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Clasificación de variedades

En matemáticas , concretamente en geometría y topología , la clasificación de las variedades es una cuestión fundamental, sobre la que se sabe mucho, pero aún quedan muchas preg...

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En matemáticas , concretamente en geometría y topología , la clasificación de las variedades es una cuestión fundamental, sobre la que se sabe mucho, pero aún quedan muchas preguntas abiertas sobre las variedades .

Temas principales

Descripción general

  • Las variedades de baja dimensión se clasifican por su estructura geométrica; las variedades de alta dimensión se clasifican algebraicamente, según la teoría de la cirugía .
"Dimensiones bajas" se refiere a dimensiones de hasta 4; "Dimensiones altas" se refiere a 5 o más dimensiones. El caso de dimensión 4 es, en cierto modo, un caso límite, ya que manifiesta un comportamiento de "dimensión baja" de forma continua (pero no topológicamente); véase la discusión sobre "dimensión baja" frente a "dimensión alta" .
  • Las distintas categorías de variedades dan lugar a distintas clasificaciones; estas están relacionadas por la noción de "estructura", y las categorías más generales tienen teorías más precisas.
  • La curvatura positiva está restringida, la curvatura negativa es genérica.
  • La clasificación abstracta de variedades de alta dimensión es ineficaz : dadas dos variedades (presentadas como complejos CW , por ejemplo), no existe ningún algoritmo para determinar si son isomorfas.

Diferentes categorías y estructura adicional

Formalmente, clasificar variedades es clasificar objetos salvo isomorfismo . Existen muchas nociones diferentes de "variedad" y nociones correspondientes de "mapa entre variedades", cada una de las cuales da lugar a una categoría diferente y a una cuestión de clasificación distinta.

Estas categorías están relacionadas por functores de olvido : por ejemplo, una variedad diferenciable es también una variedad topológica, y una aplicación diferenciable es también continua, por lo que existe un functor.Diferencia→Arriba{\displaystyle {\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}}.

Estos functores en general no son ni biyectivos ni sobreyectivos en objetos; estos fallos se suelen denominar en términos de "estructura", como sigue. Una variedad topológica que está en la imagen deDiferencia→Arriba{\displaystyle {\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}}Se dice que "admite una estructura diferenciable", y la fibra sobre una variedad topológica dada es "las diferentes estructuras diferenciables en la variedad topológica dada".

Así pues, dadas dos categorías, las dos preguntas naturales son:

  • ¿Qué variedades de un tipo dado admiten una estructura adicional?
  • Si admite una estructura adicional, ¿cuántas admite?
Más precisamente, ¿cuál es la estructura del conjunto de estructuras adicionales?

En categorías más generales, este conjunto de estructuras tiene más estructura: en Diff es simplemente un conjunto, pero en Top es un grupo, y funtorialmente hablando.

Muchas de estas estructuras son G-estructuras , y la cuestión radica en la reducción del grupo de estructuras . El ejemplo más conocido es la orientabilidad: algunas variedades son orientables, otras no, y las variedades orientables admiten 2 orientaciones.

Enumeración versus invariantes

Existen dos formas habituales de realizar una clasificación: explícitamente, mediante una enumeración, o implícitamente, en términos de invariantes.

Por ejemplo, para superficies orientables, la clasificación de superficies las enumera como la suma conectada denorte≥0{\displaystyle n\geq 0}toros, y un invariante que los clasifica es el género o característica de Euler .

Las variedades poseen un amplio conjunto de invariantes, entre los que se incluyen:

La topología algebraica moderna (más allá de la teoría del cobordismo ), como la (co)homología extraordinaria , se usa poco en la clasificación de variedades, porque estos invariantes son invariantes bajo homotopía y, por lo tanto, no ayudan con las clasificaciones más finas por encima del tipo de homotopía.

Los grupos de cobordismo (los grupos de bordismo de un punto) se calculan, pero los grupos de bordismo de un espacio (comoMETROO∗(METRO){\displaystyle MO_{*}(M)}) generalmente no lo son.

Conjunto de puntos

La clasificación por conjuntos de puntos es básica: generalmente se establecen supuestos sobre los conjuntos de puntos y luego se estudia esa clase de variedad. La clase de variedades que se clasifica con mayor frecuencia es la de variedades cerradas y conexas.

