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Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)

En análisis funcional y áreas afines de las matemáticas , un conjunto en un espacio vectorial topológico se denomina acotado o acotado de von Neumann si todo entorno del vector ...

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En análisis funcional y áreas afines de las matemáticas , un conjunto en un espacio vectorial topológico se denomina acotado o acotado de von Neumann si todo entorno del vector cero puede expandirse para incluir el conjunto. Un conjunto que no es acotado se denomina no acotado .

Los conjuntos acotados constituyen una forma natural de definir topologías polares localmente convexas en los espacios vectoriales de un par dual , ya que el conjunto polar de un conjunto acotado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente . Este concepto fue introducido por primera vez por John von Neumann y Andrey Kolmogorov en 1935.

Definición

Suponerincógnita{\displaystyle X}es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre un campo topológicoK.{\displaystyle \mathbb {K} .}

Un subconjuntoB{\displaystyle B}deincógnita{\displaystyle X}se denomina acotado de von Neumann o simplemente acotado enincógnita{\displaystyle X}si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

  1. Definición : Para cada vecindarioV{\displaystyle V}del origen existe un realr>0{\displaystyle r>0}de tal manera queB⊆sV{\displaystyle B\subseteq sV}[ nota 1 ] para todos los escalaress{\displaystyle s}satisfactorio|s|≥r.{\displaystyle |s|\geq r.}[ 1 ]
  2. B{\displaystyle B}es absorbido por cada vecindario del origen. [ 2 ]
  3. Para cada vecindarioV{\displaystyle V}del origen existe un escalars{\displaystyle s}de tal manera queB⊆sV.{\displaystyle B\subseteq sV.}
  4. Para cada vecindarioV{\displaystyle V}del origen existe un realr>0{\displaystyle r>0}de tal manera quesB⊆V{\displaystyle sB\subseteq V}para todos los escalaress{\displaystyle s}satisfactorio|s|≤r.{\displaystyle |s|\leq r.}[ 1 ]
  5. Para cada vecindarioV{\displaystyle V}del origen existe un realr>0{\displaystyle r>0}de tal manera quetB⊆V{\displaystyle tB\subseteq V}para todos los reales0<t≤r.{\displaystyle 0<t\leq r.}[ 3 ]
  6. Cualquiera de las afirmaciones (1) a (5) anteriores, pero con la palabra "vecindario" reemplazada por cualquiera de las siguientes: " vecindario equilibrado ", "vecindario equilibrado abierto", "vecindario equilibrado cerrado", "vecindario abierto", "vecindario cerrado".
    • Por ejemplo, la afirmación (2) puede convertirse en:B{\displaystyle B}está acotado si y solo siB{\displaystyle B}es absorbido por cada vecindario equilibrado del origen. [ 1 ]
    • Siincógnita{\displaystyle X}Si es localmente convexo, entonces también se puede agregar el adjetivo "convexo" a cualquiera de estos 5 reemplazos.
  7. Para cada secuencia de escalaress1,s2,s3,…{\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }que converge a0{\displaystyle 0}y cada secuenciab1,b2,b3,…{\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }enB,{\displaystyle B,}la secuencias1b1,s2b2,s3b3,…{\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }converge a0{\displaystyle 0}enincógnita.{\displaystyle X.}[ 1 ]
    • Esta fue la definición de "acotado" que Andrey Kolmogorov utilizó en 1934, la cual es la misma que la definición introducida por Stanisław Mazur y Władysław Orlicz en 1933 para TVS metrizables. Kolmogorov utilizó esta definición para demostrar que un TVS es seminormable si y solo si tiene un entorno convexo acotado del origen. [ 1 ]
  8. Para cada secuenciab1,b2,b3,…{\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }enB,{\displaystyle B,}la secuencia(1ibi)i=1∞{\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}converge a0{\displaystyle 0}enincógnita.{\displaystyle X.}[ 4 ]
  9. Cada subconjunto contable deB{\displaystyle B}está acotado (según cualquier condición definitoria distinta de esta). [ 1 ]

SiB{\displaystyle {\mathcal {B}}}es una base vecinal paraincógnita{\displaystyle X}En el origen, esta lista puede ampliarse para incluir:

  1. Cualquiera de las afirmaciones (1) a (5) anteriores, pero con los vecindarios limitados a aquellos que pertenecen aB.{\displaystyle {\mathcal {B}}.}
    • Por ejemplo, la declaración (3) puede convertirse en: Para cadaV∈B{\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}existe un escalars{\displaystyle s}de tal manera queB⊆sV.{\displaystyle B\subseteq sV.}

Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio localmente convexo cuya topología está definida por una familiaPAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}de seminormas continuas , entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

  1. pag(B){\displaystyle p(B)}está limitado para todospag∈PAG.{\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}[ 1 ]
  2. Existe una secuencia de escalares distintos de cero.s1,s2,s3,…{\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }de tal manera que para cada secuenciab1,b2,b3,…{\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }enB,{\displaystyle B,}la secuenciab1s1,b2s2,b3s3,…{\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }está delimitado enincógnita{\displaystyle X}(según cualquier condición definitoria distinta de esta). [ 1 ]
  3. A pesar depag∈PAG,{\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}B{\displaystyle B}está acotado (según cualquier condición definitoria distinta de esta) en el espacio semirnormalizado(incógnita,pag).{\displaystyle (X,p).}
  4. B está débilmente acotado, es decir, todo funcional lineal continuo está acotado en B [ 5 ].

Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio normalizado con norma‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}(o, de forma más general, si se trata de un espacio seminormado y‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}es simplemente una semimorfa ), [ nota 2 ] entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

  1. B{\displaystyle B}es un subconjunto acotado en norma de(incógnita,‖⋅‖).{\displaystyle (X,\|\cdot \|).}Por definición, esto significa que existe un número realr>0{\displaystyle r>0}de tal manera que‖b‖≤r{\displaystyle \|b\|\leq r}a pesar deb∈B.{\displaystyle b\in B.}[ 1 ]
  2. sorberb∈B‖b‖<∞.{\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}
    • Por lo tanto, siL:(incógnita,‖⋅‖)→(Y,‖⋅‖){\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}es una aplicación lineal entre dos espacios normados (o seminormados) y siB{\displaystyle B}es la bola unitaria cerrada (o abierta) en(incógnita,‖⋅‖){\displaystyle (X,\|\cdot \|)}centrado en el origen, entoncesL{\displaystyle L}es un operador lineal acotado (lo que, recordemos, significa que su norma de operador‖L‖:=sorberb∈B‖L(b)‖<∞{\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }es finito) si y solo si la imagenL(B){\displaystyle L(B)}de esta pelota debajoL{\displaystyle L}es un subconjunto acotado en norma de(Y,‖⋅‖).{\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}
  3. B{\displaystyle B}es un subconjunto de alguna bola (abierta o cerrada). [ nota 3 ]
    • Esta bola no tiene por qué estar centrada en el origen, pero su radio debe ser (como siempre) positivo y finito.

SiB{\displaystyle B}es un subespacio vectorial del TVSincógnita{\displaystyle X}Entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

  1. B{\displaystyle B}está contenido en el cierre de{0}.{\displaystyle \{0\}.}[ 1 ]
    • En otras palabras, un subespacio vectorial deincógnita{\displaystyle X}es acotado si y solo si es un subconjunto de (el espacio vectorial)clincógnita⁡{0}.{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}
    • Recuerda queincógnita{\displaystyle X}es un espacio Hausdorff si y solo si{0}{\displaystyle \{0\}}está cerrado enincógnita.{\displaystyle X.}Por lo tanto, el único subespacio vectorial acotado de un TVS de Hausdorff es{0}.{\displaystyle \{0\}.}

Un subconjunto que no está acotado se denomina no acotado .

Bornología y sistemas fundamentales de conjuntos acotados

La colección de todos los conjuntos acotados en un espacio vectorial topológicoincógnita{\displaystyle X}se denomina bornología de von Neumann o bornología ( canónica ) deincógnita.{\displaystyle X.}

Un sistema base o fundamental de conjuntos acotados deincógnita{\displaystyle X}es un conjuntoB{\displaystyle {\mathcal {B}}}de subconjuntos acotados deincógnita{\displaystyle X}de tal manera que cada subconjunto acotado deincógnita{\displaystyle X}es un subconjunto de algunosB∈B.{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}[ 1 ] El conjunto de todos los subconjuntos acotados deincógnita{\displaystyle X}trivialmente forma un sistema fundamental de conjuntos acotados deincógnita.{\displaystyle X.}

Ejemplos

En cualquier TVS localmente convexo , el conjunto de discos cerrados y acotados es una base de un conjunto acotado. [ 1 ]

Ejemplos y condiciones suficientes

Salvo que se indique lo contrario, un espacio vectorial topológico (TVS) no tiene por qué ser de Hausdorff ni localmente convexo .

