Fórmula de trazas de Behrend

En geometría algebraica , la fórmula de traza de Behrend es una generalización de la fórmula de traza de Grothendieck-Lefschetz a una pila algebraica suave sobre un cuerpo finito, conjeturada en 1993 ^{[ 1 ]} y demostrada en 2003 ^{[ 2 ]} por Kai Behrend . A diferencia de la fórmula clásica, esta cuenta los puntos de forma apilada , teniendo en cuenta la presencia de automorfismos no triviales.

El deseo de obtener la fórmula surge del hecho de que se aplica al conjunto de módulos de fibrados principales sobre una curva en un cuerpo finito (en algunos casos indirectamente, a través de la estratificación de Harder-Narasimhan , ya que el conjunto de módulos no es de tipo finito. ^{[ 3 ] [ 4 ]} ) Véase el conjunto de módulos de fibrados principales y las referencias allí citadas para la formulación precisa en este caso.

Pierre Deligne encontró un ejemplo ^{[ 5 ]} que muestra que la fórmula puede interpretarse como una especie de fórmula de traza de Selberg .

^{Shenghao Sun [ 7 ]} proporciona una demostración de la fórmula en el contexto del formalismo de las seis operaciones desarrollado por Yves Laszlo y Martin Olsson ^{[ 6 ].}

Por definición, si C es una categoría en la que cada objeto tiene un número finito de automorfismos, el número de puntos en${\displaystyle C}$se denota por

${\displaystyle \#C=\sum _{p}{1 \over \#\operatorname {Aut} (p)},}$

con la suma recorriendo los representantes p de todas las clases de isomorfismo en C. (La serie puede divergir en general). La fórmula establece: para una pila algebraica suave X de tipo finito sobre un cuerpo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$y el Frobenius "aritmético"${\displaystyle \phi ^{-1}:X\to X}$, es decir, la inversa de la ecuación geométrica usual de Frobenius${\displaystyle \phi }$en la fórmula de Grothendieck, ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \#X(\mathbb {F} _{q})=q^{\dim X}\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(X,\mathbb {Q} _{l})\right).}$

Aquí, es crucial que la cohomología de una pila sea con respecto a la topología suave (no étale).

Cuando X es una variedad, la cohomología suave es la misma que la étale y, mediante la dualidad de Poincaré , esto equivale a la fórmula de traza de Grothendieck. (Pero la demostración de la fórmula de traza de Behrend se basa en la fórmula de Grothendieck, por lo que esto no la engloba).

Considerar${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}=[\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}/\mathbb {G} _{m}]}$, la pila de clasificación del esquema de grupo multiplicativo (es decir,${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)=R^{\times }}$). Por definición,${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})}$es la categoría de principal${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-paquetes más${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}$, que tiene solo una clase de isomorfismo (ya que todos esos haces son triviales por el teorema de Lang ). Su grupo de automorfismos es${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$, lo que significa que el número de${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$-isomorfismos es${\displaystyle \#\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})=\#\mathbb {F} _{q}^{\times }=q-1}$.

Por otro lado, podemos calcular la cohomología l -ádica de${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$directamente. Observamos que en el contexto topológico, tenemos${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {CP} ^{\infty }}$(dónde${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }}$ahora denota el espacio de clasificación usual de un grupo topológico ), cuyo anillo de cohomología racional es un anillo de polinomios en un generador ( teorema de Borel ), pero no lo usaremos directamente. Si deseamos permanecer en el mundo de la geometría algebraica, podemos en su lugar "aproximar"${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$por espacios proyectivos de dimensión cada vez mayor. Así, consideramos el mapa${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {P} ^{N}}$inducido por el${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-paquete correspondiente a${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$Este mapa induce un isomorfismo en cohomología en grados hasta 2N . Por lo tanto, los números de Betti pares (respectivamente, impares) de${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$son 1 (resp. 0), y la representación de Galois l -ádica en el grupo de cohomología (2n) es la n -ésima potencia del carácter ciclotómico. La segunda parte es consecuencia del hecho de que la cohomología de${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$es generado por clases de ciclos algebraicos. Esto demuestra que

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(B\mathbb {G} _{m},\mathbb {Q} _{l})\right)=1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+\cdots ={\frac {q}{q-1}}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \dim B\mathbb {G} _{m}=\dim \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}-\dim \mathbb {G} _{m}=-1.}$

Multiplicando por${\displaystyle q^{-1}}$, se obtiene la igualdad prevista.

• Shenghao, Sun (2011). "Series L de pilas de Artin sobre cuerpos finitos". Álgebra y Teoría de Números . 6 : 47–122 . arXiv : 1008.3689 . doi : 10.2140/ant.2012.6.47 . S2CID 119599074 .