Al ser homogéneas (lejos de cualquier frontera), las variedades no tienen invariantes locales de conjuntos de puntos, aparte de su dimensión y frontera frente a interior, y las propiedades globales de conjuntos de puntos más utilizadas son la compacidad y la conectividad. Los nombres convencionales para combinaciones de estas son:

  • Una variedad compacta es una variedad compacta, posiblemente con frontera, y no necesariamente conexa (pero necesariamente con un número finito de componentes).
  • Un colector cerrado es un colector compacto sin límites, no necesariamente conectado.
  • Un colector abierto es un colector sin límites (no necesariamente conectado), sin ningún componente compacto.

Por ejemplo,[0,1]{\displaystyle [0,1]}es un colector compacto,S1{\displaystyle S^{1}}es un colector cerrado y(0,1){\displaystyle (0,1)}es un colector abierto, mientras que[0,1){\displaystyle [0,1)}No es ninguna de estas.

Computabilidad

La característica de Euler es un invariante homológico y, por lo tanto, se puede calcular eficazmente dada una estructura CW , de modo que las 2-variedades se clasifican homológicamente.

Las clases características y los números característicos son los invariantes homológicos generalizados correspondientes, pero no clasifican las variedades en dimensiones superiores (no constituyen un conjunto completo de invariantes ): por ejemplo, las 3-variedades orientables son paralelizable (teorema de Steenrod en topología de baja dimensión ), por lo que todas las clases características se anulan. En dimensiones superiores, las clases características no se anulan en general y proporcionan datos útiles, pero no completos.

Las variedades de dimensión 4 y superiores no se pueden clasificar eficazmente : dadas dos n -variedades (norte≥4{\displaystyle n\geq 4}) presentados como complejos CW o handlebodies , no hay algoritmo para determinar si son isomorfos (homeomorfos, difeomorfos). Esto se debe a la irresolubilidad del problema de palabras para grupos , o más precisamente, al problema de trivialidad (dada una presentación finita para un grupo, ¿es el grupo trivial?). Cualquier presentación finita de un grupo puede realizarse como un 2-complejo, y puede realizarse como el 2-esqueleto de una 4-variedad (o superior). Por lo tanto, ni siquiera se puede calcular el grupo fundamental de una variedad de alta dimensión dada, y mucho menos una clasificación.

Esta ineficacia es una razón fundamental por la que la teoría de la cirugía no clasifica las variedades salvo homeomorfismo. En cambio, para cualquier variedad fija M, clasifica pares.(norte,F){\displaystyle (N,f)}con N un colector yF:norte→METRO{\displaystyle f\colon N\to M}una equivalencia homotópica , dos pares de este tipo,(norte,F){\displaystyle (N,f)}y(norte′,F′){\displaystyle (N',f')}, siendo considerados equivalentes si existe un homeomorfismoh:norte→norte′{\displaystyle h\colon N\to N'}y una homotopíaF′h∼F:norte→METRO{\displaystyle f'h\sim f\colon N\to M}.

La curvatura positiva está restringida, la curvatura negativa es genérica.

Muchos teoremas clásicos de la geometría riemanniana muestran que las variedades con curvatura positiva están restringidas, siendo el ejemplo más dramático el teorema de la esfera 1/4-pinzada . Por el contrario, la curvatura negativa es genérica: por ejemplo, cualquier variedad de dimensiónnorte≥3{\displaystyle n\geq 3}admite una métrica con curvatura de Ricci negativa.

Este fenómeno ya es evidente en las superficies: existe una única superficie cerrada orientable (y una única no orientable) con curvatura positiva (la esfera y el plano proyectivo ), y lo mismo ocurre con la curvatura cero (el toro y la botella de Klein ), y todas las superficies de género superior admiten únicamente métricas de curvatura negativa.

De forma similar para las 3-variedades: de las 8 geometrías , todas excepto la hiperbólica están bastante restringidas.

Descripción general por dimensión

  • La dimensión 0 es trivial y la 1 es sencilla.
  • Las variedades de baja dimensión (dimensiones 2 y 3) admiten geometría.
  • Las variedades de dimensión media (dimensión 4 diferenciablemente) exhiben fenómenos exóticos.
  • Las variedades de alta dimensión (dimensión 5 y más de forma diferenciable, dimensión 4 y más de forma topológica) se clasifican según la teoría de la cirugía .

