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Cono

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Un cono circular recto y un cono circular oblicuo
Un cono doble, no infinitamente extendido.

En geometría , un cono es una figura tridimensional que se estrecha suavemente desde una base plana (normalmente un círculo ) hasta un punto que no está contenido en la base, llamado ápice o vértice .

Un cono se forma mediante un conjunto de segmentos de línea , semirrectas o líneas que conectan un punto común, el vértice, con todos los puntos de una base. En el caso de los segmentos de línea, el cono no se extiende más allá de la base, mientras que en el caso de las semirrectas, se extiende infinitamente. En el caso de las líneas, el cono se extiende infinitamente en ambas direcciones desde el vértice, en cuyo caso a veces se le denomina cono doble.Cada una de las dos mitades de un cono doble dividido en el ápice se llama napa ..

Según el autor, la base puede estar restringida a un círculo, cualquier forma cuadrática unidimensional en el plano, cualquier figura cerrada unidimensional o cualquiera de las anteriores más todos los puntos encerrados. Si los puntos encerrados están incluidos en la base, el cono es un objeto sólido ; de lo contrario, es una superficie abierta , un objeto bidimensional en un espacio tridimensional. En el caso de un objeto sólido, el límite formado por estas líneas o líneas parciales se llama superficie lateral ; si la superficie lateral no tiene límites , es una superficie cónica .

El eje de un cono es la línea recta que pasa por el vértice alrededor del cual el cono tiene simetría circular .En el uso común de la geometría elemental, se supone que los conos son circulares rectos , es decir, con una base circular perpendicular al eje. [ 1 ] Si el cono es circular recto, la intersección de un plano con la superficie lateral es una sección cónica . Sin embargo, en general, la base puede tener cualquier forma [ 2 ] y el vértice puede estar en cualquier lugar (aunque generalmente se supone que la base es limitada y, por lo tanto, tiene un área finita , y que el vértice se encuentra fuera del plano de la base). En contraste con los conos rectos, están los conos oblicuos , en los que el eje pasa por el centro de la base de forma no perpendicular. [ 3 ]

Depending on context, cone may refer more narrowly to either a convex cone or projective cone. Cones can be generalized to higher dimensions.

Further terminology

The perimeter of the base of a cone is called the directrix, and each of the line segments between the directrix and apex is a generatrix or generating line of the lateral surface. (For the connection between this sense of the term directrix and the directrix of a conic section, see Dandelin spheres.)

The base radius of a circular cone is the radius of its base; often this is simply called the radius of the cone. The aperture of a right circular cone is the maximum angle between two generatrix lines; if the generatrix makes an angle θ to the axis, the aperture is 2θ. In optics, the angle θ is called the half-angle of the cone, to distinguish it from the aperture.

Illustration from Problemata mathematica... published in Acta Eruditorum, 1734
A cone truncated by an inclined plane

A cone with a region including its apex cut off by a plane is called a truncated cone; if the truncation plane is parallel to the cone's base, it is called a frustum.[1] An elliptical cone is a cone with an elliptical base.[1] A generalized cone is the surface created by the set of lines passing through a vertex and every point on a boundary (see Visual hull).

Measurements and equations

Volume

Proof without words that the volume of a cone is a third of a cylinder of equal diameter and height

The volumeV{\displaystyle V} of any conic solid, regardless of the shape of its base, is one third of the product of the area of the base AB{\displaystyle A_{B}} and the height h{\displaystyle h}[4]

V=13ABh.{\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}

En matemáticas modernas, esta fórmula se puede calcular fácilmente usando cálculo diferencial: siAB=k⋅h{\displaystyle A_{B}=k\cdot h}, dóndek{\displaystyle k}es un coeficiente, la integral

∫0hkincógnita2dincógnita=13kh3{\displaystyle \int _{0}^{h}kx^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}kh^{3}}

