centroide

El centroide de una lámina plana de densidad uniforme , como la de la figura (a) inferior, puede determinarse experimentalmente utilizando una plomada y un alfiler para hallar el centro de masa de un cuerpo delgado de densidad uniforme con la misma forma. El cuerpo se sujeta con el alfiler, insertado en un punto alejado del centroide, de manera que pueda girar libremente alrededor del alfiler; a continuación, se suelta la plomada (figura b). Se traza la posición de la plomada sobre la superficie y se repite el procedimiento insertando el alfiler en cualquier punto diferente (o en varios puntos) alejado del centroide del objeto. El único punto de intersección de estas líneas será el centroide (figura c). Si el cuerpo tiene densidad uniforme, todas las líneas trazadas de esta manera incluirán el centroide y se cruzarán exactamente en el mismo punto.

Este método puede extenderse (en teoría) a formas cóncavas donde el centroide puede estar fuera de la forma, y ​​virtualmente a sólidos (de nuevo, de densidad uniforme), donde el centroide puede estar dentro del cuerpo. Las posiciones (virtuales) de las líneas de plomada deben registrarse por medios distintos a dibujarlas a lo largo de la forma.

Para figuras bidimensionales convexas, el centroide se puede encontrar equilibrando la figura sobre otra más pequeña, como la parte superior de un cilindro estrecho. El centroide se sitúa en algún punto dentro del rango de contacto entre ambas figuras (y exactamente en el punto donde la figura se equilibraría sobre un pivote). En principio, se pueden usar cilindros cada vez más estrechos para encontrar el centroide con precisión arbitraria. En la práctica, las corrientes de aire lo hacen inviable. Sin embargo, al marcar el rango de superposición a partir de múltiples equilibrios, se puede lograr un nivel de precisión considerable.

El centroide de un conjunto finito de${\displaystyle k}$agujas${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$ Este punto minimiza la suma de las distancias euclidianas al cuadrado entre sí mismo y cada punto del conjunto.

El centroide de una figura plana${\displaystyle X}$se puede calcular dividiéndolo en un número finito de cifras más simples.${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$calcular el centroide${\displaystyle C_{i}}$y área${\displaystyle A_{i}}$de cada parte y luego calcular

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

Agujeros en la figura${\displaystyle X,}$Las superposiciones entre las partes, o las partes que se extienden fuera de la figura, se pueden manejar utilizando áreas negativas.${\displaystyle A_{i}.}$Es decir, las medidas${\displaystyle A_{i}}$debe tomarse con signos positivos y negativos de tal manera que la suma de los signos de${\displaystyle A_{i}}$para todas las partes que encierran un punto dado${\displaystyle p}$es${\displaystyle 1}$si${\displaystyle p}$pertenece a${\displaystyle X,}$y${\displaystyle 0}$de lo contrario.

Por ejemplo, la figura siguiente (a) se divide fácilmente en un cuadrado y un triángulo, ambos con área positiva; y un agujero circular, con área negativa (b).

(a) Objeto 2D

b) Objeto descrito mediante elementos más simples

(c) Centroides de los elementos del objeto

El centroide de cada parte se puede encontrar en cualquier lista de centroides de formas simples (c). Entonces, el centroide de la figura es el promedio ponderado de los tres puntos. La posición horizontal del centroide, desde el borde izquierdo de la figura, es $${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi (2.5)^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi (2.5)^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$ La posición vertical del centroide se encuentra de la misma manera.

La misma fórmula se aplica a cualquier objeto tridimensional, excepto que cada${\displaystyle A_{i}}$debería ser el volumen de${\displaystyle X_{i},}$en lugar de su área. También se cumple para cualquier subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$para cualquier dimensión${\displaystyle d,}$con las áreas reemplazadas por el${\displaystyle d}$-medidas dimensionales de las piezas.

El centroide de un subconjunto${\displaystyle X}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$También se puede calcular mediante la fórmula vectorial.

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}={\frac {\int _{X}x\ dx}{\int _{X}dx}}}$$

donde las integrales se toman sobre todo el espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$y${\displaystyle g}$es la función característica del subconjunto${\displaystyle X}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!:\ g(x)=1}$si${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle g(x)=0}$de lo contrario. ^{[ 7 ]} Nótese que el denominador es simplemente la medida del conjunto${\displaystyle X.}$Esta fórmula no se puede aplicar si el conjunto${\displaystyle X}$tiene medida cero, o si alguna de las integrales diverge.