  • Los conjuntos finitos son acotados. [ 1 ]
  • Todo subconjunto totalmente acotado de un TVS es acotado. [ 1 ]
  • Todo conjunto relativamente compacto en un espacio vectorial topológico es acotado. Si el espacio está dotado de la topología débil, también se cumple lo contrario.
  • El conjunto de puntos de una sucesión de Cauchy es acotado, pero el conjunto de puntos de una red de Cauchy no tiene por qué serlo.
  • El cierre del origen (en referencia al cierre del conjunto){0}{\displaystyle \{0\}}) es siempre un subespacio vectorial cerrado y acotado. Este conjuntoclincógnita⁡{0}{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}es el más grande y único (con respecto a la inclusión del conjunto)⊆{\displaystyle \,\subsetequ \,}) subespacio vectorial acotado deincógnita.{\displaystyle X.}En particular, siB⊆incógnita{\displaystyle B\subsetequ X}es un subconjunto acotado deincógnita{\displaystyle X}entonces también lo esB+clincógnita⁡{0}.{\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}

Conjuntos ilimitados

Un conjunto que no está acotado se denomina no acotado .

Cualquier subespacio vectorial de un TVS que no esté contenido en el cierre de{0}{\displaystyle \{0\}}es ilimitado

Existe un espacio Fréchetincógnita{\displaystyle X}tener un subconjunto acotadoB{\displaystyle B}y también un subespacio vectorial densoMETRO{\displaystyle M}de tal manera queB{\displaystyle B}no está contenido en el cierre (enincógnita{\displaystyle X}) de cualquier subconjunto acotado deMETRO.{\displaystyle M.}[ 6 ]

Propiedades de estabilidad

Propiedades

Un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene un entorno acotado de cero si y solo si su topología puede definirse mediante una única seminorma .

La polar de un conjunto acotado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente .

Condición de numerabilidad de Mackey [ 8 ] —SiB1,B2,B3,…{\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }es una secuencia numerable de subconjuntos acotados de un espacio vectorial topológico localmente convexo metrizableincógnita,{\displaystyle X,}entonces existe un subconjunto acotadoB{\displaystyle B}deincógnita{\displaystyle X}y una secuenciar1,r2,r3,…{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\ldots }de números reales positivos tales queBi⊆riB{\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}a pesar dei∈norte{\displaystyle i\in \mathbb {N} }(o equivalentemente, de tal manera que1r1B1∪1r2B2∪1r3B3∪⋯⊆B{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}B_{1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B}).

Utilizando la definición de conjuntos uniformemente acotados que se da a continuación, la condición de numerabilidad de Mackey se puede reformular como: SiB1,B2,B3,…{\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }Si son subconjuntos acotados de un espacio localmente convexo metrizable , entonces existe una secuenciat1,t2,t3,…{\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }de números reales positivos tales quet1B1,t2B2,t3B3,…{\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }están uniformemente acotados . En otras palabras, dada cualquier familia numerable de conjuntos acotados en un espacio localmente convexo metrizable, es posible escalar cada conjunto por su propio número real positivo de modo que se conviertan en uniformemente acotados.

Generalizaciones

Conjuntos uniformemente acotados

Una familia de conjuntosB{\displaystyle {\mathcal {B}}}subconjuntos de un espacio vectorial topológicoY{\displaystyle Y}Se dice queuniformemente limitado enY,{\displaystyle Y,}si existe algún subconjunto acotadoD{\displaystyle D}deY{\displaystyle Y}de tal manera que B⊆D por cada B∈B,{\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},} lo cual sucede si y solo si su unión ∪B := ⋃B∈BB{\displaystyle \cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B} es un subconjunto acotado deY.{\displaystyle Y.} En el caso de un espacio normado (o seminormado ), una familiaB{\displaystyle {\mathcal {B}}}está uniformemente acotada si y solo si su unión∪B{\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}está acotado por norma , lo que significa que existe algún valor realMETRO≥0{\displaystyle M\geq 0}de tal manera que‖b‖≤METRO{\textstyle \|b\|\leq M}por cadab∈∪B,{\displaystyle b\in \cup {\mathcal {B}},}o equivalentemente, si y solo sisorberB∈Bb∈B‖b‖<∞.{\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}

