Espacio de clasificación para U( n )

En matemáticas , el espacio clasificador para el grupo unitario U( n ) es un espacio BU( n ) junto con un fibrado universal EU( n ) tal que cualquier fibrado hermitiano en un espacio paracompacto X es el retroceso de EU( n ) mediante una aplicación X → BU( n ) única salvo homotopía. Una aplicación particular son los fibrados U(1) principales .

Este espacio con su fibración universal puede construirse como

1. la grassmanniana de n planos en un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita ; o,
2. el límite directo, con la topología inducida, de las grassmannianas de n planos.

Ambas construcciones se detallan aquí.

El espacio total EU( n ) del fibrado universal viene dado por

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\$ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.}

Aquí, H denota un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita, los e _i son vectores en H y${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker . El símbolo${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$es el producto interno en H. Por lo tanto, tenemos que EU( n ) es el espacio de n -marcos ortonormales en H.

La acción de grupo de U( n ) sobre este espacio es la natural. El espacio base es entonces

${\displaystyle BU(n)=UE(n)/U(n)}$

y es el conjunto de subespacios grassmannianos n- dimensionales (o n- planos) en H. Es decir,

${\displaystyle BU(n)=\{V\subconjunto H\$ :\ \dim V=n\}}

de modo que V es un espacio vectorial n -dimensional.

Sea F _n ( C ^k ) el espacio de familias ortonormales de n vectores en C ^k y sea G _n ( C ^k ) la grassmanniana de subespacios vectoriales n- dimensionales de C ^k . El espacio total del fibrado universal puede tomarse como el límite directo de F _n ( C ^k ) cuando k → ∞, mientras que el espacio base es el límite directo de G _n ( C ^k ) cuando k → ∞.

Proposición : El anillo de cohomología de${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$con coeficientes en el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros es generado por las clases de Chern : ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].}$

Demostración: Consideremos primero el caso n = 1. En este caso, U(1) es el círculo S ¹ y el fibrado universal es S ^∞ → CP ^∞ . Es bien sabido ^{[ 3 ]} que la cohomología de CP ^k es isomorfa a${\displaystyle \mathbb {Z} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}$donde c ₁ es la clase de Euler del fibrado U(1) S ^{2 k +1} → CP ^k , y que las inyecciones CP ^k → CP ^{k +1} , para k ∈ N * , son compatibles con estas representaciones de la cohomología de los espacios proyectivos. Esto demuestra la Proposición para n = 1.

Existen secuencias de fibras homotópicas.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

Concretamente, un punto del espacio total${\displaystyle BU(n-1)}$está dado por un punto del espacio base${\displaystyle BU(n)}$clasificar un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$, junto con un vector unitario${\displaystyle u}$en${\displaystyle V}$; juntos clasifican${\displaystyle u^{\perp }<V}$mientras la división${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$, trivializado por${\displaystyle u}$, se da cuenta del mapa${\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)}$representando suma directa con${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Aplicando la secuencia de Gysin , se obtiene una secuencia larga y exacta.

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots }$

dónde${\displaystyle \eta }$es la clase fundamental de la fibra${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$. Por propiedades de la secuencia de Gysin ,${\displaystyle j^{*}}$es un homomorfismo multiplicativo; por inducción,${\displaystyle H^{*}BU(n-1)}$es generado por elementos con${\displaystyle p<-1}$, dónde${\displaystyle \partial }$debe ser cero, y por lo tanto donde${\displaystyle j^{*}}$debe ser sobreyectiva. De ello se deduce que${\displaystyle j^{*}}$debe ser siempre sobreyectiva: por la propiedad universal de los anillos de polinomios , una elección de preimagen para cada generador induce una descomposición multiplicativa. Por lo tanto, por exactitud,${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }$debe ser siempre inyectivo . Por lo tanto, tenemos secuencias exactas cortas escindidas por un homomorfismo de anillos.