Así, las variedades diferenciables de dimensión 4 son las más complicadas: no son geometrizables (como en dimensiones inferiores), ni se clasifican mediante cirugía (como en dimensiones superiores o topológicamente), y exhiben fenómenos inusuales, entre los que destacan las infinitas estructuras diferenciables exóticas en R 4. Cabe destacar que las variedades diferenciables de dimensión 4 son el único caso abierto que queda de la conjetura generalizada de Poincaré .

Se puede adoptar una perspectiva de baja dimensión sobre las variedades de alta dimensión y preguntarse "¿Qué variedades de alta dimensión son geometrizables?", considerando diversas nociones de geometrizabilidad (divididas en piezas geometrizables como en 3 dimensiones, en variedades simplécticas, etc.). En dimensión 4 y superiores, no todas las variedades son geometrizables, pero constituyen una clase interesante.

Por el contrario, se puede adoptar un punto de vista de alta dimensión sobre las variedades de baja dimensión y preguntarse "¿Qué predice la cirugía para las variedades de baja dimensión?", es decir, "¿Si la cirugía funcionara en bajas dimensiones, cómo serían las variedades de baja dimensión?". Entonces se puede comparar la teoría real de las variedades de baja dimensión con el análogo de baja dimensión de las variedades de alta dimensión, y ver si las variedades de baja dimensión se comportan "como cabría esperar": ¿en qué se comportan como las variedades de alta dimensión (pero por razones diferentes o mediante demostraciones diferentes) y en qué se diferencian?

Dimensiones 0 y 1

Existe una única variedad conexa de dimensión 0, a saber, el punto, y las variedades desconectadas de dimensión 0 son simplemente conjuntos discretos, clasificados por cardinalidad. No poseen geometría, y su estudio se centra en la combinatoria.

Una variedad compacta unidimensional conexa sin frontera es homeomorfa (o difeomorfa si es lisa) al círculo. Una segunda variedad numerable unidimensional no compacta es homeomorfa o difeomorfa a la recta real. Si se prescinde de la segunda numerabilidad, se obtienen dos variedades adicionales: la recta larga y un espacio formado por un rayo de la recta real y un rayo de la recta larga que se encuentran en un punto. [ 1 ]

El estudio de mapas de variedades unidimensionales es un área no trivial. Por ejemplo:

  • Los grupos de difeomorfismos de 1-variedades son bastante difíciles de entender con precisión [ 2 ].
  • Las aplicaciones del círculo a la esfera tridimensional (o, más generalmente, a cualquier variedad tridimensional) se estudian como parte de la teoría de nudos .

Dimensiones 2 y 3: geometrizables

Toda variedad bidimensional cerrada y conexa (superficie) admite una métrica de curvatura constante, según el teorema de uniformización . [ 3 ] Existen tres curvaturas de este tipo (positiva, cero y negativa). Este es un resultado clásico y, como se ha dicho, sencillo (el teorema de uniformización completo es más complejo). El estudio de las superficies está profundamente relacionado con el análisis complejo y la geometría algebraica , ya que toda superficie orientable puede considerarse una superficie de Riemann o una curva algebraica compleja . Si bien la clasificación de superficies es clásica, el estudio de mapas de superficies es un área activa; véase más adelante.

Toda variedad tridimensional cerrada puede dividirse en piezas geometrizables, según la conjetura de geometrización , y existen ocho geometrías de este tipo. Este es un resultado reciente y bastante complejo. La demostración (la solución de la conjetura de Poincaré ) es analítica, no topológica.

Dimensión 4: exótica

Las variedades de cuatro dimensiones son las más inusuales: no son geometrizables (como en dimensiones inferiores) y la cirugía funciona topológicamente, pero no de forma diferenciable.

Dado que topológicamente las 4-variedades se clasifican mediante cirugía, la cuestión de la clasificación diferenciable se formula en términos de "estructuras diferenciables": "¿qué 4-variedades (topológicas) admiten una estructura diferenciable y, en aquellas que lo hacen, cuántas estructuras diferenciables existen?"

Las variedades de cuatro dimensiones suelen admitir muchas estructuras diferenciables inusuales, entre las que destacan las infinitas e incontables estructuras diferenciables exóticas en R 4 . De manera similar, las variedades de cuatro dimensiones diferenciables son el único caso abierto que queda de la conjetura generalizada de Poincaré .

Dimensión 5 y más: cirugía

En dimensión 5 y superiores (y en 4 dimensiones topológicamente), las variedades se clasifican según la teoría de la cirugía .

