Asíntota

La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función y = ƒ ( x ) si al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$

dónde${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}}$es el límite cuando x se aproxima al valor a desde la izquierda (desde valores menores), y${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}}$es el límite cuando x se aproxima a a desde la derecha.

Por ejemplo, si ƒ( x ) = x /( x –1 ), el numerador se aproxima a 1 y el denominador se aproxima a 0 cuando x se aproxima a 1. Entonces

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty }$

y la curva tiene una asíntota vertical en x = 1.

La función ƒ ( x ) puede estar definida o no en a , y su valor preciso en el punto x = a no afecta a la asíntota. Por ejemplo, para la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{si }}x>0,\\5&{\text{si }}x\leq 0.\end{cases}}}$

Tiene un límite de +∞ cuando x → 0 ⁺ , ƒ ( x ) tiene la asíntota vertical x = 0 , aunque ƒ (0)  =  5. La gráfica de esta función interseca la asíntota vertical una vez, en (0, 5). Es imposible que la gráfica de una función interseque una asíntota vertical (o una línea vertical en general ) en más de un punto. Además, si una función es continua en cada punto donde está definida, es imposible que su gráfica interseque alguna asíntota vertical.

Un ejemplo común de asíntota vertical es el caso de una función racional en un punto x tal que el denominador es cero y el numerador es distinto de cero.

Si una función tiene una asíntota vertical, no necesariamente significa que la derivada de la función tenga una asíntota vertical en el mismo punto. Un ejemplo es:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad }$en${\displaystyle \quad x=0}$.

Esta función tiene una asíntota vertical en${\displaystyle x=0,}$porque

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,}$

y

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty }$.

El derivado de${\displaystyle f}$es la función

${\displaystyle f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}}$.

Para la secuencia de puntos

${\displaystyle x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad }$para${\displaystyle \quad n=0,1,2,\ldots }$

que se acerca${\displaystyle x=0}$tanto desde la izquierda como desde la derecha, los valores${\displaystyle f'(x_{n})}$están constantemente${\displaystyle 0}$Por lo tanto, ambos límites unilaterales de${\displaystyle f'}$en${\displaystyle 0}$no puede ser ninguna de las dos${\displaystyle +\infty }$ni${\displaystyle -\infty }$. Por eso${\displaystyle f'(x)}$no tiene una asíntota vertical en${\displaystyle x=0}$.

Las asíntotas horizontales son líneas horizontales a las que se aproxima la gráfica de la función cuando x → ± ∞ . La línea horizontal y  = c es una asíntota horizontal de la función y = ƒ ( x ) si   

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c}$o${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c}$.

En el primer caso, ƒ ( x ) tiene y  = c como asíntota cuando x tiende a − ∞ , y en el segundo ƒ ( x ) tiene y = c como asíntota cuando x tiende a +∞ .   

Por ejemplo, la función arcotangente satisface

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}}$y${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.}$

Así pues, la línea y = – π /2 es una asíntota horizontal para la arcotangente cuando x tiende a –∞ , y y = π /2 es una asíntota horizontal para la arcotangente cuando x tiende a +∞ .

Las funciones pueden carecer de asíntotas horizontales en uno o ambos lados, o pueden tener una asíntota horizontal que es la misma en ambas direcciones. Por ejemplo, la función ƒ( x ) = 1/( x ² +1) tiene una asíntota horizontal en y  =  0 cuando x tiende tanto a − ∞ como a +∞ porque, respectivamente,

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.}$

Otras funciones comunes que tienen una o dos asíntotas horizontales incluyen x ↦ 1/ x (que tiene una hipérbola como gráfica), la función gaussiana${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}),}$la función de error y la función logística .

Cuando una asíntota lineal no es paralela al eje x o al eje y , se denomina asíntota oblicua o asíntota inclinada . Una función ƒ ( x ) es asintótica a la recta y = mx + n ( m  ≠  0) si

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ o }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.}$

En el primer caso, la línea y = mx + n es una asíntota oblicua de ƒ ( x ) cuando x tiende a +∞, y en el segundo caso, la línea y = mx + n es una asíntota oblicua de ƒ ( x ) cuando x tiende a − ∞.

