límites locales

En matemáticas , una función está acotada localmente si está acotada en torno a cada punto. Una familia de funciones está acotada localmente si, para cualquier punto de su dominio , todas las funciones están acotadas en torno a ese punto y por el mismo número de puntos.

Una función de valor real o de valor complejo${\displaystyle f}$definido en algún espacio topológico${\displaystyle X}$se llama unfuncional localmente acotado si para cualquier${\displaystyle x_{0}\in X}$existe un vecindario${\displaystyle A}$de${\displaystyle x_{0}}$de tal manera que${\displaystyle f(A)}$es un conjunto acotado . Es decir, para algún número${\displaystyle M>0}$uno tiene $${\displaystyle |f(x)|\leq M\quad {\text{ para todo }}x\in A.}$$

En otras palabras, para cada${\displaystyle x}$uno puede encontrar una constante, dependiendo de${\displaystyle x,}$que es mayor que todos los valores de la función en la vecindad de${\displaystyle x.}$Compárese esto con una función acotada , para la cual la constante no depende de${\displaystyle x.}$Obviamente, si una función es acotada, entonces es localmente acotada. Lo contrario no es cierto en general (véase más abajo).

Esta definición puede extenderse al caso en que${\displaystyle f:X\to Y}$toma valores en algún espacio métrico${\displaystyle (Y,d).}$Entonces, la desigualdad anterior debe ser reemplazada por $${\displaystyle d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ para todo }}x\in A,}$$ dónde${\displaystyle y\in Y}$es algún punto en el espacio métrico. La elección de${\displaystyle y}$no afecta la definición; elegir una diferente${\displaystyle y}$como máximo aumentará la constante${\displaystyle r}$para los cuales esta desigualdad es verdadera.

• La función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$$está limitado, porque${\displaystyle 0\leq f(x)\leq 1}$a pesar de${\displaystyle x.}$Por lo tanto, también está acotado localmente.

• La función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por$${\displaystyle f(x)=2x+3}$$no está acotado, ya que se vuelve arbitrariamente grande. Sin embargo, está acotado localmente porque para cada${\displaystyle a,}$${\displaystyle |f(x)|\leq M}$en el barrio${\displaystyle (a-1,a+1),}$dónde${\displaystyle M=2|a|+5.}$

• La función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}}$$No está acotada ni localmente acotada. En cualquier entorno de 0, esta función toma valores de magnitud arbitrariamente grande.

• Toda función continua está localmente acotada. He aquí una demostración para funciones de una variable real. Sea${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ser continuo donde${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ,}$y demostraremos que${\displaystyle f}$está limitado localmente en${\displaystyle a}$a pesar de${\displaystyle a\in U}$Tomando ε = 1 en la definición de continuidad, existe${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$a pesar de${\displaystyle x\in U}$con${\displaystyle |xa|<\delta }$. Ahora, por la desigualdad triangular ,${\displaystyle |f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|,}$lo que significa que${\displaystyle f}$está limitado localmente en${\displaystyle a}$(tomando${\displaystyle M=1+|f(a)|}$y el vecindario${\displaystyle (a-\delta,a+\delta)}$). Este argumento se generaliza fácilmente a cuando el dominio de${\displaystyle f}$es cualquier espacio topológico.

• Sin embargo, lo contrario del resultado anterior no es cierto; es decir, una función discontinua puede estar localmente acotada. Por ejemplo, considérese la función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$dado por${\displaystyle f(0)=1}$y${\displaystyle f(x)=0}$a pesar de${\displaystyle x\neq 0.}$Entonces${\displaystyle f}$es discontinua en 0 pero${\displaystyle f}$está acotada localmente; es localmente constante excepto en cero, donde podemos tomar${\displaystyle M=1}$y el vecindario${\displaystyle (-1,1),}$Por ejemplo.

Un conjunto (también llamado familia ) U de funciones de valor real o complejo definidas en algún espacio topológico${\displaystyle X}$se denomina localmente acotado si para cualquier${\displaystyle x_{0}\in X}$existe un vecindario${\displaystyle A}$de${\displaystyle x_{0}}$y un número positivo${\displaystyle M>0}$de tal manera que $${\displaystyle |f(x)|\leq M}$$ a pesar de${\displaystyle x\in A}$y${\displaystyle f\in U.}$En otras palabras, todas las funciones de la familia deben estar acotadas localmente, y alrededor de cada punto deben estar acotadas por la misma constante.

Esta definición también puede extenderse al caso en que las funciones de la familia U toman valores en algún espacio métrico, reemplazando nuevamente el valor absoluto por la función de distancia.

• La familia de funciones${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}}}$$dónde${\displaystyle n=1,2,\ldots }$está acotado localmente. De hecho, si${\displaystyle x_{0}}$es un número real, uno puede elegir el vecindario${\displaystyle A}$ser el intervalo${\displaystyle \left(x_{0}-a,x_{0}+1\right).}$Entonces para todos${\displaystyle x}$en este intervalo y para todos${\displaystyle n\geq 1}$uno tiene$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$con${\displaystyle M=1+|x_{0}|.}$Además, la familia está uniformemente delimitada , porque ni el vecindario${\displaystyle A}$ni la constante${\displaystyle M}$depende del índice${\displaystyle n.}$

• La familia de funciones${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}}$$está acotado localmente, si${\displaystyle n}$es mayor que cero. Para cualquier${\displaystyle x_{0}}$uno puede elegir el vecindario${\displaystyle A}$ser${\displaystyle \mathbb {R} }$mismo. Entonces tenemos$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$con${\displaystyle M=1.}$Tenga en cuenta que el valor de${\displaystyle M}$no depende de la elección de x ₀ o su vecindario${\displaystyle A.}$Esta familia no solo está delimitada localmente, sino que también está delimitada de manera uniforme.

• La familia de funciones${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f_{n}(x)=x+n}$$no está acotado localmente. De hecho, para cualquier${\displaystyle x}$los valores${\displaystyle f_{n}(x)}$no puede ser limitado como${\displaystyle n}$tiende hacia el infinito.

La acotación local también puede referirse a una propiedad de los espacios vectoriales topológicos o de las funciones de un espacio topológico a un espacio vectorial topológico (TVS).

• Espacio bornológico : espacio donde los operadores acotados son continuos. 
• Operador acotado : un tipo de transformación lineal. 
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico) – Generalización de la acotación 

• Entrada de PlanetMath para Locally Bounded
• Entrada de nLab para la categoría delimitada localmente.