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

Por lo tanto, concluimos${\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}$dónde${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta }$Con esto finaliza la introducción.

Consideremos la teoría K compleja topológica como la teoría de cohomología representada por el espectro${\displaystyle KU}$. En este caso,${\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}$, ^{[ 4 ]} y${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$es gratis${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$módulo en${\displaystyle \beta _{0}}$y${\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}}$para${\displaystyle n\geq i_{j}>0}$y${\displaystyle r\leq n}$. ^{[ 5 ]} En esta descripción, la estructura del producto en${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$proviene de la estructura del espacio H de${\displaystyle BU}$dado por la suma de Whitney de haces vectoriales. Este producto se llama producto de Pontryagin .

La teoría topológica K se conoce explícitamente en términos de polinomios simétricos numéricos .

La teoría K se reduce a calcular K ₀ , ya que la teoría K es 2-periódica por el teorema de periodicidad de Bott y BU( n ) es un límite de variedades complejas, por lo que tiene una estructura CW con solo celdas en dimensiones pares, por lo que la teoría K impar se desvanece.

De este modo${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$, dónde${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$, donde t es el generador Bott.

K ₀ (BU(1)) es el anillo de polinomios numéricos en w , considerado como un subanillo de H _∗ (BU(1); Q ) = Q [ w ], donde w es el elemento dual del fibrado tautológico.

Para el n -toro, K ₀ (B T ⁿ ) son polinomios numéricos en n variables. La aplicación K ₀ (B T ⁿ ) → K ₀ (BU( n )) es sobreyectiva, mediante un principio de escisión , ya que T ⁿ es el toro maximal de U( n ). La aplicación es la aplicación de simetrización.

${\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

y la imagen puede identificarse como los polinomios simétricos que satisfacen la condición de integralidad que

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} }$

dónde

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

es el coeficiente multinomial y${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$contiene r enteros distintos, repetidos${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$veces, respectivamente.

Las inclusiones canónicas${\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)}$inducir inclusiones canónicas${\displaystyle \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}$en sus respectivos espacios de clasificación. Sus respectivos colímites se denotan como:

${\displaystyle \operatorname {U}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);}

${\displaystyle \operatorname {BU}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).}

${\displaystyle \operatorname {BU} }$es de hecho el espacio de clasificación de${\displaystyle \operatorname {U} }$.

• Espacio de clasificación para O( n )
• Espacio de clasificación para SO(n)
• Espacio de clasificación para SU(n)
• Teoría K topológica
• Teorema de Atiyah-Jänich

• JF Adams (1974), Homotopía estable y homología generalizada , University of Chicago Press, ISBN 0-226-00524-0Contiene cálculo de${\displaystyle KU^{*}(BU(n))}$y${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$.
• S. Ochanine; L. Schwartz (1985), "Une remarque sur les générateurs du cobordisme complex", Math. Z. , 190 (4): 543– 557, doi : 10.1007/BF01214753Contiene una descripción de${\displaystyle K_{0}(BG)}$como un${\displaystyle K_{0}(K)}$-comodúcleo para cualquier grupo de Lie compacto y conectado.
• L. Schwartz (1983), "K-théorie et homotopie stable", Tesis , Universidad de París-VIIDescripción explícita de${\displaystyle K_{0}(BU(n))}$
• A. Baker; F. Clarke; N. Ray; L. Schwartz (1989), "Sobre las congruencias de Kummer y la homotopía estable de BU ", Trans. Amer. Math. Soc. , 316 (2), American Mathematical Society: 385– 432, doi : 10.2307/2001355 , JSTOR 2001355 
• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (21 de febrero de 1990). Geometría de espín . Princeton University Press . ISBN 9780691085425.
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.
• Mitchell, Stephen (agosto de 2001). Paquetes principales universales y espacios de clasificación (PDF) .

• Clasificación del espacio en nLab
• BU(n) en nLab