Alternativamente, la fórmula por coordenadas para el centroide se define como

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\ dz}{\int g(x)\ dx}},}$$

dónde${\displaystyle C_{k}}$es el${\displaystyle k}$la coordenada de${\displaystyle C,}$y${\displaystyle S_{k}(z)}$es la medida de la intersección de${\displaystyle X}$con el hiperplano definido por la ecuación${\displaystyle x_{k}=z.}$ Nuevamente, el denominador es simplemente la medida de${\displaystyle X.}$

Para una figura plana, en particular, las coordenadas baricéntricas son

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\ dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\ dy}{A}},}$$

dónde${\displaystyle A}$es el área de la figura${\displaystyle X,}$${\displaystyle S_{\mathrm {y} }(x)}$es la longitud de la intersección de${\displaystyle X}$con la línea vertical en el eje de abscisas${\displaystyle x,}$y${\displaystyle S_{\mathrm {x} }(y)}$es la longitud de la intersección de${\displaystyle X}$con la línea horizontal en el eje de ordenadas${\displaystyle y.}$

Un integrafo (un pariente del planímetro ) puede utilizarse para hallar el centroide de un objeto de forma irregular con contorno liso (o liso por partes). El principio matemático implicado es un caso particular del teorema de Green . ^{[ 11 ]}

Este es un método para determinar el centroide de un objeto en forma de L.

1. Divide la figura en dos rectángulos, como se muestra en la figura 2. Encuentra los centroides de estos dos rectángulos trazando las diagonales. Traza una línea que una los centroides. El centroide de la figura debe estar sobre esta línea.${\displaystyle AB.}$
2. Divide la figura en otros dos rectángulos, como se muestra en la figura 3. Encuentra los centroides de estos dos rectángulos trazando las diagonales. Traza una línea que una los centroides. El centroide de la figura en forma de L debe estar sobre esta línea.${\displaystyle CD.}$
3. Como el centroide de la figura debe estar a lo largo${\displaystyle AB}$y también a lo largo${\displaystyle CD,}$debe estar en la intersección de estas dos líneas, en${\displaystyle O.}$El punto${\displaystyle O}$podría estar dentro o fuera del objeto en forma de L.

El centroide de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas (las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto). ^{[ 6 ]} El centroide divide cada una de las medianas en la razón${\displaystyle 2:1,}$lo que quiere decir que está ubicado${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$de la distancia desde cada lado hasta el vértice opuesto (ver figuras a la derecha). ^{[ 12 ] [ 13 ]} Sus coordenadas cartesianas son la media de las coordenadas de los tres vértices. Es decir, si los tres vértices son${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$y${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$entonces el centroide (denotado${\displaystyle C}$aquí pero más comúnmente denotado${\displaystyle G}$en geometría triangular ) es

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

Por lo tanto, el centroide está en${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$en coordenadas baricéntricas .

En coordenadas trilineales, el centroide se puede expresar de cualquiera de estas maneras equivalentes en términos de las longitudes de los lados.${\displaystyle a,b,c}$y ángulos de vértice${\displaystyle L,M,N}$: ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M.\end{aligned}}}$$

El centroide también es el centro de masa físico si el triángulo está formado por una lámina uniforme de material; o si toda la masa se concentra en los tres vértices y se distribuye uniformemente entre ellos. Por otro lado, si la masa se distribuye a lo largo del perímetro del triángulo, con una densidad lineal uniforme , entonces el centro de masa se encuentra en el centro de Spieker (el incentro del triángulo medial ), que no coincide (en general) con el centroide geométrico del triángulo completo.

El área del triángulo es${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$veces la longitud de cualquier lado por la distancia perpendicular desde el lado al centroide. ^{[ 15 ]}

El centroide de un triángulo se encuentra sobre su línea de Euler entre su ortocentro.${\displaystyle H}$y su circuncentro${\displaystyle O,}$exactamente el doble de cerca de este último que del primero: ^{[ 16 ] [ 17 ]}

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

Además, para el centro${\displaystyle I}$y centro de nueve puntos${\displaystyle N,}$tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

Si${\displaystyle G}$es el centroide del triángulo${\displaystyle ABC,}$entonces

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

El conjugado isogonal del centroide de un triángulo es su punto simediano .

