Conjunto acotado

En análisis matemático y áreas afines de las matemáticas , un conjunto se denomina acotado si todos sus puntos se encuentran a una distancia determinada entre sí. Por el contrario, un conjunto que no está acotado se denomina no acotado . El término «acotado» carece de sentido en un espacio topológico general sin una métrica correspondiente .

El concepto de frontera es distinto; por ejemplo, un círculo (que no debe confundirse con un disco ) aislado es un conjunto acotado sin frontera, mientras que el semiplano no tiene frontera pero sí una frontera.

Un conjunto acotado no es necesariamente un conjunto cerrado ^, y viceversa. Por ejemplo, un subconjunto S de un espacio real bidimensional R² restringido por dos curvas parabólicas x² + 1 y x² − 1 ^definidas en un sistema de coordenadas cartesianas está cerrado por las curvas, pero no acotado (por lo tanto, no acotado) ^.

Un conjunto S de números reales se denomina acotado superiormente si existe algún número real k (no necesariamente perteneciente a S ) tal que k ≥ s para todo s en S. El número k se denomina cota superior de S. Los términos acotado inferiormente y cota inferior se definen de manera similar.

Un conjunto S es acotado si tiene límites superior e inferior. Por lo tanto, un conjunto de números reales es acotado si está contenido en un intervalo finito .

Un subconjunto S de un espacio métrico ( M , d ) es acotado si existe r > 0 tal que para todo s y t en S , tenemos d ( s , t ) < r . El espacio métrico ( M , d ) es un espacio métrico acotado (o d es una métrica acotada ) si M es acotado como subconjunto de sí mismo.

• La acotación total implica acotación. Para subconjuntos de R ^n, ambas son equivalentes.
• Un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado.
• Un subconjunto del espacio euclidiano R ⁿ es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Esto también se conoce como el teorema de Heine-Borel .

En los espacios vectoriales topológicos , existe una definición diferente para los conjuntos acotados, a la que a veces se denomina acotación de von Neumann . Si la topología del espacio vectorial topológico está inducida por una métrica homogénea , como en el caso de una métrica inducida por la norma de espacios vectoriales normados , entonces ambas definiciones coinciden.

Un conjunto de números reales es acotado si y solo si tiene un límite superior e inferior. Esta definición se puede extender a subconjuntos de cualquier conjunto parcialmente ordenado . Cabe destacar que este concepto más general de acotación no se corresponde con la noción de "tamaño".

Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina acotado superiormente si existe un elemento k en P tal que k ≥ s para todo s en S. El elemento k se denomina cota superior de S. Los conceptos de acotado inferiormente y cota inferior se definen de forma similar. (Véase también cotas superiores e inferiores ).

Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina acotado si tiene un límite superior e inferior, o, equivalentemente, si está contenido en un intervalo . Cabe destacar que esta no es solo una propiedad del conjunto S , sino también del conjunto S como subconjunto de P.

Un conjunto parcialmente ordenado acotado P (es decir, por sí mismo, no como subconjunto) es aquel que tiene un elemento mínimo y un elemento máximo . Cabe señalar que este concepto de acotación no tiene nada que ver con el tamaño finito, y que un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado acotado P con como orden la restricción del orden en P no es necesariamente un conjunto parcialmente ordenado acotado.

Un subconjunto S de R ⁿ está acotado con respecto a la distancia euclidiana si y solo si está acotado como subconjunto de R ⁿ con el orden producto . Sin embargo, S puede estar acotado como subconjunto de R ⁿ con el orden lexicográfico , pero no con respecto a la distancia euclidiana.

Se dice que una clase de números ordinales es ilimitada o cofinal cuando, dado cualquier número ordinal, siempre existe algún elemento de la clase mayor que él. Por lo tanto, en este caso, "ilimitado" no significa ilimitado en sí mismo, sino ilimitado como subclase de la clase de todos los números ordinales.

• Dominio acotado
• Función acotada
• límites locales
• teoría del orden
• Totalmente delimitado

• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1982). Introducción al análisis real . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05944-7.
• Richtmyer, Robert D. (1978). Principios de física matemática avanzada . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-08873-3.