Un conjuntoH{\displaystyle H}de mapas deincógnita{\displaystyle X}aY{\displaystyle Y}Se dice queuniformemente acotado en un conjunto dadodo⊆incógnita{\displaystyle C\subseteq X}si la familiaH(do):={h(do):h∈H}{\displaystyle H(C):=\{h(C):h\in H\}}está uniformemente acotado enY,{\displaystyle Y,}lo que por definición significa que existe algún subconjunto acotadoD{\displaystyle D}deY{\displaystyle Y}de tal manera queh(do)⊆D a pesar de h∈H,{\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}o equivalentemente, si y solo si∪H(do):=⋃h∈Hh(do){\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}es un subconjunto acotado deY.{\displaystyle Y.} Un conjuntoH{\displaystyle H}de aplicaciones lineales entre dos espacios normados (o seminorados)incógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}está uniformemente acotada en alguna (o equivalentemente, en toda) bola abierta (y/o bola cerrada no degenerada) enincógnita{\displaystyle X}si y solo si sus normas de operador están uniformemente acotadas; es decir, si y solo sisorberh∈H‖h‖<∞.{\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}

Proposición [ 9 ] — SeaH⊆L(incógnita,Y){\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}sea ​​un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}y dejardo⊆incógnita{\displaystyle C\subseteq X}sea ​​cualquier subconjunto acotado deincógnita.{\displaystyle X.} EntoncesH{\displaystyle H}está uniformemente acotado endo{\displaystyle C}(es decir, la familia{h(do):h∈H}{\displaystyle \{h(C):h\in H\}}está uniformemente acotado enY{\displaystyle Y}) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1. H{\displaystyle H}es equicontinua .
  2. do{\displaystyle C}es un subespacio compacto convexo de Hausdorff deincógnita{\displaystyle X}y por cadado∈do,{\displaystyle c\in C,}la órbitaH(do):={h(do):h∈H}{\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}}es un subconjunto acotado deY.{\displaystyle Y.}

Dado que cada subconjunto único deincógnita{\displaystyle X}es también un subconjunto acotado, por lo tanto, siH⊆L(incógnita,Y){\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}es un conjunto equicontinuo de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}(no necesariamente Hausdorff o localmente convexa), entonces la órbitaH(incógnita):={h(incógnita):h∈H}{\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}de cadaincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}es un subconjunto acotado deY.{\displaystyle Y.}

Subconjuntos acotados de módulos topológicos

La definición de conjuntos acotados puede generalizarse a módulos topológicos . Un subconjuntoA{\displaystyle A}de un módulo topológicoMETRO{\displaystyle M}sobre un anillo topológicoR{\displaystyle R}está delimitado si para cualquier vecindarionorte{\displaystyle N}de0METRO{\displaystyle 0_{M}}existe un vecindariow{\displaystyle w}de0R{\displaystyle 0_{R}}de tal manera quewA⊆B.{\displaystyle wA\subseteq B.}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 156–175.
  2. ↑ Schaefer 1970 , pág. 25.
  3. ↑ Rudin 1991 , pág. 8.
  4. ↑ Wilansky 2013 , pág. 47.
  5. ↑ Narici Beckenstein (2011). Espacios vectoriales topológicos (2.ª  ed.). pp.  253, Teorema 8.8.7. ISBN 978-1-58488-866-6.
  6. ↑ Wilansky 2013 , pág. 57.
  7. 1 2 Narici y Beckenstein 2011 , pág. 162.
  8. ↑ Narici y Beckenstein 2011 , pág. 174.
  9. 1 2 Rudin 1991 , págs. 42-47.
  10. ↑ Rudin 1991 , págs. 46-47.

Notas

  1. ↑ Para cualquier conjuntoA{\displaystyle A}y escalars,{\displaystyle s,}la notaciónsA{\displaystyle sA}denota el conjuntosA:={sa:a∈A}.{\displaystyle sA:=\{sa:a\in A\}.}
  2. ↑ Esto significa que la topología enincógnita{\displaystyle X}es igual a la topología inducida en ella por‖⋅‖.{\displaystyle \|\cdot \|.}Cabe destacar que todo espacio normado es un espacio seminormado y toda norma es una seminorma. La definición de la topología inducida por una seminorma es idéntica a la definición de la topología inducida por una norma.
  3. ↑ Si(incógnita,‖⋅‖){\displaystyle (X,\|\cdot \|)}es un espacio normado o un espacio seminormado , entonces las bolas abiertas y cerradas de radior>0{\displaystyle r>0}(dónder≠∞{\displaystyle r\neq \infty }es un número real) centrado en un puntoincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}son, respectivamente, los conjuntosB<r(incógnita):={z∈incógnita:‖z−incógnita‖<r}{\textstyle B_{<r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}}yB≤r(incógnita):={z∈incógnita:‖z−incógnita‖≤r}.{\textstyle B_{\leq r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.}Cualquier conjunto de este tipo se denomina bola (no degenerada) .

Bibliografía

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