De cadena

La ecuación de una catenaria en coordenadas cartesianas tiene la forma ^{[ 35 ]}

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),}$$ donde cosh es la función coseno hiperbólico y donde a es la distancia del punto más bajo sobre el eje x. ^{[ 39 ]} Todas las curvas catenarias son similares entre sí, ya que cambiar el parámetro a es equivalente a un escalado uniforme de la curva.

La ecuación de Whewell para la catenaria es ^{[ 35 ]}$${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}},}$$ dónde${\displaystyle \varphi }$es el ángulo tangencial y s la longitud del arco .

La diferenciación da $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}},}$$ y eliminando${\displaystyle \varphi }$da la ecuación de Cesàro ^{[ 40 ]}$${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}},}$$ dónde${\displaystyle \kappa }$es la curvatura .

El radio de curvatura es entonces $${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi ,}$$ que es la longitud de la normal entre la curva y el eje x . ^{[ 41 ]}

Cuando una parábola se hace rodar sobre una línea recta, la curva de ruleta trazada por su foco es una catenaria. ^{[ 42 ]} La envolvente de la directriz de la parábola también es una catenaria. ^{[ 43 ]} La involuta desde el vértice, es decir, la ruleta trazada por un punto que parte del vértice cuando una línea se hace rodar sobre una catenaria, es la tractriz . ^{[ 42 ]}

Otra ruleta, formada al rodar una línea sobre una catenaria, es otra línea. Esto implica que las ruedas cuadradas pueden rodar perfectamente suaves sobre una carretera formada por una serie de baches con forma de curva de catenaria invertida. Las ruedas pueden ser cualquier polígono regular excepto un triángulo, pero la catenaria debe tener parámetros que correspondan a la forma y las dimensiones de las ruedas. ^{[ 44 ]}

En cualquier intervalo horizontal, la razón entre el área bajo la catenaria y su longitud es igual a a , independientemente del intervalo seleccionado. La catenaria es la única curva plana, aparte de una línea horizontal, que posee esta propiedad. Además, el centroide geométrico del área bajo un tramo de catenaria es el punto medio del segmento perpendicular que conecta el centroide de la curva con el eje x . ^{[ 45 ]}

Una carga en movimiento en un campo eléctrico uniforme se desplaza a lo largo de una catenaria (que tiende a una parábola si la velocidad de la carga es mucho menor que la velocidad de la luz c ). ^{[ 46 ]}

La superficie de revolución con radios fijos en ambos extremos que tiene área superficial mínima es una catenaria.

$${\displaystyle y=a\cosh ^{-1}\left({\frac {x}{a}}\right)+b}$$

giraba en torno a la${\displaystyle y}$-eje. ^{[ 42 ]}

En el modelo matemático, la cadena (o cuerda, cable, soga, etc.) se idealiza asumiendo que es tan delgada que puede considerarse una curva y que es tan flexible que cualquier fuerza de tensión ejercida por la cadena es paralela a la cadena. ^{[ 47 ]} El análisis de la curva para un arco óptimo es similar excepto que las fuerzas de tensión se convierten en fuerzas de compresión y todo se invierte. ^{[ 48 ]} Un principio subyacente es que la cadena puede considerarse un cuerpo rígido una vez que ha alcanzado el equilibrio. ^{[ 49 ]} Las ecuaciones que definen la forma de la curva y la tensión de la cadena en cada punto pueden derivarse mediante una inspección cuidadosa de las diversas fuerzas que actúan sobre un segmento utilizando el hecho de que estas fuerzas deben estar en equilibrio si la cadena está en equilibrio estático .

Sea la trayectoria seguida por la cadena dada paramétricamente por r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )) donde s representa la longitud del arco y r es el vector de posición . Esta es la parametrización natural y tiene la propiedad de que

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }$$

donde u es un vector tangente unitario .

Una ecuación diferencial para la curva se puede derivar de la siguiente manera. ^{[ 50 ]} Sea c el punto más bajo de la cadena, llamado vértice de la catenaria. ^{[ 51 ]} La pendiente ⁠ dy / dx ⁠ de la curva es cero en c ya que es un punto mínimo. Supongamos que r está a la derecha de c , mientras que el lado opuesto estará implícito por simetría. ^{[ 52 ]} Las fuerzas que actúan sobre la sección de la cadena de c a r son la tensión de la cadena en c , la tensión de la cadena en r , y el peso de la cadena. La tensión en c es tangente a la curva en c y por lo tanto es horizontal sin ninguna componente vertical y tira de la sección hacia la izquierda por lo que se puede escribir (− T ₀ , 0) donde T ₀ es la magnitud de la fuerza. La tensión en r es paralela a la curva en r y tira de la sección hacia la derecha. La tensión en r se puede dividir en dos componentes, por lo que se puede escribir T u = ( T cos φ , T sin φ ) , donde T es la magnitud de la fuerza y ​​φ es el ángulo entre la curva en r y el eje x (ver ángulo tangencial ). Finalmente, el peso de la cadena se representa por (0, − ws ) donde w es el peso por unidad de longitud y s es la longitud del segmento de cadena entre c y r .