Un ejemplo es ƒ ( x )  = x + 1/ x , que tiene la asíntota oblicua y = x (es decir m = 1, n = 0) como se ve en los límites       

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.}$

La asíntota oblicua, para la función f ( x ), estará dada por la ecuación y = mx + n . El valor de m se calcula primero y está dado por

${\displaystyle m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x}$

donde a es o${\displaystyle -\infty }$o${\displaystyle +\infty }$Dependiendo del caso que se esté estudiando, es recomendable tratar ambos casos por separado. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota oblicua en esa dirección.

Teniendo m, entonces el valor de n se puede calcular mediante

${\displaystyle n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)}$

donde a debe ser el mismo valor utilizado anteriormente. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota oblicua en esa dirección, incluso si existe el límite que define m . De lo contrario , y = mx + n es la asíntota oblicua de ƒ ( x ) cuando x tiende a a .

Por ejemplo, la función ƒ ( x ) = (2 x ² + 3 x + 1)/ x tiene

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2}$y luego

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3}$

de modo que y = 2 x + 3 es la asíntota de ƒ ( x ) cuando x tiende a +∞.

La función ƒ ( x ) = ln x tiene

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$y luego

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x}$, que no existe.

Por lo tanto , y = ln x no tiene una asíntota cuando x tiende a +∞.

Una función racional tiene como máximo una asíntota horizontal o una asíntota oblicua (inclinada), y posiblemente muchas asíntotas verticales.

El grado del numerador y el grado del denominador determinan si existen asíntotas horizontales u oblicuas. Los casos se muestran en la tabla a continuación, donde deg _num es el grado del numerador y deg _den es el grado del denominador.

Las asíntotas verticales solo aparecen cuando el denominador es cero (si tanto el numerador como el denominador son cero, se comparan las multiplicidades de los ceros). Por ejemplo, la siguiente función tiene asíntotas verticales en x = 0 y x = 1, pero no en x = 2.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}}$

Asíntotas oblicuas de funciones racionales

Cuando el numerador de una función racional tiene un grado exactamente uno mayor que el denominador, la función tiene una asíntota oblicua (inclinada). La asíntota es el término polinómico que queda después de dividir el numerador y el denominador. Este fenómeno ocurre porque al dividir la fracción, se obtiene un término lineal y un resto. Por ejemplo, consideremos la función

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}}$

Como se muestra a la derecha, a medida que el valor de x aumenta, f se aproxima a la asíntota y = x . Esto se debe a que el otro término, 1/( x + 1), se aproxima a 0.

Si el grado del numerador es más de 1 mayor que el grado del denominador, y el denominador no divide al numerador, habrá un resto distinto de cero que tiende a cero a medida que x aumenta, pero el cociente no será lineal y la función no tendrá una asíntota oblicua.

Si una función conocida tiene una asíntota (como y = 0 para f (x) = e ^x ), entonces sus traslaciones también tienen una asíntota.

• Si x = a es una asíntota vertical de f ( x ), entonces x = a + h es una asíntota vertical de f ( x - h ).
• Si y = c es una asíntota horizontal de f ( x ), entonces y = c + k es una asíntota horizontal de f ( x )+ k

Si una función conocida tiene una asíntota, entonces la escala de la función también tiene una asíntota.

• Si y = ax + b es una asíntota de f ( x ), entonces y = cax + cb es una asíntota de cf ( x ).

Por ejemplo, f ( x )= e ^{x -1} +2 tiene asíntota horizontal y =0+2=2, y no tiene asíntotas verticales u oblicuas.