El truco de Whitney requiere 2+1 dimensiones (2 de espacio, 1 de tiempo), por lo tanto, los dos discos de Whitney de la teoría quirúrgica requieren 2+2+1=5 dimensiones.

La razón de la dimensión 5 es que el truco de Whitney funciona en la dimensión media en la dimensión 5 y más: dos discos de Whitney genéricamente no se intersecan en la dimensión 5 y superiores, por posición general (2+2<5{\displaystyle 2+2<5}). En dimensión 4, se pueden resolver intersecciones de dos discos de Whitney mediante asas de Casson , lo que funciona topológicamente pero no de forma diferenciable; véase Topología geométrica: dimensión para más detalles sobre la dimensión.

De forma más sutil, la dimensión 5 es el límite porque la dimensión intermedia tiene una codimensión mayor que 2: cuando la codimensión es 2, se encuentra la teoría de nudos , pero cuando la codimensión es mayor que 2, la teoría de incrustaciones es tratable mediante el cálculo de functores . Esto se analiza con más detalle a continuación.

Aplicaciones entre variedades

Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la clasificación de variedades es una parte fundamental para comprender la categoría: se trata de clasificar los objetos . La otra cuestión consiste en clasificar las aplicaciones de variedades, salvo diversas equivalencias, y existen numerosos resultados y preguntas abiertas en este ámbito.

Para los mapas, la noción apropiada de "baja dimensión" es, para algunos propósitos, "automapas de variedades de baja dimensión" y, para otros, "baja codimensión ".

Automapas de baja dimensión

Codimensión baja

De forma análoga a la clasificación de variedades, en codimensión alta ( es decir, más de 2), las incrustaciones se clasifican por cirugía, mientras que en codimensión baja o en dimensión relativa , son rígidas y geométricas, y en el medio (codimensión 2), se tiene una teoría exótica difícil ( teoría de nudos ).

  • En codimensión mayor que 2, las incrustaciones se clasifican según la teoría quirúrgica.
  • En codimensión 2, particularmente en incrustaciones de variedades unidimensionales en variedades tridimensionales, se tiene la teoría de nudos .
  • En codimensión 1, una incrustación de codimensión 1 separa una variedad, y estas son tratables.
  • En codimensión 0, una inmersión (propia) de codimensión 0 es un espacio de recubrimiento , que se clasifican algebraicamente, y que se conciben más naturalmente como submersiones.
  • En dimensión relativa, una inmersión con dominio compacto es un fibrado (al igual que en codimensión 0 = dimensión relativa 0), que se clasifican algebraicamente.

Altas dimensiones

Entre las clases de mapas que resultan particularmente interesantes desde el punto de vista topológico se incluyen las incrustaciones, las inmersiones y las submersiones.

Las isometrías y las inmersiones isométricas resultan geométricamente interesantes .

Entre los resultados fundamentales en incrustaciones e inmersiones se incluyen:

Las herramientas clave para estudiar estos mapas son:

Se pueden clasificar los mapas hasta diversas equivalencias:

Los difeomorfismos hasta el cobordismo han sido clasificados por Matthias Kreck [ 4 ].

Véase también

Referencias

  1. ↑ Frolík, Zdeněk (1962). "Sobre la clasificación de variedades unidimensionales" . Acta Universitatis Carolinae Mathematica et Physica . 3 (1): 1– 4. hdl : 10338.dmlcz/142137 .
  2. ↑ Navas, Andrés (2018). "Acciones de grupo en 1-variedades: una lista de cuestiones abiertas muy concretas". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos 2018, ICM 2018, Río de Janeiro, Brasil, 1-9 de agosto de 2018. Volumen III. Conferencias invitadas . World Scientific; Río de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). pp. 2035–2062 . 
  3. ↑ Apanasov, B..  Grupos discretos en el espacio y problemas de uniformización . Países Bajos, Springer Netherlands, 1991. 333.
  4. ↑ M. Kreck, Bordismo de difeomorfismos, Bull. Amer. Math. Soc. Volumen 82, Número 5 (1976), 759-761; M. Kreck, Bordismo de difeomorfismos y temas relacionados, Springer Lect. Notes 1069 (1984)

Lecturas adicionales

  • Kreck, Matthias (2000). «Guía para la clasificación de variedades». Paquete de libros electrónicos de Princeton University Press 2014. Encuestas sobre teoría de la cirugía (AM-145). Vol.  1. Princeton University Press. págs. 121–134 . doi : 10.1515/9781400865192-009 . ISBN  978-1-4008-6519-2.