Cualquiera de las tres medianas que pasan por el centroide divide el área del triángulo por la mitad. Esto no es cierto para otras líneas que pasan por el centroide; la mayor desviación de la división de áreas iguales ocurre cuando una línea que pasa por el centroide es paralela a un lado del triángulo, creando un triángulo más pequeño y un trapecio ; en este caso, el área del trapecio es${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$la del triángulo original. ^{[ 18 ]}

Dejar${\displaystyle P}$sea ​​cualquier punto en el plano de un triángulo con vértices${\displaystyle A,B,C}$y centroide${\displaystyle G.}$Entonces la suma de las distancias al cuadrado de${\displaystyle P}$La distancia desde los tres vértices excede la suma de las distancias al cuadrado del centroide.${\displaystyle G}$desde los vértices por tres veces la distancia al cuadrado entre${\displaystyle P}$y${\displaystyle G}$: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

La suma de los cuadrados de los lados del triángulo es igual a tres veces la suma de las distancias al cuadrado del centroide a los vértices: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

El centroide de un triángulo es el punto que maximiza el producto de las distancias dirigidas de un punto a los lados del triángulo. ^{[ 20 ]}

Dejar${\displaystyle ABC}$sea ​​un triángulo, dejemos que${\displaystyle G}$Sea su centroide, y sea${\displaystyle D,E,F}$ser los puntos medios de los segmentos${\displaystyle BC,CA,AB,}$respectivamente. Para cualquier punto${\displaystyle P}$en el plano de${\displaystyle ABC,}$^{[ 21 ]}

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

El centroide de un polígono cerrado que no se autointerseca definido por${\displaystyle n}$vértices${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$ese es el punto${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$^{[ 22 ]} donde

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

y

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

y dónde${\displaystyle A}$es el área con signo del polígono, ^{[ 22 ]} como se describe mediante la fórmula del cordón de zapato :

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

En estas fórmulas, se supone que los vértices están numerados en orden de aparición a lo largo del perímetro del polígono; además, el vértice${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$se supone que es lo mismo que${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$significado${\displaystyle i+1}$en el último caso debe dar vueltas hasta${\displaystyle i=0.}$(Si los puntos están numerados en sentido horario, el área${\displaystyle A,}$Calculado como se indicó anteriormente, será negativo; sin embargo, las coordenadas del centroide serán correctas incluso en este caso.

El centroide de un polígono no triangular no es lo mismo que el centroide de sus vértices , considerando solo su conjunto de vértices (como el centroide de un conjunto finito de puntos ; ).

El centroide de un cono o pirámide se encuentra en el segmento de línea que conecta el vértice con el centroide de la base. Para un cono o pirámide macizo, el centroide es${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$la distancia desde la base hasta el vértice. Para un cono o pirámide que es solo una cáscara (hueca) sin base, el centroide es${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$la distancia desde el plano base hasta el vértice.

Un tetraedro es un objeto en el espacio tridimensional que tiene cuatro triángulos como caras . Un segmento de línea que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana , y un segmento de línea que une los puntos medios de dos aristas opuestas se llama bimediana . Por lo tanto, hay cuatro medianas y tres bimedianas. Estos siete segmentos de línea se encuentran en el centroide del tetraedro. ^{[ 23 ]} Las medianas se dividen por el centroide en la razón${\displaystyle 3:1.}$El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto de Monge y su circuncentro (centro de la esfera circunscrita). Estos tres puntos definen la recta de Euler del tetraedro, que es análoga a la recta de Euler de un triángulo.

Estos resultados se generalizan a cualquier${\displaystyle n}$un simplex de dimensión de la siguiente manera. Si el conjunto de vértices de un simplex es${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$Entonces, considerando los vértices como vectores , el centroide es

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

El centroide geométrico coincide con el centro de masa si la masa está distribuida uniformemente sobre todo el simplex, o concentrada en los vértices como${\displaystyle n+1}$masas iguales.

El centroide de un hemisferio sólido (es decir, la mitad de una esfera sólida) divide el segmento de línea que conecta el centro de la esfera con el polo del hemisferio en la proporción${\displaystyle 3:5}$(es decir, miente)${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$del camino desde el centro hasta el polo). El centroide de un hemisferio hueco (es decir, la mitad de una esfera hueca) divide por la mitad el segmento de línea que conecta el centro de la esfera con el polo del hemisferio.