Hispanopedia WikiEn geometría de Riemann , el teorema de la esfera , también conocido como teorema de la esfera pellizcada en un cuarto , restringe fuertemente la topología de variedades que admiten métricas con un límite de curvatura particular. El enunciado preciso del teorema es el siguiente. Si M es una variedad de Riemann completa , simplemente conexa , n -dimensional con curvatura seccional que toma valores en el intervalo , entonces M es homeomorfa a la n -esfera . (Para ser precisos, queremos decir que la curvatura seccional de cada plano 2 tangente en cada punto debe estar en ). Otra forma de enunciar el resultado es que si M no es homeomorfa a la esfera, entonces es imposible poner una métrica en M con curvatura pellizcada en un cuarto.
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Obsérvese que la conclusión es falsa si se permite que las curvaturas seccionales tomen valores en el intervalo cerrado . El contraejemplo estándar es el espacio proyectivo complejo con la métrica de Fubini-Study ; las curvaturas seccionales de esta métrica toman valores entre 1 y 4, con puntos finales incluidos. Se pueden encontrar otros contraejemplos entre los espacios simétricos de rango uno .
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Teorema de la esfera diferenciable
La prueba original del teorema de la esfera no concluyó que M era necesariamente difeomórfica con respecto a la n -esfera. Esta complicación se debe a que las esferas en dimensiones superiores admiten estructuras suaves que no son difeomórficas. (Para obtener más información, consulte el artículo sobre esferas exóticas ). Sin embargo, en 2007, Simon Brendle y Richard Schoen utilizaron el flujo de Ricci para demostrar que con las hipótesis anteriores, M es necesariamente difeomórfica con respecto a la n -esfera con su estructura suave estándar. Además, la prueba de Brendle y Schoen solo utiliza el supuesto más débil de pinzamiento puntual en lugar de global. Este resultado se conoce como el teorema de la esfera diferenciable .
Historia del teorema de la esfera
Heinz Hopf conjeturó que una variedad simplemente conexa con curvatura seccional pinzada es una esfera. [1] En 1951, Harry Rauch demostró que una variedad simplemente conexa con curvatura en [3/4,1] es homeomorfa a una esfera. [2] En 1960, tanto Marcel Berger como Wilhelm Klingenberg demostraron la versión topológica del teorema de la esfera con la constante de pinzamiento óptima. [3] [4] Berger analiza la historia del teorema en su libro Una vista panorámica de la geometría de Riemann , publicado originalmente en 2003. [5]
Referencias
- ^ Hopf, Heinz (1932), "Differentialgeometry und topologische Gestalt", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 41 : 209-228
- ^ Rauch, HE (1951). "Una contribución a la geometría diferencial en los grandes". Anales de Matemáticas . 54 (1): 38–55. doi :10.2307/1969309. JSTOR 1969309.
- ^ Berger, M. (1961). "Les variétés riemanniennes homogènes normales simplement connexes à courbure estricto positivo". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Scienze Fisiche e Matematiche (en francés). 15 (3): 179–246. ISSN 0036-9918 . Consultado el 15 de enero de 2024 .
- ^ Klingenberg, Wilhelm (1961). "Über Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Krümmung". Comentarios Mathematici Helvetici . 35 : 47–54. doi :10.1007/BF02567004. eISSN 1420-8946. ISSN 0010-2571. S2CID 124444094 . Consultado el 15 de enero de 2024 .
- ^ Berger, Marcel (2012). Una visión panorámica de la geometría de Riemann . Spring-Verlag. ISBN 978-3-642-62121-5.
- Brendle, Simon (2010). Ricci Flow and the Sphere Theorem . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 111. Providence, RI: American Mathematical Society . doi :10.1090/gsm/111. ISBN 978-0-8218-4938-5.Señor 2583938 .
- Brendle, Simon; Schoen, Richard (2009). "Las variedades con curvatura 1/4-pinchada son formas espaciales". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode :2009JAMS...22..287B. doi :10.1090/s0894-0347-08-00613-9. MR 2449060.
- Brendle, Simon; Schoen, Richard (2011). "Curvatura, teoremas de esferas y el flujo de Ricci". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 48 (1): 1–32. arXiv : 1001.2278 . doi :10.1090/s0273-0979-2010-01312-4. MR 2738904.