La cadena está en equilibrio, por lo que la suma de las tres fuerzas es 0 , por lo tanto

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$ y $${\displaystyle T\sin \varphi =ws\,,}$$

y dividiendo estos se obtiene

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {ws}{T_{0}}}\,.}$$

Es conveniente escribir

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w}}}$$

que es la longitud de la cadena cuyo peso es igual en magnitud a la tensión en c . ^{[ 53 ]} Entonces

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}$$

es una ecuación que define la curva.

La componente horizontal de la tensión, T cos φ = T _0, es constante y la componente vertical de la tensión, T sin φ = ws, es proporcional a la longitud de la cadena entre r y el vértice. ^{[ 54 ]}

La ecuación diferencial${\displaystyle dy/dx=s/a}$, dado anteriormente, se puede resolver para producir ecuaciones para la curva. ^{[ 55 ]} Resolveremos la ecuación utilizando la condición de contorno de que el vértice está posicionado en${\displaystyle s_{0}=0}$y${\ Displaystyle (x, y) = (x_ {0}, y_ {0})}$.

Primero, invoca la fórmula para la longitud del arco para obtener $${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}\,,}$$ luego separar variables para obtener $${\displaystyle {\frac {ds}{\sqrt {1+(s/a)^{2}}}}=dx\,.}$$

Un enfoque razonablemente sencillo para integrar esto es usar la sustitución hiperbólica , que da como resultado $${\displaystyle a\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}+x_{0}=x}$$ (dónde${\displaystyle x_{0}}$es una constante de integración ), y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {s}{a}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,.}$$

Pero${\textstyle s/a=dy/dx}$, entonces $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,,}$$ que se integra como$${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x-x_{0}}{a}}+\delta }$$ (con${\displaystyle \delta =y_{0}-a}$siendo la constante de integración que satisface la condición de contorno).

Dado que el interés principal aquí es simplemente la forma de la curva, la ubicación de los ejes de coordenadas es arbitraria; por lo tanto, haga la elección conveniente de${\textstyle x_{0}=0=\delta }$ para simplificar el resultado a $${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}.}$$

Para mayor exhaustividad, el${\displaystyle y\leftrightarrow s}$La relación se puede derivar resolviendo cada una de las${\displaystyle x\leftrightarrow y}$y${\displaystyle x\leftrightarrow s}$relaciones para${\displaystyle x/a}$, donación: $${\displaystyle \cosh ^{-1}{\frac {y-\delta }{a}}={\frac {x-x_{0}}{a}}=\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\,,}$$ entonces $${\displaystyle y-\delta =a\cosh \left(\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\right)\,,}$$ que puede reescribirse como $${\displaystyle y-\delta =a{\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.}$$

La ecuación diferencial se puede resolver utilizando un enfoque diferente. ^{[ 56 ]} Desde

$${\displaystyle s=a\tan \varphi }$$

resulta que

$${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$$ y $${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$$

Integrar da,

$${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$$ y $${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$$

Como antes, los ejes x e y se pueden desplazar de modo que α y β se puedan tomar como 0. Entonces

$${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$$ y tomando el recíproco de ambos lados $${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$$

Sumando y restando las dos últimas ecuaciones se obtiene la solución. $${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$$ y $${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

El parámetro a es la coordenada y mínima de los puntos de la catenaria. En aplicaciones prácticas, ni este parámetro ni los ejes donde la catenaria tiene su forma estándar se conocen a priori .

Estos datos se pueden determinar a partir de la posición de dos puntos dados .${\displaystyle P_{1}}$y​​${\displaystyle P_{2}}$y la longitud L de la catenaria entre estos puntos es la siguiente: ^{[ 57 ]}

Renombra si es necesario de modo que P ₁ esté a la izquierda de P ₂ y sea H la distancia horizontal y v la distancia vertical desde P ₁ a P _2. Traslada los ejes de modo que el vértice de la catenaria se encuentre sobre el eje y y su altura a se ajusta de manera que la catenaria satisfaga la ecuación estándar de la curva .