Sin utilizar cálculo, la fórmula puede demostrarse comparando el cono con una pirámide y aplicando el principio de Cavalieri ; específicamente, comparando el cono con una pirámide cuadrada recta (escalada verticalmente), que forma un tercio de un cubo. Esta fórmula no puede demostrarse sin utilizar tales argumentos infinitesimales —a diferencia de las fórmulas bidimensionales para el área de poliedros, aunque similar al área del círculo— y, por lo tanto, admitía demostraciones menos rigurosas antes del advenimiento del cálculo, con los antiguos griegos utilizando el método de agotamiento . Este es esencialmente el contenido del tercer problema de Hilbert ; más precisamente, no todas las pirámides poliédricas son congruentes de tijera (pueden cortarse en piezas finitas y reorganizarse para formar la otra), y por lo tanto, el volumen no puede calcularse únicamente mediante un argumento de descomposición. [ 5 ]

Centro de masa

El centro de masa de un sólido cónico de densidad uniforme se encuentra a un cuarto de la distancia entre el centro de la base y el vértice, sobre la línea recta que une ambos.

cono circular recto

Volumen

Para un cono circular con radior{\displaystyle r}y alturah{\displaystyle h}, la base es un círculo de áreaπr2{\displaystyle \pi r^{2}}Por lo tanto, la fórmula para el volumen es: [ 6 ]

V=13πr2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}

Altura inclinada

La altura inclinada de un cono circular recto es la distancia desde cualquier punto de la circunferencia de su base hasta el vértice a través de un segmento de línea a lo largo de la superficie del cono. Está dada porr2+h2{\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}, dónder{\displaystyle r}es el radio de la base yh{\displaystyle h}es la altura. Esto se puede demostrar mediante el teorema de Pitágoras .

Superficie

El área de la superficie lateral de un cono circular recto esLSA=πrℓ{\displaystyle LSA=\pi r\ell }dónder{\displaystyle r}es el radio del círculo en la base del cono yℓ{\displaystyle \ell }es la altura inclinada del cono. [ 7 ] { El área de la superficie del círculo inferior de un cono es la misma que para cualquier círculo,πr2{\displaystyle \pi r^{2}}Por lo tanto, el área total de la superficie de un cono circular recto se puede expresar como cada una de las siguientes expresiones:

  • Radio y altura
πr2+πrr2+h2{\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}
(el área de la base más el área de la superficie lateral; el términor2+h2{\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}es la altura inclinada)
πr(r+r2+h2){\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}
dónder{\displaystyle r}es el radio yh{\displaystyle h}es la altura.
Área total de la superficie de un cono circular recto, dados el radio 𝑟 y la altura inclinada ℓ.
  • Radio y altura inclinada
πr2+πrℓ{\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }
πr(r+ℓ){\displaystyle \pi r(r+\ell )}
dónder{\displaystyle r}es el radio yℓ{\displaystyle \ell }es la altura inclinada.
  • Circunferencia y altura inclinada
do24π+doℓ2{\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}
(do2)(do2π+ℓ){\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}
dóndedo{\displaystyle c}es la circunferencia yℓ{\displaystyle \ell }es la altura inclinada.
  • Ángulo y altura del vértice
πh2broncearse⁡θ2(broncearse⁡θ2+segundo⁡θ2){\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}
−πh2pecado⁡θ2pecado⁡θ2−1{\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}
dóndeθ{\displaystyle \theta }es el ángulo del vértice yh{\displaystyle h}es la altura.

sector circular

El sector circular se obtiene desplegando la superficie de una de las láminas del cono:

  • radio R
R=r2+h2{\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}
  • longitud de arco L
L=do=2πr{\displaystyle L=c=2\pi r}
  • ángulo central φ en radianes
φ=LR=2πrr2+h2{\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}

Forma de ecuación

La superficie de un cono se puede parametrizar como

F(θ,h)=(hporque⁡θ,hpecado⁡θ,h),{\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}

dóndeθ∈[0,2π){\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}es el ángulo "alrededor" del cono, yh∈R{\displaystyle h\in \mathbb {R} }es la "altura" a lo largo del cono.