Sea A  : ( a , b ) → R ² una curva plana paramétrica, en coordenadas A ( t )  =  ( x ( t ), y ( t )), y B otra curva (no parametrizada). Supongamos, como antes, que la curva A tiende a infinito. La curva B es una asíntota curvilínea de A si la distancia más corta desde el punto A ( t ) a un punto en B tiende a cero cuando t  → b . A veces, B se denomina simplemente asíntota de A , cuando no hay riesgo de confusión con asíntotas lineales. ^{[ 9 ]} 

Por ejemplo, la función

${\displaystyle y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}}$

tiene una asíntota curvilínea y = x² ⁺ 2x + 3 , que se conoce como asíntota parabólica porque es una parábola en lugar de una línea recta. ^{[ 10 ]}

Las asíntotas se utilizan en los procedimientos de trazado de curvas . Una asíntota sirve como guía para mostrar el comportamiento de la curva hacia el infinito. ^{[ 11 ]} Para obtener mejores aproximaciones de la curva, también se han utilizado asíntotas curvilíneas ^{[ 12 ]} aunque el término curva asintótica parece ser el preferido. ^{[ 13 ]}

Las asíntotas de una curva algebraica en el plano afín son las rectas tangentes a la curva proyectiva que pasan por un punto en el infinito . ^{[ 14 ]} Por ejemplo, se pueden identificar las asíntotas de la hipérbola unitaria de esta manera. Las asíntotas suelen considerarse solo para curvas reales, ^{[ 15 ]} aunque también tienen sentido cuando se definen de esta forma para curvas sobre un cuerpo arbitrario . ^{[ 16 ]}

Según el teorema de Bézout , una curva plana de grado n interseca su asíntota en al menos n − 2 puntos, ya que la intersección en el infinito tiene multiplicidad al menos dos. Para una cónica , existen dos rectas que no la intersecan en ningún punto complejo: estas son las dos asíntotas de la cónica.

Una curva algebraica plana se define mediante una ecuación de la forma P ( x , y )  =  0 donde P es un polinomio de grado n

${\displaystyle P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}}$

donde P _k es homogéneo de grado k . La anulación de los factores lineales del término de grado más alto P _n define las asíntotas de la curva: estableciendo Q = P _n , si P _n ( x , y ) = ( ax − by ) Q _{n − 1} ( x , y ) , entonces la línea

${\displaystyle Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0}$

es una asíntota si${\displaystyle Q'_{x}(b,a)}$y${\displaystyle Q'_{y}(b,a)}$no son ambos cero. Si${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0}$y${\displaystyle P_{n-1}(b,a)\neq 0}$, no hay asíntota, pero la curva tiene una rama que parece una rama de parábola. Dicha rama se llamarama parabólica , incluso cuando no tiene ninguna parábola que sea una asíntota curvilínea.${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,}$La curva tiene un punto singular en el infinito que puede tener varias asíntotas o ramas parabólicas.

Sobre los números complejos , P _n se divide en factores lineales, cada uno de los cuales define una asíntota (o varias para múltiples factores). Sobre los números reales, P _n se divide en factores lineales o cuadráticos. Solo los factores lineales corresponden a ramas infinitas (reales) de la curva, pero si un factor lineal tiene multiplicidad mayor que uno, la curva puede tener varias asíntotas o ramas parabólicas. También puede ocurrir que dicho factor lineal múltiple corresponda a dos ramas complejas conjugadas y no a ninguna rama infinita de la curva real. Por ejemplo, la curva x ⁴ + y ² - 1 = 0 no tiene puntos reales fuera del cuadrado.${\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}$, pero su término de orden más alto da el factor lineal x con multiplicidad 4, lo que lleva a la asíntota única x =0.

La hipérbola

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

tiene las dos asíntotas

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}$

La ecuación para la unión de estas dos líneas es

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$

De manera similar, el hiperboloide

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

Se dice que tiene el cono asintótico ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}$

La distancia entre el hiperboloide y el cono tiende a cero a medida que la distancia desde el origen tiende al infinito.

De forma más general, consideremos una superficie que tiene una ecuación implícita. ${\displaystyle P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,}$ donde el${\displaystyle P_{i}}$son polinomios homogéneos de grado${\displaystyle i}$y${\displaystyle P_{d-1}=0}$. Entonces la ecuación${\displaystyle P_{d}(x,y,z)=0}$Define un cono centrado en el origen. Se denomina cono asintótico porque la distancia de un punto de la superficie al cono tiende a cero cuando dicho punto tiende al infinito.