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

y sean las coordenadas de P ₁ y P ₂ ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) respectivamente. La curva pasa por estos puntos, por lo que la diferencia de altura es

$${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

y la longitud de la curva desde P ₁ hasta P ₂ es

$${\displaystyle L=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

Cuando L ² − v ² se expande usando estas expresiones, el resultado es

$${\displaystyle L^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$$ entonces $${\displaystyle {\frac {1}{H}}{\sqrt {L^{2}-v^{2}}}={\frac {2a}{H}}\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$$

Esta es una ecuación trascendental en a y debe resolverse numéricamente . Dado que${\displaystyle \sinh(x)/x}$es estrictamente monótono en${\displaystyle x>0}$, ^{[ 58 ]} hay como máximo una solución con a > 0 y por lo tanto hay como máximo una posición de equilibrio.

Sin embargo , si ambos extremos de la curva ( P1 y _P2 ) están al mismo nivel ( y1 _{= y2 )} , se puede demostrar que ^{[ 59 ]}$${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$$ donde L es la longitud total de la curva entre P ₁ y P ₂ y h es la flecha (distancia vertical entre P ₁ , P ₂ y el vértice de la curva).

También se puede demostrar que $${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$$ y $${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$$ donde H es la distancia horizontal entre P ₁ y P ₂ que se encuentran al mismo nivel ( H = x ₂ − x ₁ ).

La fuerza de tracción horizontal en P ₁ y P ₂ es T ₀ = wa , donde w es el peso por unidad de longitud de la cadena o cable.

Existe una relación simple entre la tensión en el cable en un punto y su coordenada x y/o y . Comience combinando los cuadrados de las componentes vectoriales de la tensión: $${\displaystyle (T\cos \varphi )^{2}+(T\sin \varphi )^{2}=T_{0}^{2}+(ws)^{2}}$$ lo cual (recordando que${\displaystyle T_{0}=wa}$) se puede reescribir como $${\displaystyle {\begin{aligned}T^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )&=(wa)^{2}+(ws)^{2}\\[6pt]T^{2}&=w^{2}(a^{2}+s^{2})\\[6pt]T&=w{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$ Pero, como se muestra arriba , ${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$(suponiendo que${\displaystyle y_{0}=a}$), así obtenemos las relaciones simples ^{[ 60 ]}$${\displaystyle T=wy=wa\cosh {\frac {x}{a}}\,.}$$

Consideremos una cadena de longitud${\displaystyle L}$suspendido de dos puntos de igual altura y a distancia${\displaystyle D}$La curva tiene que minimizar su energía potencial. $${\displaystyle U=\int _{0}^{D}wy{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}$$ (donde w es el peso por unidad de longitud) y está sujeto a la restricción $${\displaystyle \int _{0}^{D}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=L\,.}$$

Por lo tanto, el lagrangiano modificado es $${\displaystyle {\mathcal {L}}=(wy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}}$$ dónde${\displaystyle \lambda }$es el multiplicador de Lagrange que se debe determinar. Como variable independiente${\displaystyle x}$no aparece en el lagrangiano, podemos usar la identidad de Beltrami$${\displaystyle {\mathcal {L}}-y'{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y'}}=C}$$ dónde${\displaystyle C}$es una constante de integración, para obtener una primera integral $${\displaystyle {\frac {(wy-\lambda )}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-C}$$

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que puede resolverse mediante el método de separación de variables . Su solución es la función coseno hiperbólica usual, cuyos parámetros se obtienen a partir de las restricciones.

Si la densidad de la cadena es variable, el análisis anterior puede adaptarse para producir ecuaciones para la curva dada la densidad, o dada la curva para encontrar la densidad. ^{[ 61 ]}

Sea w el peso por unidad de longitud de la cadena, entonces el peso de la cadena tiene magnitud

$${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

donde los límites de integración son c y r . El equilibrio de fuerzas como en la cadena uniforme produce

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$ y $${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$ y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$$

La diferenciación entonces da

$${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$$

En términos de φ y el radio de curvatura ρ, esto se convierte en:

$${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$$

Se puede realizar un análisis similar para hallar la curva que sigue el cable que soporta un puente colgante con una calzada horizontal. ^{[ 62 ]} Si el peso de la calzada por unidad de longitud es w y el peso del cable y el alambre que soporta el puente es despreciable en comparación, entonces el peso sobre el cable (véase la figura en Catenary#Model of chains and arches ) desde c hasta r es wx, donde x es la distancia horizontal entre c y r . Procediendo como antes se obtiene la ecuación diferencial.