Un cono circular sólido recto con alturah{\displaystyle h}y apertura 2θ{\displaystyle 2\theta }, cuyo eje es elz{\displaystyle z}El eje de coordenadas, cuyo vértice es el origen, se describe paramétricamente como

F(s,t,tú)=(túbroncearse⁡sporque⁡t,túbroncearse⁡specado⁡t,tú){\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}

dóndes,t,tú{\displaystyle s,t,u}rango sobre[0,θ){\displaystyle [0,\theta )},[0,2π){\displaystyle [0,2\pi )}, y[0,h]{\displaystyle [0,h]}, respectivamente.

En forma implícita , el mismo sólido se define mediante las desigualdades

{F(incógnita,y,z)≤0,z≥0,z≤h},{\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}

dónde

F(incógnita,y,z)=(incógnita2+y2)(porque⁡θ)2−z2(pecado⁡θ)2.{\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}

De forma más general, un cono circular recto con vértice en el origen y eje paralelo al vectord{\displaystyle d}y apertura2θ{\displaystyle 2\theta }, viene dado por la ecuación vectorial implícitaF(tú)=0{\displaystyle F(u)=0}dónde

F(tú)=(tú⋅d)2−(d⋅d)(tú⋅tú)(porque⁡θ)2{\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}
F(tú)=tú⋅d−|d||tú|porque⁡θ{\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }

dóndetú=(incógnita,y,z){\displaystyle u=(x,y,z)}, ytú⋅d{\displaystyle u\cdot d}denota el producto escalar .

Geometría proyectiva

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, lo que se corresponde visualmente con un cilindro en perspectiva que parece un cono apuntando hacia el cielo.

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito. [ 8 ] Intuitivamente, si se mantiene la base fija y se toma el límite cuando el vértice tiende al infinito, se obtiene un cilindro, cuyo ángulo lateral aumenta como arctan , formando en el límite un ángulo recto . Esto es útil en la definición de cónicas degeneradas , que requieren considerar las cónicas cilíndricas .

Según GB Halsted , un cono se genera de forma similar a una cónica de Steiner, solo que con una proyectividad y haces axiales (no en perspectiva) en lugar de los rangos proyectivos utilizados para la cónica de Steiner:

"Si dos haces axiales no corectos y copuntuales son proyectivos pero no en perspectiva, los puntos de encuentro de los planos correlacionados forman una 'superficie cónica de segundo orden', o 'cono'." [ 9 ]

Generalizaciones

La definición de cono puede extenderse a dimensiones superiores; véase cono convexo . En este caso, se dice que un conjunto convexo C en el espacio vectorial realRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}es un cono (con vértice en el origen) si para todo vector x en C y todo número real no negativo a , el vector ax está en C. [ 2 ] En este contexto, los análogos de los conos circulares no suelen ser especiales; de hecho , a menudo interesan los conos poliédricos .

Un concepto aún más general es el cono topológico , que se define en espacios topológicos arbitrarios.

Véase también

Notes

  1. 123James, R. C.; James, Glenn (1992-07-31). The Mathematics Dictionary. Springer Science & Business Media. pp. 74–75. ISBN 9780412990410.
  2. 12Grünbaum, Convex Polytopes, second edition, p. 23.
  3. ↑Weisstein, Eric W."Cone". MathWorld.
  4. ↑Bartol, William C. (1893). The Elements of Solid Geometry. Leach, Shewell & Sanborn. pp. 38–41.
  5. ↑Hartshorne, Robin (2013-11-11). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. Chapter 27. ISBN 9780387226767.
  6. ↑Blank, Brian E.; Krantz, Steven George (2006). Calculus: Single Variable. Springer. Chapter 8. ISBN 9781931914598.
  7. ↑Alexander, Daniel C.; Koeberlein, Geralyn M. (2014-01-01). Elementary Geometry for College Students. Cengage. ISBN 9781285965901.
  8. ↑Dowling, Linnaeus Wayland (1917-01-01). Projective Geometry. McGraw-Hill book Company, Incorporated.
  9. ↑G. B. Halsted (1906) Synthetic Projective Geometry, page 20

References

  • Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042