónicas , incluye en su comentario preliminar un léxico de términos geométricos apolíneos con sus nombres griegos, significados y usos. Heath también modificó la organización del texto y añadió notación moderna. ^{[ 23 ]}
• En 1941, Ivor Thomas tradujo las partes del Libro I de Cónicas que definen las secciones como parte de su edición en dos volúmenes de matemáticas griegas antiguas para la Biblioteca Clásica Loeb.
• R. Catesby Taliaferro tradujo las Cónicas en 1952, como parte de la serie Grandes Libros del Mundo Occidental de la Enciclopedia Británica . Solo se incluyen los Libros I-III, con un apéndice para temas especiales (en 2002 se publicó una traducción del Libro IV de las Cónicas realizada por Michael N. Fried). A diferencia de Heath, Taliaferro no intentó reorganizar a Apolonio, ni siquiera superficialmente, ni reescribirlo. Su traducción al inglés moderno sigue bastante fielmente el texto griego. Sí utiliza notación geométrica moderna en cierta medida.

• Pergeo, Apolonio (1566). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis philosophi libri duo ... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit, & commentariis illustrauit (en griego antiguo y latín). Bononiae: Ex officina Alexandri Benatii.Presentación de los primeros cuatro libros de las Cónicas en griego, de Federico Comino, con su propia traducción al latín y los comentarios de Papo de Alejandría , Eutocio de Ascalón y Sereno de Antinouplis .
• Apolonio; Túmulo, yo (1675). Apollonii conica: Methodo nova illustrata y succinctè demostrata (en latín). Londini: Excudebat Guil. Dios mío, voeneunt apud Robertum Scott, en vico Little Britain.Traducción de Barrow del griego antiguo al neolatín de los primeros cuatro libros de las Cónicas . El ejemplar enlazado aquí, que se encuentra en la Biblioteca Pública de Boston , perteneció en su día a John Adams .
• Apolonio; Pappus ; Halley, E. (1706). Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duo: Ex Arabo ms. Versión latina. Accedunt ejusdem de sectione spatii libri duo restituti (en latín). Oxonii.
• Apolonio; Alejandrino Pappus ; Halley, Edmond ; Eutocio ; Sereno (1710). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis Desectione cylindri & coni libri duo (PDF) (en latín y griego antiguo). Oxoniae: y Teatro Sheldoniano.
• Heath, Thomas Little , ed. (1896). Tratado sobre secciones cónicas, editado en notación moderna . Cambridge University Press.
• Fried, Michael N., ed. (2013). Cónicas de Apolonio de Perga: Libros I-IV . Traducido por Taliaferro, R. Catesby; Fried, Michael N. Santa Fe, NM: Green Lion Press. ISBN 978-1-888009-41-5Consultado el 1 de mayo de 2025 .
• Toomer, Gerald J. , ed. (1990). Cónicas de Apolonio: libros V a VII . Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Vol.  9. Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-1-4613-8985-9 . ISBN 978-1-4613-8987-3Consultado el 1 de mayo de 2025 .

• Thomas, Ivor (1953). Selecciones que ilustran la historia de las matemáticas griegas . Biblioteca Clásica Loeb . Vol.  II De Aristarco a Papo. Cambridge, MA: Harvard University Press.