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$$

Esto se resuelve mediante una integración simple para obtener

$${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$$

y así el cable sigue una parábola. Si el peso del cable y los cables de soporte no es despreciable, entonces el análisis es más complejo. ^{[ 63 ]}

En una catenaria de igual resistencia, el cable se refuerza según la magnitud de la tensión en cada punto, por lo que su resistencia a la rotura es constante a lo largo de su longitud. Suponiendo que la resistencia del cable es proporcional a su densidad por unidad de longitud, el peso, w , por unidad de longitud de la cadena se puede escribir como T / c , donde c es constante, y se puede aplicar el análisis para cadenas no uniformes. ^{[ 64 ]}

En este caso las ecuaciones para la tensión son

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$$

La combinación da

$${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$$

y por diferenciación

$${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$$

donde ρ es el radio de curvatura.

La solución a esto es

$${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$$

En este caso, la curva tiene asíntotas verticales y esto limita el intervalo a π c . Otras relaciones son

$${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$$

La curva fue estudiada en 1826 por Davies Gilbert y, aparentemente de forma independiente, por Gaspard-Gustave Coriolis en 1836.

Recientemente, se demostró que este tipo de catenaria podría actuar como un bloque de construcción de metasuperficie electromagnética y se la conoce como "catenaria de gradiente de fase igual". ^{[ 65 ]}

En una catenaria elástica , la cadena se reemplaza por un resorte que puede estirarse en respuesta a la tensión. Se supone que el resorte se estira de acuerdo con la ley de Hooke . Específicamente, si p es la longitud natural de una sección del resorte, entonces la longitud del resorte con una tensión T aplicada tiene una longitud

$${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$$

donde E es una constante igual a kp , donde k es la rigidez del resorte. ^{[ 66 ]} En la catenaria el valor de T es variable, pero la relación sigue siendo válida a nivel local, por lo que ^{[ 67 ]}$${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$$ La curva descrita por un resorte elástico se puede obtener siguiendo un método similar al del resorte inelástico. ^{[ 68 ]}

Las ecuaciones para la tensión del resorte son

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$$ y $${\displaystyle T\sin \varphi =w_{0}p\,,}$$

de cuál

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w_{0}p}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+w_{0}^{2}p^{2}}}\,,}$$

donde p es la longitud natural del segmento desde c hasta r y w ₀ es el peso por unidad de longitud del resorte sin tensión. Escribe $${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w_{0}}}}$$ entonces $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {w_{0}p}{T}}\,,\end{aligned}}}$$ de cuál $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {w_{0}p}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{alignedat}}}$$

La integración da como resultado las ecuaciones paramétricas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$$

Nuevamente, los ejes x e y se pueden desplazar de manera que α y β se puedan tomar como 0. Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$$

son ecuaciones paramétricas para la curva. En el límite rígido donde E es grande, la forma de la curva se reduce a la de una cadena no elástica.

Sin hacer suposiciones sobre la fuerza G que actúa sobre la cadena, se puede realizar el siguiente análisis. ^{[ 69 ]}

Primero, sea T = T ( s ) la fuerza de tensión en función de s . La cadena es flexible, por lo que solo puede ejercer una fuerza paralela a sí misma. Dado que la tensión se define como la fuerza que la cadena ejerce sobre sí misma, T debe ser paralela a la cadena. En otras palabras,

$${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$$

donde T es la magnitud de T y u es el vector tangente unitario.

En segundo lugar, sea G = G ( s ) la fuerza externa por unidad de longitud que actúa sobre un pequeño segmento de una cadena en función de s . Las fuerzas que actúan sobre el segmento de la cadena entre s y s + Δ s son la fuerza de tensión T ( s + Δ s ) en un extremo del segmento, la fuerza casi opuesta − T ( s ) en el otro extremo, y la fuerza externa que actúa sobre el segmento que es aproximadamente G Δ s . Estas fuerzas deben equilibrarse para que

$${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$$

Dividir por Δ s y tomar el límite cuando Δ s → 0 para obtener

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$$

Estas ecuaciones pueden utilizarse como punto de partida en el análisis de una cadena flexible sometida a cualquier fuerza externa. En el caso de la catenaria estándar, G = (0, − w ) donde la cadena tiene un peso w por unidad de longitud.